中职数学基础的知识点整理

中职数学基础知识汇总
预备知识：
1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
2.平方差公式： a 2-b 2=(a+b)(a-b)
3.立方和（差）公式： a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)
第一章 集合
1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

3. 常用数集：N （自然数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集）、N +（正整数集）
4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：
（1） 元素与集合是“∈”与“∉”的关系。

（2） 集合与集合是“” “”“”“”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。

（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个。

5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）{|}A B x x A x B 且：A 与B 的公共元素组成的集合
（2）{|}A
B
x x
A x
B 或：A 与B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（3）A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。

注：=()U U U C A
B C A C B ()U U U C A B C A C B
6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。

7. 充分必要条件:p 是q 的……条件 p 是条件，q 是结论
如果p ⇒q ，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件. 如果p ⇔q ，那么p 是q 的充要条件
第二章 不等式
1. 不等式的基本性质：（略）
注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。

（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！
（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2. 重要的不等式：
（1）ab b a 22
2≥+，当且仅当b a
=时，等号成立。

（2）),(2+
∈≥+R b a ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立。

（3） 注：
2
b
a +（算术平均数）≥a
b （几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正
（2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：
（3） 定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。

5. 绝对值不等式的解法 若0>a
，则⎩⎨
⎧-<>⇔><<-⇔<a
x a x a x a
x a a x 或|||| 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。

注：分母不能为0. 第三章 函数
1. 函数
（1）定义：设A 、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x,在B 中总有一个且只
有一个值y 与它对应,则称f 是集合A 到B 的函数,可记为:f :A →B,或f :x →y.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ⊆B),叫做函数的值域.
（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。

2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则
（1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围
主要依据：①分母不能为0，②偶次根式的被开方式≥0，
③特殊函数定义域：0,0
≠=x x y R x a a a y x
∈≠>=),10(,且 0),10(,log >≠>=x a a x y a 且 （2） 值域的求法：
y 的取值范围
① 正比例函数：kx y = 和 一次函数：b kx y +=的值域为R
② 二次函数：c bx ax y ++=2
的值域求法：配方法。

如果x 的取值范围不是R 则还需画图像 ③ 反比例函数：x
y 1
=
的值域为}0|{≠y y ④ 另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

（3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

3. 函数图像的变换 （1） 平移
)()
(a x f y a x f y +=→=个单位
向左平移
)()
(a x f y a x f y -=→=个单位向右平移 a x f y a x f y +=→=)()
(个单位向上平移 a x f y a x f y -=→=)()(个单位
向下平移
（2） 翻折
)()
(x f y x x f y -=→=上、下对折轴沿 |)(|)(x f y x x f y =→=下方翻折到上方
轴上方图像
保留
4. 函数的奇偶性
（1） 定义域关于原点对称 （2） 若)()(x f x f -=-→奇 若)()(x f x f =-→偶
注：①若奇函数在0=x
处有意义，则0)0(=f
②常值函数a x f =)(（0≠a
）为偶函数
③0)(=x f 既是奇函数又是偶函数 5. 函数的单调性
对于],[21b a x x ∈∀、且21x x <，若⎩
⎨
⎧><上为减函数在称上为增函数
在称],[)(),()(],[)(),()(2121b a x f x f x f b a x f x f x f
增函数：x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。

减函数：x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。

6. 二次函数
（1）二次函数的三种解析式
①一般式：c bx ax x f ++=2
)(（0≠a
）
②顶点式：h k x a x f +-=2
)()( （0≠a
）
，其中),(h k 为顶点 ③两根式：))(()(21x x x x a x f --= （0≠a ）
，其中21x x 、是0)(=x f 的两根 （2）图像与性质
二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： ① 开口
→>0a 开口向上 →<0a 开口向下
② 对称轴：a
b
x 2-= 顶点坐标：)44,2(2a b ac a b -- ③ ∆与x 轴的交点：⎪⎩⎪⎨⎧→<∆→=∆→>∆无交点交点有有两交点0100 ④ 根与系数的关系：（韦达定理）⎪⎩
⎪⎨
⎧=⋅-=+a c
x x a b x x 2121 ⑤c bx ax x f ++=2
)(为偶函数的充要条件为0=b ⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0）
⇔>0)(x f ⎩⎨⎧⇔<∆>轴上方图像位于x a 00 轴下方图像位于x a x f ⇔⎩
⎨⎧<∆<⇔<00
0)(
⑦若二次函数对任意x 都有)()(x t f x t f +=-，则其对称轴是t x =。

