江苏省苏州市高三数学寒假作业 直线与圆 Word版含答案
2023年高三数学寒假作业16(Word含答案解析)
【解析】
【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.
【详解】设
切线： ，即
切线： ，即 ，
令
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
故选：A．
8.已知双曲线 ，若过点 能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率 取值范围为（）
1.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．
【详解】阴影部分在集合 的公共部分，但不在集合 内，表示为 ，
故选：C．
2.若 ，则z=（）
A. 1–iB. 1+iC. –iD.i
【答案】D
【解析】
（参考数据： ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，确定标准对数视力 从下到上的项数，再利用等比数列计算作答.
【详解】依题意，以标准对数视力 为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力 为该数列第3项，
标准对数视力 对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为 ，
A. B. C. D.
8.已知双曲线 ，若过点 能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率 取值范围为（）
A. B. C. D.以上选项均不正确
二、多选题
9.已知向量 ，则下列命题正确的是（）
A.存在 ，使得 B.当 时， 与 垂直
C.对任意 ，都有 D.当 时，
10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）
江苏省高级中学高三数学小题校本作业(45)直线与圆的综合运用Word版
南通中学数学小题校本作业（45）直线与圆的综合运用一、填空题（共12题，每题5分）1． 已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于,A B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ． 2．若直线10x y -+-与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是 ．3． 已知圆C 1：224470x y x y +--+=和圆C 2：22410130x y x y +--+=，则两圆的公切线有 条．4． 过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ ．5． 如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 ．6． 若点N (a ,b )满足方程关系式a 2＋b 2－4a －14b ＋45=0，则32b u a -=+的最大值为 ．7． 已知圆C 方程为：224x y +=，直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程为 ．8． 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>的公共弦的长为，则a ＝ ． 9． 若圆221:5O x y +=与圆222:()20()O x m y m -+=∈R 相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．10．过点A (11，2)作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有 条．11．已知圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：0ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是 ．12．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； ②对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切； ④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切． 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）二、解答题（共20分,要求写出主要的证明、解答过程） 13．已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=. （1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线 l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等， 试求所有满足条件的点P 的坐标．。
苏州市高三数学寒假作业参考答案
2015年2月12日一、填空题：1．4 2．14033．3- 4．18 5．31 6． 201512015a =7．∵正项等比数列{}n a ，4321228a a a a +--=，∴()()221212128228201a a q a a a a q +-+=⇒+=>-，∴210q -> ∴()44652128221q y a a a a q q =+=+=-，设21(0)q t t -=>，则28(1)18(2)32t y t t t+==++≥ ∴652a a +的最小值是32．8．∵由题意可知422213a a a =，则2213a a a =±，若2213a a a =，易知123a a a ==，舍去；若2213a a a =-，则213132a a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10a <，则22113360a a a a ++=，∴23311()6()10a a a a ++=，则313a a =-±2223332111()b a a q b a a ===，且1q >，∴3q =+二、解答题：9．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝17，a 2＝a 1＋d ＝4， 解得a 1＝1，d ＝3，∴a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)证明 由题意知，2322n a n n b +==，b n －1＝23(n －1)＝23n －3(n ∈N *，n ≥2)， ∴b n b n －1＝23n 23n －3＝23＝8(n ∈N *，n ≥2)，又b 1＝8， ∴{b n }是以b 1＝8，公比为8的等比数列，T n ＝8(1－8n )1－8＝87(8n－1)．10．解：（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意，有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)2(.42)()1(,3)2(2131121q a q q a q a q a由)1(得 0232=+-q q ，解得1=q 或2=q ．当1=q时，不合题意舍；当2=q 时，代入(2)得21=a ，所以，n n n a 2221=⋅=- ．（2）假设存在满足条件的数列{}n a ，设此数列的公差为d ，则方法1：[]()2111(1)2(1)2n n a n d a n d n n -⎡⎤+-+=+⎢⎥⎣⎦，得 222222111331()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立， 则22122112,232,2310,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩解得12,2,d a =⎧⎨=⎩或12,2.d a =-⎧⎨=-⎩此时2n a n =，或2n a n =-． 