江苏省邗江中学(集团)2013-2014学年高二数学下学期期中试题 理

江苏省邗江中学（集团）2013-2014学年高二数学下学期期中试题 理
第Ⅰ卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）
1．复数
3
22i i
+的虚部为______. 2．用反证法证明：“b a >”，应假设为 ▲ ． 3．某人5次上班途中所花的时间（单
位：分钟）分别为x ，8，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，则这组数据的方差为 ▲ ．
4．某校有教师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知女生抽取的人数是80人，则n = ▲ ．
5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 的值是10，则输入的x 的值是 ▲ ． 6．如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图，从图中看，平均成绩较高的是 ▲ 班．
8．若直线b x y +-=与函数x
y 1
-
=图象的切线垂直且过切点，则实数=b ▲ ． 9．若(x ＋3y )n
的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10
的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．
10．如图，正方体1111D C B A ABCD -,点M 是1AA 的中点，点O 是
底面ABCD 的中心，P 是11B C 上的任意一点，则直线BM 与OP 所成的角大小为 ▲ ．
11．在Rt△ABC 中，∠A =90°，AB =1，BC =2．在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为 ▲ ．
12．命题“∃(12)x ∈，时，满足不等式2
40x mx ++≥”是假命题，则m 的取值范围 ▲ ．
13．过原点向曲线a x x y ++=232可作三条切线，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
14．如图，用一块形状为半椭圆14
22
=+y x )0(≥y 的铁皮截取
一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ，则1
S
的最小值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．(本题满分14分)
设p ：方程
22
1122
x y m m +=-+表示双曲线； q ：函数32
4()()63
g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个．
求使“p q ∧”为真命题的实数m 的取值范围．
17．(本题满分14分)
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
32，乙每次击中目标的概率为2
1。

记甲击中目标的次数为ξ ，乙每次击中目标的概率为η。

（1）、求ξ的概率分布。

（2）、求ξ和η的数学期望。

18． (本题满分16分)
如图，四棱锥S ABCD -的底面是矩形，SA ⊥底面ABCD ，1AB SA ==，2AD =，且P 为
BC 的中点．
（1）求异面直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值；
（2）求二面角C SD P --的余弦值．
19． (本题满分16分)
某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改C D A B S
P
造为y 亿元。

该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

（1）若2a =， 2.5b =，请你分析能否采用函数模型y ＝31
(416)100
x x ++作为生态环境改造投资方案；
（2）若a 、b 取正整数，且a <b ，并用函数模型y ＝31
(416)100
x x ++作为生态环境改造投资方案，请你求出a 、b 的取值．
20． (本题满分16分)
已知函数x
e x
f =)(，R x ∈ （1）求函数x x f x
g -=)()(的极值；
（2）若R x ∈时，1)(+≥ax x f 恒成立，求实数a 的值；
（3）当1>a 时，求证：1)()(--=ax x f x F 在区间)ln 2,(ln a a 上有且仅有一个零点。

2013-2014学年第二学期高二数学期中试卷（理科）
参考答案及评分标准
二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．(本题满分14分)
设p ：方程
22
1122
x y m m +=-+表示双曲线； q ：函数32
4()()63
g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个．
求使“p q ∧”为真命题的实数m 的取值范围．
解：命题P ：∵方程
22
1122
x y m m +=-+表示双曲线，∴(12)(2)0m m -+<， 即2m <-或1
2
m >。

………………5分
命题q ：∵函数32
4()()63
g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个，
∴2
4()3203
g x x mx m '=+++=有两个不同的解1212,()x x x x <，即△＞0。

由△＞0，得m ＜－1或m ＞4。

………………10分
又由题意知“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题,
∴12,24214
m m m m m m ⎧
<->⎪<->⎨⎪<->⎩或解得或或．
m ∴的取值范围为(,2)(4,)-∞-+∞． ………………14分
16．(本题满分14分)
一只袋中装有2个白球、3个红球，这些球除颜色外都相同。

（Ⅰ）从袋中任意摸出1个球，求摸到的球是白球的概率；
（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，求摸出的两个球都是白球的概率； （Ⅲ）从袋中任意摸出2个球，求摸出的两个球颜色不同的概率。

解：（Ⅰ）从5个球中摸出1个球，共有5种结果，其中是白球的有2种，所以从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率为
5
2
………………4分
17．(本题满分14分)
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
32，乙每次击中目标的概率为2
1。