第四章 指数函数与对数函数
1. 指数幂的性质与运算
（1）根式的性质：
①n 为任意正整数，n n
a )(a = ②当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，||a a n n =
③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。

（2） 零次幂：10
=a )0(≠a （3） 负数指数幂：n n
a
a 1=
- ),0(*
N n a ∈≠ （4） 分数指数幂：n m n
m a a
= )1,,0(>∈>+n N n m a 且
（5） 实数指数幂的运算法则：),,0(R n m a ∈>
①n m n m
a a a
+=⋅ ②mn n m a a =)( ③n n n b a b a ⋅=⋅)(
2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n 次方。

3. 幂函数⎩⎨⎧∞+=<∞+=>=）上单调递减，
在（时，当）上单调递增
，在（时，当0000a
a a
x y a x y a x y 4. 指数与对数的互化：b N N a
a b
=⇔=log )10(≠>a a 且 、 )0(>N
5. 对数基本性质： ①1log =a a ②01log =a ③N a N
a =log ④N a N a =log ⑤互为倒数与a
b b a log log a
b a b b a b a log 1
log 1log log =
⇔=⋅⇔
⑥b m
n
b a n a m
log log =
6. 对数的基本运算：
N M N M a a a log log )(log +=⋅ N M N
M
a a a
log log log -= 7. 换底公式：a
N
N b b a
log log log =
)10(≠>b b 且
8. 指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数
对数函数
定 义 )1,0(的常数≠>=a a a y x )1,0(log 的常数≠>=a a x y a
图 像
9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用
中间值0，1来过渡。

10. 指数方程和对数方程：①指数式和对数式互化 ②同底法 ③换元法 ④取对数法
注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

1. 已知前n 项和n S 的解析式，求通项n a
⎩⎨⎧-=-11
n n
n S S S a )2()1(≥=n n
2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n 项和公式的证明方法。

（见教材）
第六章 三角函数
1.
弧度和角度的互换
π=o 180弧度 180
1π
=
o 弧度01745.0≈弧度 1弧度'1857)180
(
o o ≈=π
2.
扇形弧长公式和面积公式
r ||⋅=α扇L 2||2121r Lr S ⋅==
α扇 （记忆法：与ah S ABC 2
1
=∆类似） 3.
任意三角函数的定义：
斜边对边=
αsin =r y 斜边邻边=αcos =r x
邻边对边=αtan =x
y 4.
特殊三角函数值
α
000=
0306
=π
0454
=π
0603
=π
0902
=π
αsin
20
21 22 23 24 αcos
2
4 2
3 22 2
1 2
0 αtan
3
3 1
3
不存在
5.
三角函数的符号判定
（1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。

（三角函数中为正的，其余的为负） （2） 图像记忆法
6.
三角函数基本公式
α
α
αcos sin tan =
（可用于化简、证明等） 1cos sin 22=+αα （可用于已知αsin 求αcos ；或者反过来运用）
7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。

解释：指)(2
Z k k ∈+⋅
απ
，若k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。

7. 已知三角函数值求角α:
(1) 确定角α所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角'α; (3) 写出满足条件的π2~0的角; (4) 加上周期（同
终边的角的集合） 8. 和角、倍角公式 ⑴ 和角公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± 注意正负号相同
βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 注意正负号相反
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
±
⑵ 二倍角公式：
αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
⑶ 半角公式：
2cos 12
sin
αα
-±
= 2
cos 12cos α
α+±= 9. 三角函数的图像与性质
函数
图像
性 质
定义域
值域
同期
奇偶性
单调性
x y sin =
R x ∈
]1,1[-
π
2=T
奇
↑+
-
]2
2,2
2[π
ππ
πk k
↓
++]2
32,22[ππππk k
x
y cos =
R x ∈
]1,1[-
π
2=T
偶
↑-]2,2[πππk k
↓+]2,2[πππk k
9. 正弦型函数
)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA
(1)定义域R ，值域],[A A - （2）周期：ω
π
2=
T
（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x 的系数提出来，再看是怎样平移的。