故存在等差数列{}n a ，使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+．其中2n a n =，或2n a n =-．方法2：令1n =，214a =，得12a =±，令2n =，得2212240a a a +⋅-=，①当12a =时，得24a =或26a =-，若24a =，则2d =，2n a n =，(1)n S n n =+，对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+； 若26a =-，则8d =-，314a =-，318S =-，不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+． ②当12a =-时，得24a =-或26a =，若24a =-，则2d =-，2n a n =-，(1)n S n n =-+，对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+； 若26a =，则8d =，314a =，318S =，不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+．综上所述，存在等差数列{}n a ，使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+．且2n a n =，或2n a n =-．11．解析(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n na S =，①，得 11(1)2n n n a S +++=．② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=．③，于是，21(1)n n na n a ++=+．④ ③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=．又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，∴数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．∴所以，a n =n －1． (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列， 于是，21333p q p q =+． ∴213()33q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，∴此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．2015年2月13日一．填空题1. 2744n n + 2. 2- 3. 2014- 4. 21 5. [7，8) 6. 1849 7.[)⎥⎦⎤⎝⎛-3,00,m m 8. 323()n n n S S S =-二．解答题9.（1）设d n a a n )1(1-+= 所以 ⎩⎨⎧-=+=+10122011d a d a 解得 ⎩⎨⎧-==111d a 则2+-=n a n（2）11222--+-=n n n n a 所以121022212021-+-+⋅⋅⋅+-++=n n n S ① nn n n n S 2221202121121+-++-+⋅⋅⋅++=-②①-②得 n n n n S 22)2121(2121110+---+⋅⋅⋅+-+=-所以12-=n n nS10. （1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nS n S =，即21n S a n =． 当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立． 故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． （2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2． 依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==，于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =， 故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． 于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------．所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑．11.（1）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比解得12,11-=∴=n a a n （2）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n)121121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1221211+=+-=∴n nn T n)121121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当12221211++=++=∴n n n T n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,1222015年2月14日一．填空题 （1）12π-（2（3）52 （4）3-（5）1- （6）右8π （7）143 （8）49二．解答题9．解：设扇形的半径为r ，弧长为l由题意得210142l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得24l r =⎧⎨=⎩或81l r =⎧⎨=⎩（舍去，2απ>） ∴中心角的弧度数为12. 10．解：（1）由图像可得1152,2()1212A T πππ==-=，2ω=， ()2sin(2)f x x ϕ∴=+ 又图像过点2(,2)3π-， 代入得4sin()13πϕ+=- 432,()32k k Z ππϕπ∴+=+∈2,()6||6k k Z πϕπϕππϕ∴=+∈<∴=()2sin(2)6f x x π=+.（2）由0,2x π<<结合图像可得(1,2)m ∈，根据对称性可得两根之和为3π. 11．解：（1）由70,22666x x ππππ<<<+<1sin(2)126x π-≤+≤ 2120,225a a b a a a b ++=⎧-<∴⎨-++=-⎩解得25a b =⎧⎨=-⎩；（2）由()4sin(2)16f x x π=-+-得()4sin(2)16g x x π=+-，原函数的增区间为,,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦原函数的减区间为2,,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.2015年2月15日一．填空题（1）2π （2）4π （3）0]4π（， （4）14- （5）45 （6）73 （7（8二．解答题9. 解：（1）2()sin sin()2f x x x x πωωω=++1cos 221sin(2)62x x ωπω-=+=-+2,121()sin(2)62T f x x ππωωπ==∴=∴=-+（2）122x ππ-≤≤5236613()[].222x f x πππ∴-≤-≤∈-10．解：（1）由题意得34(,)55A ，43sin ,cos 55θθ== 24sin 225θ∴=.（2）3BOC πθ∠=+sinsin()3BOC πθ∠=+=3cos cos()310BOC πθ-∠=+=34(1010B -+∴. 11．