记甲击中目标的次数为ξ ，乙每次击中目标的概率为η。

（1）、求ξ的概率分布。

（2）、求ξ和η的数学期望。

解、（1） ξ 0 1 2 3 P 1/27
2/9
4/9
8/27
(6分)
（2）、E （ξ）=3×2/3=2 (10分) E （η）=3×1/2=3/2 (14分) 18． (本题满分16分)
如图，四棱锥S ABCD -的底面是矩形，SA ⊥底面ABCD ，1AB SA ==，2AD =，且P 为
BC 的中点．
（1）求异面直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值； （2）求二面角C SD P --的余弦值．
解：因为SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，所以,,AB AD AS 两两垂直， 以,,AB AD AS 所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则各点坐标如下：(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)A B C D S P ……………2分 （1）(1,1,0)AP =，(1,1,0)PD =-，(0,2,1)SD =-， C D A B S
P
设平面SPD 的一个法向量为1(1,,)n y z =，由110,0n PD n SD ⋅=⋅=可得1,2y z ==， 平面SPD 的一个法向量为1(1,1,2)n =， ……………6分
所以
1cos ,n AP <>=
， ……………8分
则直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值等于1cos ,n AP <>；……………10分 （2）(1,0,0)DC =，(0,2,1)SD =-，
设平面SPD 的一个法向量为2(,,2)n x y =， 由220,0n DC n SD ⋅=⋅=可得0,1x y ==， 平面SPD 的一个法向量为2(0,1,2)n =，由（1）可知，平面SPD 的一个法向量为1(1,1,2)n =， ……………12分
所以
12cos ,n n <>=
=
……………14分 由图可知，二面角C SD P --为锐二面角，
因此二面角C SD P --
…………………16分
19． (本题满分16分)
某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。

该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

（1）若2a =， 2.5b =，请你分析能否采用函数模型y ＝31
(416)100
x x ++作为生态环境改造投资方案；
（2）若a 、b 取正整数，且a <b ，并用函数模型y ＝31
(416)100
x x ++作为生态环境改造投资方案，请你求出a 、b 的取值． 解：（1）∵21
'(34)0100
y x =+>， ∴函数y ＝
31
(416)100
x x ++是增函数，满足条件①。

………………3分
设2116()(4)100y g x x x x
=
=++， 则222
116(2)(24)
'()(2)10050x x x g x x x x -++=-=， 令'()0g x =，得2x =。

………………5分 当2x <时，'()0g x <，()g x 在(,2)-∞上是减函数； 当2x >时，'()0g x >，()g x 在(2,)+∞上是增函数，
又2a =， 2.5b =，即[2,2.5]x ∈，()g x 在[2,2.5]上是增函数， ∴当2x =时，()g x 有最小值0.16=16%>15%， 当 2.5x =时，()g x 有最大值0.1665=16.65%<22%, ∴能采用函数模型y ＝31
(416)100
x x ++作为生态环境改造投资方案。

…………8分 （2）由(1)知2116()(4)100y g x x x x
=
=++， 依题意，当[,]x a b ∈，a 、*b N ∈时，15%()22%g x ≤≤恒成立；…………10分
下面求2
16
15422x x ≤++
≤的正整数解。

令2
16()4h x x x
=++，
由(1)知*
x N ∈，()h x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数， 又由（1）知，在0x >时，min ()(2)g x g =，且(2)g =16%∈[15%，22%]，
2x ∴=合条件，经枚举(1)g ，(3)g ∈[15%，22%]，
而(4)g ∉[15%，22%]，可得1x =或2x =或3x =，……………………14分 由()g x 单调性知1,2a b ==或1,3a b ==或2,3a b ==均合题意。