（4）x b x a y cos sin +=)sin(22ϕ++=x b a
10. 正弦定理
R C c
B b A a 2sin sin sin === （R 为AB
C ∆的外接圆半径） 其他形式：（1）A R a sin 2= B R b sin 2= C R c sin 2=（注意理解记忆，可只记一个） （2）C B A c b a sin :sin :sin ::=
11. 余弦定理
A bc c b a cos 22
2
2
-+= ⇒ bc
a c
b A 2cos 2
22-+= （注意理解记忆，可只记一个）
12. 三角形面积公式
B ac A bc
C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
∆ （注意理解记忆，可只记一个）
13. 海伦公式：))()((c P b P a P P S ABC
---=∆（其中P 为ABC ∆的半周长，2
c
b a P ++=
） 第七章 平面向量
1. 向量的概念
（1） 定义：既有大小又有方向的量。

（2） 向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A ，终点为B 的向量表示为AB 。

（3） 向量的模（长度）：||||
a AB 或
（4） 零向量：长度为0，方向任意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。

反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2. 向量的运算 （1） 图形法则
三角形法则 平形四边形法则
（2）计算法则
加法：AC BC AB =+ 减法：CA AC AB =-
（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律
3. 数乘向量：a λ （1）模为：||||a λ （2）方向：λ为正与a 相同；λ为负与a 相反。

4.
AB 的坐标：终点B 的坐标减去起点A 的坐标。

),(A B A B y y x x AB --=
5. 向量共线（平行）：∃唯一实数λ，使得b a λ=。

（可证平行、三点共线问题等）
6. 平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a ，都存在唯一的
一对实数21,x x ，使得2211e x e x a +=。

7. 注意ABC ∆中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分
线交点）、垂心（三高线的交点） 8. 向量的内积（数量积）
（1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围],0[π。

（2） 内积公式：><=⋅b a b a b a ,cos |||| 9. 向量内积的性质：
（1）|
|||,cos b a b a b a >=
< （夹角公式） （2）a ⊥b 0=⋅⇔b a
（3）a a a
a ==⋅||||2或 （长度公式）
10. 向量的直角坐标运算： （1）),(A B A B y y x x AB --=
（2）设),(),,(2211y x b y x a ==，则 ),(2121y y x x b a ±
±=± ),(11y x a λλλ= 2121y y x x b a +=⋅
11.中点坐标公式：若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,点M(x,y)是线段AB 的中点,则1212
,22
x x y y x y ++=
= 12.向量平行、垂直的充要条件：设),(),,(2211y x b y x a ==，则
a ∥
b 2
121y y
x x =⇔
（相对应坐标比值相等） a ⊥b ⇔=⋅⇔0b a 02121=+y y x x （两个向量垂直则它们的内积为0）
11. 长度公式
（1） 向量长度公式：设),(y x a =，则22||y x a +=
（2） 两点间距离公式：设点),(),,(2211y x B y x A ，则 212212)()(||y y x x AB -+-=
12. 向量平移
（1） 平移公式：点),(y x P 平移向量)','('),(21y x P a a a 到=，则⎩
⎨
⎧+=+=21
''a y y a x x 记忆法：“新=旧+向量”
（2）图像平移：)(x f y =的图像平移向量),(21a a a
=后得到的函数解析式为：)(12a x f a y -=-
第八章 平面解析几何
1. 曲线C 上的点与方程0),(=y x F 之间的关系： （1） 曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；
（2） 以方程0),(=y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上。

则曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程。

2. 求曲线方程的方法及步骤： (1) 设动点的坐标为（x ，y ）；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用y x ,的关系式
表示这个条件列出的方程；（4） 化简方程（不需要的全部约掉）；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。

如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。

3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4. 直线：
(1) 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。

其范围是),0[π
(2) 斜率：①倾斜角为0
90的直线没有斜率；②αtan =k
（倾斜角的正切）
③经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1
21
2x x y y K --=
)(21x x ≠
(3) 直线的方程 ① 两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=
-- ② 斜截式：b kx y += ③ 点斜式：)(00x x k y y -=- ④ 一般式：0=++C By Ax
注：1.若直线l 方程为3x+4y+5=0，则与l 平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l 垂直的直线可设为4X-3Y+C=0
2.求直线的方程最后要化成一般式。

(4) 两条直线的位置关系
注：系数为0的情况可画图像来判定。

(5)点到直线的距离
①点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2
2
00|
|B
A C By Ax d +++=
5. 圆的方程
（1） 标准方程：2
2
2
)()(r b y a x =-+-（0>r
）其中圆心),(b a ，半径r 。