解：BOP θ∠=，(0,)3πθ∈sin ,cos ,,sin ,3cos sin ,sin (cos sin )PN R ON R Rt OMQ OM R MN R S R R R θθθθθθθθ∴===∴=-∴=中22sin(2)6R R πθ=+ 2==626πππθθ+当，时，222max S R R R ==.2015年2月16日一． 填空题（1）56π （2）3π （3）2 （4（5）等腰 （6）(sin )(cos )f A f B > （7 （8）6π二．解答题9. 解：（1）,,A B C 成等差数列，∴B =3π．BA BC ⋅＝32，∴cos ac B ＝32，∴12ac ＝32，即3ac =．b 2222cos b ac ac B =+-，∴223a c ac +-=，即2()3a c ac +-＝3．∴2()a c +＝12，所以a c +=（2）2sin sin A C -＝22sin()sin 3C C π--1sin )sin 2C C C =+-C ． 203C π<<，(C ∈．∴2sin sin A C -的取值范围是(． 10．解：（1）由12m n ⋅=-得221cos sin 2A A -=-， 1cos 22A =-， 锐角ABC ∆中，2(0,)A π∈，3A π=由余弦定理得1,2c =当1c =时，cos 0B <与锐角三角形矛盾，2c ∴=，此时1sin 2S bc A ==.（2）由余弦定理得227,b c bc +-=22()7()34b c b c bc +-+∴=≤当且仅当b c =时等号成立b c ∴+≤a b c ===11．解：（1）由余弦定理，得起初两人的距离为（2）设t h 后两人的距离为d (t )，则 当304t ≤≤时，此时()d t =当34t >时，此时()d t =所以()d t (0)t ≥． （3）当241284t -=-=⨯（h ）时，两人的距离最短．2015年2月17日1、（－7, －1）；2、－14a ＋14b ；3、34-； 4、7； 5、4； 6、6； 7、λ＝1； 8、2；9、 (1)∵AB → ＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB → ，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB → |＝5|OA → |，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴OB →＝(－1，－1)．(2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54⎝⎛⎭⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝⎛⎭⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35 时，y min ＝－15． 10、 (1) m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋1＋cos x 22 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m ·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.又cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ．∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0．∴cos B ＝12， ∵0＜B ＜π，∴B ＝π3， 易得π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1． ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12．∴f (A ) ∈⎝⎛⎭⎫1，32 ． 18、(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC → ＋12PQ → )·(PC → －12PQ → )＝0，得|PC → |2－14|PQ → |2＝0， 即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1. (2)因PE → ·PF → ＝(NE → －NP → )·(NF → －NP → )＝(－NP → )2－NF → 2＝NP → 2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203， 又N (0,1)，所以 NP → 2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20． ∵y 0∈[－23，23]，∴当y 0＝－3时，NP → 2取得最大值20，∴PE → ·PF → 的最大值为19； 当y 0＝23时，NP → 2取得最小值为13－43(此时x 0＝0)，∴PE → ·PF → 的最小值为12－43．。
江苏省苏州十中2010届高三数学寒假作业参考答案
江苏省苏州十中2010届高三数学寒假作业参考答案九．直线与圆 2010.2.121． 50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭2． 2- 3．10x y +-= 4．()0,15．20x -+= 6．7．8．⎡⎣9． 1 10．(22⋃ 11． 9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12． 0,20x y x y -=+-= 13． 5 14． 8π十．圆锥曲线2010.2.171.81 21121622=+yx31222=+yx441 5.x y 202= 6． 3107. m = 325-8.m m--2 9.2210. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22_ 13-11. 3226- 12. 25 13. 13422=+y x 14 8十一．综合测试题3 2010.2.181. [-1,3];2. 3(,3]2;3. a <-1或a >0;4.316; 5. 圆; 6. 16; 7.0;8.-4;9.2; 10.9(2,)4-; 11. 1; 12. 7; 13.4n -1 14.①②③⑤15. (1)7; (2)2009. 16. (1)直角三角形; (2) 3π.17. (1)3π; (2)2π; (3) 6π.18. (1) 12; (2)2211612yx+=.19. (1) C:22143xy+=; (2) 3.20. (1) 增区间(0, 12), (2,+∞); 减区间(-∞,0), (12,2).(2) [-83,83]; (3) b 4≤-十二．立体几何 2010.2.191．①②④；2．①；③ 3．θπ-；4．132；5．13；6．（1）（4）；7．5cm 或1cm ；8．MC PM =；9．π14；10．),332[+∞；11．38；12．5；13．65；14)1,21(。
十三．推理与复数 2010.2.201. -62.3.54. 2个5. ①②③6. 917. 40380908. )1(22)(++=n n n f 9.265n a n =-10. 122n n a a +=+ 11. 111121222k k k ++++++ 12.。
江苏省苏州市高三数学寒假作业 综合模拟练习 Word版含答案
