学年高中数学第章立体几何初步__柱锥台的侧面展开与面积随堂巩固验收北师大版必修

7．1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1．某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，那么该长方体的外表积为( )
A ．22
B ．20
C ．10
D ．11
[解析] 所求长方体的外表积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
[答案] A
2．假设圆锥的主视图是正三角形，那么它的侧面积是底面积的 ( ) A.2倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．5倍
[解析] 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么由题意知，l ＝2r ，于是S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2
.应选C.
[答案] C
3．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，那么长方体的侧面积等于 ( )
A ．27
B ．4 3
C ．6
D ．3
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，
那么c ＝1，ab ＝2, a 2＋b 2·c ＝5，
∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.
[答案] C
4．假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，那么这个圆锥的外表积是( )
A ．3π B．33π C．6π D．9π
[解析] 根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.
[答案] A
曲面上的最值问题
有关曲面上(球面除外)两点间的最短距离问题 ，一般利用外表展开图转化为平面上两点间的距离问题 ，表达了立体几何“平面化〞的思想．
【例如】 如下图，圆柱OO ′的底面半径为2 cm ，高为4 cm ，点P 为母线B ′B 的中
点，∠AOB ＝23
π，试求一蚂蚁从A 点沿圆柱外表爬到P 点的最小路程． [思路分析] 考虑将侧面展开转化为平面上的最值问题．
[解] 将圆柱侧面沿母线A ′A 剪开展平为平面图，如下列图所示．那么易知最短路程为平面图中线段AP .
在Rt △ABP 中，AB ＝23π×2＝43
π， PB ＝2(cm)，
∴AP ＝AB 2＋BP 2＝23 4π2＋9(cm)． 即蚂蚁爬的最小路程为23 4π2＋9 cm. [题后反思] 多面体、旋转体的外表最值问题，都是用外表展开(球面除外)转化为平面图形求最值．
[针对训练] 如下图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N .求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC 和NC 的长．
[解] (1)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.
(2)如下列图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，
连接MP 1，那么MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．
设PC ＝x ，那么P 1C ＝x .
在Rt △MAP 1中，由勾股定理得
(3＋x )2＋22＝29，
解得x ＝2.
∴PC ＝P 1C ＝2.
∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45.。