（2） 一般方程：022
=++++F Ey Dx y x （0422
>-+F E D
）
圆心（2
,2E
D --） 半径：2
422F
E D r -+=
（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径r 比较。

相交⇔<r d ； 相切⇔=r d ； 相离⇔>r d
6.
标准方程
122
22=+b y a x （焦点在x 轴上） 122
22=+a
y b x （焦点在y 轴上） 图像
c b a ,,的关系
222c b a += 注意：通常题目会隐藏这个条件
对称轴与对称中心 x 轴：长轴长a 2；y 轴：短轴长b 2；)0,0(O
顶点坐标 )0,(a ± ),0(b ±
焦点坐标
)0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
1122
<-==a
b a
c e
7. 双曲线
几何定义
动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数a 2
a PF PF 2||||||21=-
标准方程
12222=-b y a x （焦点在x 轴上） 12
2
22=-b x a y （焦点在y 轴上） 图像
c b a ,,的关系
222b a c += 注意：通常题目会隐藏这个条件
对称轴与对称中心 x 轴：实轴长a 2；y 轴：虚轴长b 2；)0,0(O
顶点坐标
)0,(a ±
焦点坐标
)0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上
离心率
1122
>+==a
b a
c e
渐近线
x a
b
y ±
=（焦点在x 轴上） x b
a
y ±
=（焦点在y 轴上） 注：等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等⇒b a =（2）离心率2=e （3）渐近线x y ±=
8. 抛物线
几何定义 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹
d MF =||（d 为抛物线上一点M 到准线的距离）
焦点位置
x 轴正半轴 x 轴负半轴
y 轴正半轴 y 轴负半轴
图像
标准方程 px y 22=)0(>p px y 22-=)0(>p py x 22=)0(>p py x 22-=)0(>p
焦点坐标 )0,2(p
F )0,2(p F -
)2,0(p F
)2,0(p F -
准线方程 2
p x -=
2p x =
2p y -=
2
p y =
顶点 )0,0(O
对称轴 x 轴
y 轴
离心率
1=e
注：（1p （2） 掌握焦点在哪个轴上的判断方法
（3）圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：
2122124)(1||x x x x k AB -++=
（4）圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的！
第九章 立体几何
1. 空间的基本要素：点、线、面
注：用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系 2. 平面的基本性质
（1） 三个公理：
① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

② 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。

③ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（2） 三个推论：
① 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

② 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3. 两条直线的位置关系：
（1） 相交：有且只有一个公共点，记作“A b a = ”
（2） 平行：.a 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

.b 平行于同一条直线的两条直线平行
（3） 异面：
① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线
② 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于
2
π
的角。

注意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。

4. 直线和平面的位置关系：
（1） 直线在平面内：α⊆l
（2） 直线与平面相交：A l =α
（3） 直线与平面平行
① 定义：没有公共点，记作：l ∥α
② 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

③ 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。

5. 两个平面的位置关系 （1） 相交：l =βα （2） 平行：
① 定义：没有公共点，记作：“α∥β”
② 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行 ③ 性质：
.a 两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行
.b 平行于同一平面的两个平面平行 .c 夹在两平行平面间的平行线段相等
.d 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例
6. 直线与平面所成的角：
（1） 定义：直线与它在平面内的射影所成的角 （2） 范围：]2
,
0[π
7. 直线与平面垂直
（1） 判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直 （2） 性质：
① 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线； ② 垂直于同一平面的两直线平行；
③ 垂直于同一直线的两平面平行。

8. 两个平面垂直
（1） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

（2） 性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。

9. 二面角
（1） 定义：过二面角βα--l 的棱上一点O ，分别在两半平面内引棱l 的垂线OB OA 、，则AOB ∠为二面角的
平面角
（2） 范围：],0[π
（3） 二面角的平面角构造：
① 按定义，在棱上取一点O ，分别在两半平面内引棱的垂线OB OA 、，则AOB ∠即是 ② 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OB OA 、，AOB ∠即是
第十章 排列、组合与二项式定理
1.分类用加法：n m m m N +⋯⋯++=21 分步用乘法：n m m m N ⋯⋯=21
2.有序为排列：)!
(!
)1()2)(1(m n n m n n n n P m
n -=
+-⋯⋯--=
无序为组合：)!(!!
!)1()2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m
m n m
n
-=
+-⋯⋯--== 阶乘：123)2)(1(!⨯⨯⨯⋯⋯--==n n n n P n
n 规定：1!0=
10=n C
注：（1）做排列组合题的原则：先特殊，后一般！
（2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。