综合模拟练习卷班级________姓名______________一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1．已知集合M {1，2，4}，N ＝{3，4}，则M ∩N ＝__________． 2．i 是虚数单位，化简i(1+i)2＝__________． 3．函数f (x )＝ln(16－x 2)的定义域为__________．4．如图，对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测， 如图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准， 产品长度在区间[20,25)上为一等品， 在区间[15,20)和[25,30)上为二等品， 在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 现从该批产品中随机抽取1件， 则其为二等品的频率是__________．5．等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，S 2＝3，S 3＝4，则S 4＝________． 6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是________． 7．阅读右边的程序框图， 运行相应的程序．若输入x 的值为1, 则输出S 的值为________．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝4，则sin2C sin B的值为________．9．曲线y ＝1－(x －2)2上的点到x ＋3y ＝0的最大距离为________．10．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若|3BA →－2OB →|＝7|OC →|，则OA →与OB →的夹角余弦值为________.11．x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝5，则(x 2＋4)(y 2＋4)的最小值为__________． 12．如图，矩形ABCD 对角线交于点O ，AD =a ，AB =b ，将△AOB 和△DOC 分别沿BO ，CO 折起，使得OA ，OD 重合，得到三棱锥A -OBC ，当ab ＝________时，平面ABC ⊥平面OBC ．13．已知f (x )＝e x ，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为________．14．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个短轴端点为A ，右焦点为F (c ，0)，直线AF 与椭圆的另一个焦点为B ，BC 垂直于x轴与椭第4题图第6题图第12题图第14题图圆交于C ，△ABC 为等腰三角形，椭圆的离心率记为e ，则e 2＝________．二、解答题 （本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．如图，等腰三角形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD 大小为α，∠CAD 大小为β．(1)若α＝π6，β＝π4，求BDDC ；(2)若BD DC ＝12，β＝α＋π3，求∠B ．16．如图，三棱锥ABCD 中， AB ⊥面BCD ，点E ，F 分别为AC ，AD 的中点，H 是CD 上一点，且BH ⊥CD ，G 是BC 上一点，EG ∥平面ABD ． (1)证明：EG ∥平面ABH ； (2)证明：面ABH ⊥面EFG ．17．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；第15题图第16题图(2)如图2，若电热丝由弧AB ⌒，CD ⌒和弦BC 这三部分组成，在弧AB ⌒，CD ⌒上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．18．如图椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为55，短轴的两个端点分别为A ，B ，在椭圆上(y轴右侧)取一点C ，线段OC 交以AB 为直径的圆于D ，圆上一点到右准线的最小距离为3．(1)求椭圆的方程； (2)若OC 斜率为55，求△ACD 面积； (3)延长AC ，AD ，分别交右准线于E ，F ，求△AEF 面积的最大值．19．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋4，f (x )在x 1处取极大值，在x 2处取极小值．(1)若a ＝0，写出函数的单调区间，并指出f (x )的零点个数； (2) 当a ＞0时，求函数f (x )极小值的范围并指出函数f (x )零点个数； (3) 在方程f (x )＝f (x 1)的解中，最大的一个记为x 3，证明x 3－x 2x 2－x 1为定值．第18题图图2图1第17题图20．已知数列{a n }和{b n }，其中a n ＝n ， b n ＝2n －1，且n ＋1＝x n ＋y n ， x n ≤y n ，x n 是{a n }中的项，y n 是{b n }中的项， {x n }的前n 项和为S n ， {y n }的前n 项和为T n ． (1)求S 10； (2)求(k ∈N *)，并求满足S n ≤2017的 n 的最大值；(3)比较与的大小(k ∈N *)，其中2k ≤n ≤2k +1－1，说明理由．综合模拟试卷答案一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1．{4} 2．－2 3．(－4，4) 4．0.45 5．1436．π167．73 8．－239．2 10．－1211．10012． 213．y ＝x ＋1或y ＝e x 14．1－228．提示：sin2C sin B ＝2sin C cos C sin B ＝2c cos Cb9．提示：10．|3(OA →－OB →)－2OB →|＝7|OC →|，两边平方：9OA →2＋25OB →2－30OA →∙OB →＝49OC →2|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝r ，9r 2＋25r 2－30r ∙r ∙cos α＝49r 2 故cos α＝－1211．(x 2＋4)(y 2＋4)＝x 2y 2+4(x 2+y 2)+16＝x 2y 2+4[(x +y )2－2xy )+16＝(xy )2－8xy +116x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝5，xy ∈[0，254]，当xy ＝4，最小值100．12．取BC 中点E ，连接AE ，OE ，AE ⊥BC ，故平面ABC ⊥平面OBCAE ⊥OE ，AE 2＋OE 2＝AO 2，得(b 2－a 24)＋b 24＝14(a 2＋b 2)∴a b＝ 2 13．直线l 与f (x )切于(a ，e a )，与g (x )切于(b ，ln b ＋2)，f '(x )＝e x ，g'(x )＝1x，切线方程可写为：y ＝e a (x －a )＋e a ，也可写为y ＝1b (x －b )＋ln b ＋2，e a ＝1b ，(1－a )e a ＝ln b ＋1，∴(1－a )e a ＝－a ＋1，(1－a )(e a －1)＝0，∴a ＝1或0，∴y ＝x ＋1或y ＝e x ．14．AF ：y ＝－b c (x －c )，代入椭圆方程得：(1a 2＋1c 2)x 2－2c x ＝0，解得B (2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c2)C (2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2)，AB 中点D (a 2ca 2＋c 2，a 2b ＋c 2b －b 32(a 2＋c 2))，k CD ＝3b 3－a 2b －c 2b 2a 2c ，k AB ＝－bck CD k AB ＝－1，化简得2e 4－4e 2＋1＝0，e 2＝1－22二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 解：（1）BD sin α＝AD sin B ，CD sin β＝ADsin C，sin B ＝sin C ，BD DC ＝sin αsin β＝12； （2）sin αsin β＝12，2sin α＝sin(α＋π3)，α＝π6，β＝π2，∠B ＝π616.解：(1)因为EG ∥平面ABD ，又因为EG ⊂平面ABC ，面ACB ∩ABD ＝AB ， 所以EG ∥AB ．又EG ⊄平面ABH ，AB ⊂平面ABH ， 因此EG ∥平面ABH ．