…………16分
（3）当1>a 时，求证：1)()(--=ax x f x F 在区间)ln 2,(ln a a 上有且仅有一个零点。

解：（1）∵x e x x f x g x -=-=)()( ∴1)(/-=x e x g 令01)(/=-=x e x g 得：0=x
当0<x 时，01)(/<-=x e x g ，函数)(x g y =在)0,(∞－上为减函数； 当0>x 时，01)(/>-=x e x g ，函数)(x g y =在),0(+∞上为增函数；
∴当0=x 时，函数)(x g y =有极小值，极小值为：1)0(=g ；无极大值………………3分 （2）方法一：由题意可得：1+≥ax e x
恒成立；
①当0=x 时，不等式1+≥ax e x
显然成立，这时R a ∈； ……………4分
②当0>x 时，不等式1+≥ax e x
恒成立即：x
e a x 1
-≤恒成立；
由（1）可得：当当0>x 时，11
11>-⇒>-⇒>-x
e x e x e x x
x
∴1≤a ………5分 ③当0<x 时，不等式1+≥ax e x
恒成立即：x
e a x 1
-≥恒成立；
由（1）可得：当当0<x 时，11
11<-⇒>-⇒>-x
e x e x e x x
x
∴1≥a ………7分 综上可得：1=a ……………8分 （2）方法二：由题意可得：1+≥ax e x
恒成立；即：01≥--ax e x
恒成立。

令1)(--=ax e x h x
由题意可得：0)(min ≥x h ……………4分
a e x h x -=)(/
当0≤a 时，0)(/≥-=a e x h x
，)(x h 在),(+∞-∞上为增函数，
注意到0)0(=h ，当0<x 时，0)x (<h ，不合题意； ……………5分
②当0>a 时，令0)(/=-=a e x h x
，得a x ln =，
当a x ln <时，0)(/
<x h ，函数)(x h y =在)ln ,(a ∞－上为减函数； 当a x ln >时，0)(/
>x h ，函数)(x h y =在),(ln +∞a 上为增函数；
∴当且仅当1=a 时，0ln =-a a a ，这时，1)(+≥ax x f 恒成立。

……………8分 （3）11)()(--=--=ax e ax x f x F x ，a e x F x -=)(/, 令0)(/=-=a e x F x ，得a x ln =，
当a x ln <时，0)(/<x F ，函数)(x F y =在)ln ,(a ∞－上为减函数； 当a x ln >时，0)(/>x F ，函数)(x F y =在),(ln +∞a 上为增函数；
∵0ln ,1>>a a ∴0)0()(ln =<F a F ……………11分 下证：01ln 2)ln 2(2>--=a a a a F ：令1ln 2)(P 2--=a a a a ，(1>a )
)1ln (22ln 22)(/--=--=a a a a a P
下面证明：当1>a 时，01ln >--a a
方法一：由（1）可得：当0>x 时，1>-x e x 即：1+>x e x
，两边取对数得： )1ln(+>x x ，
令11>+=x a 即得：a a ln 1>-，
从而01ln >--a a ，0)1ln (22ln 22)(/
>--=--=a a a a a P
1ln 2)(P 2--=a a a a 在（1, ∞+）为增函数，0)1(1ln 2)(P 2=>--=P a a a a
即：01ln 2)ln 2(2
>--=a a a a F ……………14分
方法二：当1>a 时，令1ln )(Q --=a a a ，01
1)(Q /
>-
=a
a 1ln )(Q --=a a a 在（1, ∞+）为增函数，∴0)1(1ln )(Q =>--=Q a a a
从而01ln >--a a ，0)1ln (22ln 22)(/
>--=--=a a a a a P
1ln 2)(P 2--=a a a a 在（1, ∞+）为增函数，0)1(1ln 2)(P 2=>--=P a a a a
即：01ln 2)ln 2(2
>--=a a a a F ……………14分
..
DOC 版. ∵0)(ln <a F ，0)ln 2(>a F ，由零点存在定理，函数1)()(--=ax x f x F 在区间)ln 2,(ln a a 必存在一个零点 ……………15分 又∵函数)(x F y =在),(ln +∞a 上为增函数，
∴1)()(--=ax x f x F 在区间)ln 2,(ln a a 上有且仅有一个零点。

……………16分 关于本题的几点说明：
本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题。

重点考查学生的代数推理论证能力，因此凡是用数形结合的方法解决第二问和第三问的，缺少严谨的推理证明，最多得分：第二问：2分、第三问：2分。

本题命题的出发点是利用导数研究曲线的切线问题：求x e y =在点（1，0）处的切线问题，第二问是换一个角度看切线，第三问的本质是将切线绕切点转动，很自然的产生了第三问的问题。

第三问还可改为：“当1>a 时，求证：函数1)()(--=ax x f x F 恒有两个不同的零点”，解题更具有探究的味道，解决问题的方法也更有多样性！
如果将x e y =在点（1，0）处的切线1+=x y 关于直线y ＝x 对称，就得到x y ln =在点（0，1）处的切线本题，即为2013年江苏卷高考题的命题背景，也是解题过程中的子结论“01ln >--a a ”的背景。