3.组合数的两个性质：（1）m n n
m
n C C -= （2）1
1-++=m n m n m n C C C 4.二项式定理：
n
n n n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 011111100)(+⋯⋯++⋯⋯++=+----
通项：r
r n r n r b a C T -+=1
，其中r n
C 叫做第1+r 项的二项式系数。

注：（1）二项展开式中第1+r 项的系数与第1+r 项的二项式系数r
n C 是两个不同的概念。

（2）杨辉三角 1. 二项式系数的性质
（1） 除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即1
1-++=r n
r n r
n C C C （2） 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即r
n n
r
n
C C -=
（3）
n 为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大；
（第12
+n
项） n 为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。

（第2
1
+n 项和后一项）
7. n
n
n n n C C C 2C m
n 1
=⋯⋯+⋯⋯++ 1
5
3
1
4
2
2
-=⋯⋯+++=⋯⋯+++n n n n n n n C C C C C C
第十一章 概率与统计
一、概率.
1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每
一个基本事件的概率都是
n 1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n
m
P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中
有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．
叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.
ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.
如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为独立事件.
④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验
是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：
k
n k k n n P)
(1P C (k)P --=. 二、随机变量.
1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是
恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随
机变量。

设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x
ξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～
5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试
验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k n k k
n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
由于n q
p C 恰好是二项展开式
11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记
k n k k
n q p C -＝b (k ；n ，p )．
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结
果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此
时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
三、数学期望与方差.
n n 2211随机变量取值的平均水平.
2. 二项分布的数学期望：np E =ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称
+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差。

显然0≥ξD ，故σξξσξ
.D =为ξ的根方差或标准差。

随机
变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．
4.二项分布的方差：npq D =ξ
5. 期望与方差的关系：22)(ξξξE E D -= 四、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.
直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：2
221)(σσ
π-
=
e
x f . （σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），
称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：μξ=E ，2σξ=D ⑶正态曲线的性质.
①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.
③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，
向x 轴无限的靠近.
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(2
2+∞-∞=
- x e
x x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即
ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .
注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)0(=Φ，当)(x Φ的X
如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σ
μ
x (
F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.
4.⑴“3σ”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正
态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％
亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）。

知识
S 阴=0.5S a =0.5+S
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Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that....
随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。

As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.
然而，对于此类问题，人们持不同的看法。

(Hold different attitudes 持不同的看;Come up with different attitudes 有不同的看法)
As society develops, people are attaching much importance to....
随着社会的发展，人们开始关注............
People are attaching more and more importance to the interview during job hunting
求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。

As to whether it is worthwhile ....., there is a long-running controversial debate. It is quite natural that people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it.
关于是否值得___________的问题，一直以来争论不休。

当然，不同的人对此可能持不同的观点。

In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma.
在都市的发展中，我们往往会陷入困境。

Recently the phenomenon has aroused wide concern, some people are in alarm that....
最近，这种现象引起了人们的广泛关注，有人开始担心______________。

The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention.
人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度不断加快，随之给我们带来了很多问题。

...... plays such an important role that it undeniably becomes the biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse?"
_______显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是无可厚非的。

不过，问题是："我们该如何抉择?"
Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges,
现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。

People from different backgrounds would put different interpretations on the same case.
不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。

The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue.
这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。

不同的人对此问题的看法也不尽相同。

When asked ..., some people think..... while some prefer...
说到______，有人认为________，而另一些人则认为__________。

Just as the saying goes: "so many people, so many minds". It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.
俗话说，""。

不同的人对此有不同的看法是可以理解的。

To this issue, different people come up with various attitudes.
对于这个问题，不同的人持不同的观点。

There is a good side and a bad side to everything, it goes without saying that...
万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，____________。

When it comes to ..., most people believe that ..., but other people regard ...as ....
提到_________问题，很多人认为_________，不过，一些人则认为______是____.
When faced with...., quite a few people claim that ...., but other people think as...
提到_________问题，仅少数人认为________，但另一些人则认为_________。

There is a public controversy nowadays over the issue of .... There who criticize ...argue that ...., they believe that ...,but people who favor .., on the other hand, argue that...
目前，____问题争议较大。

批判_____的人认为_____，他们认为_____，不过，。