(2)因为AB ⊥面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥CD ，又BH ⊥CD ，又AB ∩BH ＝B ， 所以CD ⊥ABH ，点E ，F 分别为AC ，AD 的中点，所以EF ∥CD ， 所以EF ⊥ABH ，又EF ⊂平面EGH ， 所以面ABH ⊥面EFG ．17.解：(1)设∠AOB ＝θ，θ∈(0，π2)则AB ＝2sin θ2，BC ＝2cos θ，总热量单位f (θ) ＝4cos θ+4 sin θ2＝－8(sin θ2)2＋4 sin θ2＋4，当sin θ2＝14，此时BC ＝2cos θ＝74(米)，总热量最大92(单位)．答：应设计BC 长为74米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为92单位．(2)总热量单位g (θ)＝2θ＋4cos θ，θ∈(0，π2)令g'(θ)＝0，即2－4sin θ＝0，θ＝π6，增区间（0，π6），减区间（π6，π2）当θ＝π6，g (θ)最大，此时BC ＝2cos θ＝3(米)答：应设计BC 长为3米，电热丝辐射的总热量最大．18.解 (1)c a ＝55，a 2c －b ＝3，c 2＝b 2＋a 2，解得a ＝5，b ＝2，椭圆方程x 25＋y 24＝1(2)设OC ：y ＝55x ，代入圆方程：x 2＋y 2＝4，解得：x D ＝303，(负值舍去以下同) 代入椭圆方程x 25＋y 24＝1，解得：x C ＝2，S △ACD ＝12OA |x D －x C |＝2－303(3)设OC ：y ＝kx ，分别代入圆和椭圆方程解得D ，C ，则，同理，，y E ＝k AC ∙5＋2，y F ＝k AD ∙5＋2，S △AEF ＝12∙5|y E －y F |＝252当k ＝0时，S △AEF 取最大值为25－1052．19. 解：(1)增区间：(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间：(0，2)，f (x )＝(x ＋1)2(x －2)有两个零点，分别为－1，2．(2)令f'(x )＝3x 2－6x +a ，a ＞0，则3x 2－6x +a ＝0的解为x 1，x 2， f'(0)＝a ＞0，f'(2)＝a ＞0，f'(1)＜0，得0＜x 1＜1＜x 2＜2， a ＝6x 2－3x 22，极小值为f (x 2)＝x 23－3x 22＋ax 2＋4＝－2x 23＋3x 22＋4设g (x )＝－2x 3＋3x 2＋4，（1＜x ＜2），g'(x )＝－6x 2+6x ＜0，g (x )在（1,2）单调减， f (x 2)∈(0，5)．f (x )在(－∞，x 1)递增，f (－1)＝－a ＜0，f (x 1)＞f (x 2)＞0，在(－∞，x 1)上有1个零点，f (x )在(x 1，x 2)递减，f (x )在(x 2，＋∞)递增，f (x 2)＞0，f (x )在[x 1，＋∞)无零点， 综上，f (x )在R 上有唯一零点．(3)3x 2－6x +a ＝0的解为x 1，x 2得x 1＋x 2＝2，a ＝6x 1－3x 12，方程f (x )＝f (x 1)可化为(x －x 1)2(x ＋2x 1－3)＝0，另一个解为3－2x 1＞x 1，故x 3＝3－2x 1，x 3－x 2x 2－x 1＝3－2x 1－(2－x 1)(2－x 1)－x 1＝1220.解：(1)S 10＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3＋4)＋1＋2＋3＝20；(2)，故S 63＝714，后面跟m 项，714＋1＋2＋＋m ≤2017，解得m ≤50，n 最大值＝63+50＝113． (3)＝1＋(2＋2)＋(4＋4＋4＋4)＋＋(2k －1＋2k－1＋2k －1)＝1＋4＋42＋＋4k－1故而，1≤m≤2k，又≤所以。
直线与圆(较难题组)含答案
9.直线和圆的方程较难题及难题组）1．（2012年江苏高考12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．2、（2011江苏高考14）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________3．（连云港市2012－2013学年度第一学期高三期末考试13）如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ▲ .4．（南通市2013届高三第一次调研测试13）已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ． ．5．（苏州市2012－2013学年度第一学期高三期末考试13）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线60y +-=与圆22((1)2x y -+-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．6. （镇江市2012－2013学年度第一学期高三期末考试12）从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ．7．（无锡市2013届高三上学期期末考试13）定义一个对应法则f ：P （rn ，n ）→p '（m ，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （-2，6）与点B （6，-2），点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则f ：M→M'．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点M'经过的路线的长度为 。
2021版江苏高考数学复习讲义：直线与圆、圆与圆的位置关系含答案
⎩⎨⎧d ＜r ⇔相交，弦长l ＝2r2－d2d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)、圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2(r 2>0)．位置关系 几何法：圆心距d 与r 1、r 2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解[常用结论]1．当两圆相交(切)时、两圆方程(x 2、y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．2．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0、y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0、y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0、y 0)作圆的两条切线、则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.B [两圆圆心分别为(－2,0)、(2,1)、半径分别为2和3、圆心距d ＝42＋12＝17. ∵3－2<d <3＋2、 ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1、3)处的切线方程为 ． x －3y ＋2＝0 [因为点P (1、3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点、 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为 ． 22 [由⎩⎨⎧x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0,0)、半径r ＝2、且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2、所以公共弦长为2r2－d2＝24－2＝22.]考点1 直线与圆的位置关系[1、2)[画出图象如图、当直线l经过点A、B时、m＝1、此时直线l与曲线y＝1－x2有两个公共点；当直线l与曲线相切时、m＝2、因此当1≤m<2时、直线l：x＋y＝m与曲线y＝1－x2有且只有两个公共点．]考点2圆与圆的位置关系几何法判断圆与圆的位置步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2、|r1－r2|的值．(3)比较d、r1＋r2、|r1－r2|的大小、写出结论．已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解](1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)、半径r1＝11、圆C2的圆心为C2(5,6)、半径r2＝4、两圆圆心距d＝|C1C2|＝5、r1＋r2＝11＋4、|r1－r2|＝4－11、∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2、∴圆C1和圆C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减、得4x＋3y－23＝0、∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.∵圆M截直线所得线段长度为22、∴错误!＝2错误!.又a>0、∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0、即x2＋(y－2)2＝4、圆心M(0,2)、半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1、圆心N(1,1)、半径r2＝1、∴|MN|＝错误!＝错误!.∵r1－r2＝1、r1＋r2＝3,1<|MN|<3、∴两圆相交．]2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切、则m＝( ) A．21 B．19C．9 D．－11C[圆C1的圆心为C1(0,0)、半径r1＝1、因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m、所以圆C2的圆心为C2(3,4)、半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2、即1＋25－m＝5、解得m＝9、故选C.]考点3直线、圆的综合问题切线问题。
苏州市选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(有答案解析)
一、选择题1．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C D 3．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此时a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．13D ．－135．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝06．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ） A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π7．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．98．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9B ．4C ．12D ．149．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=10．点(2,3)P 到直线：(1)30ax a y +-+=的距离d 最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5，2 C ．5，1D ．7，111．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．12．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++=D ．2430x y ++=二、填空题13．已知圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为__________．14．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.15．若直线0x y m +-=与曲线2y =没有公共点，则实数m 所的取值范围是______.16．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线一般式方程是___________17．已知(3,1)P ，在1y x =+(1x ≥-)和x 轴(1x ≥-)上各找一点M ､N ，使得三角形PMN 周长最小，则最小时直线MN 的方程为___________18．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆2240y x C x +-=：的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN的最小值是________.19．若直线l ：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.20．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.三、解答题21．圆224x y +=，点P 为直线:80l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为()2,6，求直线PA 、PB 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．22．已知圆C 与x 轴相切于点()1,0，且圆心C 在直线3y x =上， （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线y x m =+交于不同两点A ，B ，若直角坐标系的原点O ，在以线段AB 为直径的圆上，求实数m 的值.23．已知动点P 到两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点()1,3B 的直线l 与曲线相切，求直线l 的方程；（3）已知圆Q 的圆心为(,)(0)Q t t t >，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围.24．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．25．在平面直角坐标系中，圆C 过点()1,0E 和点()0,1F ，圆心C 到直线0x y +=的距.（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆心C 在第一象限，M 为圆C 外一点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，四边形MACB ，求点M 的轨迹方程.26．已知圆心为C 的圆经过A （1，1）和B （2，－2），且圆心C 在直线l ：10x y -+=上.（1）求圆心为C 的圆的一般式．．．方程；（2）是否存在过原点的直线l ′与⊙C 交于E 、F 两点且使EF 为直径的圆过点M （0），若存在，求出直线l ′方程，若不存在说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ， 211(2)5251()12d ⨯---∴==+，圆的半径为221(2)41632r =-++=. 2224MN r d ∴=-=.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.2．D解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0，半径为5，yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan α=，y x 5，【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.3．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由PA =②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2PM =④；两圆相减可得直线AB 方程，判断③. 【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2PM =故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.4．C解析：C先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .圆22:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41332PC k -==-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.故选：C . 【点睛】方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ；（3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩求解. 5．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2222||||2||2||||2||4PACB PAC S S PA AC PA PC AC PC ∆==⋅==-=- 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为21(0,),||2152PC =+=以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.6．B解析：B 【分析】夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积 【详解】两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：4d ==，夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π. 故选：B 【点睛】此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.7．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r ==-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含；（2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交；（4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.8．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.9．A解析：A 【分析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．10．C解析：C 【分析】将直线方程整理为()()30a x y y ++-=，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，由此可得当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时PQ 的长，并且此时点P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】直线()130ax a y +-+=， 即()()30a x y y ++-=，∴直线()130ax a y +-+=是过直线0x y +=和30y -=交点的直线系方程，由030x y y +=⎧⎨-=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，可得直线()130ax a y +-+=经过定点()3,3Q -，∴当直线()130ax a y +-+=与PQ 垂直时，点()2,3P 到直线()130ax a y +-+=的距离最大，d ∴的最大值为5PQ ==，此时//PQ x 轴，可得直线()130ax a y +-+=斜率不存在，即1a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.11．C解析：C【分析】设AB 的中点为C ，由||||OA OB AB +，可得||||OC AC，则222||||4AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范围． 【详解】设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，因为||OC =，所以222||||4AC OC =≤+，所以2a -或2a ，2<，所以a -<< 因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，， 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-，由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.二、填空题13．【分析】由两圆方程相减可得公共弦的方程再由直线和圆相交的弦长公式计算可得所求值【详解】解：由圆和圆相减可得公共弦的方程为又圆的圆心为半径为可得到直线的距离为则故答案为：【点睛】关键点点睛：两圆相交相解析：【分析】由两圆方程相减可得公共弦AB 的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值． 【详解】解：由圆221:210240C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=相减可得，公共弦的方程为240x y -+=，又圆221:210240C x y x y +-+-=的圆心为(1,5)-，半径为可得1C 到直线240x y -+=的距离为d =则||AB =故答案为： 【点睛】关键点点睛：两圆相交，相交弦所在直线的方程可有两圆方程相减而得到，处理圆的弦长选择垂径定理为好．14．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与解析：(,11,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.15．【分析】根据题意作出曲线的图象然后采用平移直线的方法求解出的临界值由此求解出的取值范围【详解】如下图所示：即为表示圆心在半径为的半圆当直线与曲线在左下方相切时此时所以此时（舍）或；当直线经过点时所以解析：((),12,-∞⋃+∞【分析】根据题意作出曲线2y =的图象，然后采用平移直线的方法求解出m 的临界值，由此求解出m 的取值范围. 【详解】如下图所示：2y =()()()2212112x y y ++-=≤≤，表示圆心在()1,2-，半径为1的半圆，当直线与曲线在左下方相切时，此时0m <1=，此时1m （舍）或1m =当直线经过点()0,2时，020m +-=，所以2m =，综上可知：当直线与曲线2y =((),12,m ∈-∞⋃+∞，故答案为：((),12,-∞⋃+∞.【点睛】思路点睛：根据直线与半圆的交点数求解参数范围的思路： （1）根据条件画出半圆的图象确定好圆心和半径； （2）采用平移直线的方法确定出直线的临界位置；（3）利用圆心到直线的距离公式以及直线经过某点求解出参数的临界值，由此确定出参数的取值范围.16．或【分析】当纵截距为时设直线方程为代入点求得的值得解当纵截距不为时设直线的截距式方程代入点求得直线的方程【详解】当轴上的截距时设直线方程为点代入方程得即当时设直线的方程为点代入方程解得即直线方程为即解析：290x y +-=或250x y -= 【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y kx =，代入点()5,2求得k 的值得解，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点()5,2求得直线l 的方程. 【详解】当y 轴上的截距0b =时，设直线方程为y kx =，点()5,2代入方程，得25y x =，即250x y -=.当0b ≠时，设直线的方程为12x y b b +=，点()5,2代入方程，解得92b =，即直线方程为1992x y+=，即290x y +-=.故答案为：250x y -=或290x y +-=【点睛】讨论截距为0或截距不为0是解题关键，否则会漏解，属于基础题.17．【分析】作点关于射线与轴的对称点连接两对称点得解【详解】如图作出作点关于射线与轴的对称点连接两对称点与射线与与轴交于两点则此时三角形周长最小因为所以最短设则解得同理得所以故直线的方程为故答案为：【点解析：53120x y +-=【分析】作点(3,1)P 关于射线1y x =+1x ≥-与x 轴的对称点,C B ，连接两对称点CB 得解, 【详解】如图，作出作点(3,1)P 关于射线1y x =+1x ≥-与x 轴的对称点,C B ，连接两对称点CB 与射线1y x =+与与x 轴交于两点,M N ,则此时三角形PMN 周长最小.因为,PM CM PN NB ==,所以PM PN MN CM MN NB CB ++=++=最短，设(,)C x y 则13122113y x y x ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩ 解得(0,4)C ，同理得(3,1)B - 所以53CB k =- 故直线MN 的方程为53120x y +-= 故答案为：53120x y +-=【点睛】作出点关于已知两射线的对称点是解题关键，属于基础题.18．【分析】根据题意得当的长度最小时取最小值进而根据几何关系求解即可【详解】如图由题可知圆C 的圆心为半径要使的长度最小即要最小则最小因为所以当最小时最小因为所以当最小时最小因为所以所以由于所以故答案为： 解析：473【分析】根据题意得当||MN 的长度最小时，||PC 取最小值，进而根据几何关系求解即可. 【详解】如图，由题可知圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r．要使||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，则MCP ∠最小． 因为||||tan 2PM PM MCP r ∠==， 所以当||PM 最小时，||MN 最小因为2||4PM PC =-∣， 所以当||PC 最小时，||MN 最小． 因为min ||3211PC ==+， 所以2cos 32MCP ∠==， 所以7sin 3MCP ∠=， 由于1in 2s 2MCP MN∠=所以min 47||MN =． 47. 【点睛】本题解题的关键是根据已知当||MN 的长度最小，即要MCN ∠最小，进而得当||PC 最小时，||MN 最小．由于||PC 的最小值为C 点到直线40x y -+=，故min ||32PC =.考查化归转化思想和运算能力，是中档题.19．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭20．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=，将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.三、解答题21．（1）43100x y -+=或2x =；（2）证明见解析；11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）考虑斜率不存在的直线是切线，然后当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，由圆心到切线的距离等于半径求出k 即得；（2）设P 点坐标，求出以PO 为直径的圆的方程，与已知圆方程相减可得直线AB 方程，整理成关于参数的恒等式，可得定点坐标． 【详解】解：（1）由题意，当切线的斜率存在时设切线方程为()62y k x -=-，即260kx y k --+=2=，解得43k =，即43100x y -+=． 当切线的斜率不存在时，方程为2x =满足题意． 综上所述，所求的切线的方程为43100x y -+=或2x =． （2）证明：根据题意，点P 为直线80x y +-=上一动点，设()8,P m m -，∵PA ，PB 是圆O 的切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥． ∴AB 是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦．由于以PO 为直径的圆的方程为2222442222m m m m x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()2280x m x y my --+-=，①又圆O 的方程为224x y +=②．①—②，得()840m x my -+-=，即()840m y x x -+-=， 则该直线必过点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查圆的切线方程，相交弦所在直线方程．对切线，一般由圆心到切线的距离等于半径去判断求解，而相交两圆方程相减后可得相交弦所在直线方程，如果外切，则得这一条公切线方程．22．（1）()()22139x y -+-=；（2）1m =.【分析】（1）求出圆心坐标和半径可得圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入圆方程一应用韦达定理得1212,x x x x +，已知条件得OA OB ⊥，即12120x x y y +=，由此可求得m 值． 【详解】解：（1）由题意可得：圆心C 的横坐标为1，且圆心直线3y x =上，可得圆心C 坐标为()1,3，半径3r =， 则圆C 的方程为：()()22139x y -+-=.（2）由()()22139y x m x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩可得：()22228610x m x m m +-+-+= 设()11,A x y ，()22,B x y 则：122124612x x mm m x x +=-⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩，且241656m m ∆=-++，由题意可得：OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，且11y x m =+，22y x m =+，代入化简可得：2210m m -+=求得：1m =，此时满足：2416560m m ∆=-++> 综上可知：1m =. 【点睛】关键点点睛：本题考查求圆的方程，考查直线与圆相交问题，直线与圆相交问题的解法是设而不求思想方法：即设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入圆方程，消元整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入题中其他条件OA OB ⊥，即12120x x y y +=可解得m 值．23．（1）22(1)4x y ++=；（2）1x =或12530x y -+=；（3）[3-+. 【分析】（1）设(,)P x y ，由||2||AP PO =结合两点间距离公式可求；（2）可得斜率不存在时满足，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可；（3）设出圆Q 方程，利用|2|||2t CQ t -+可求出.【详解】解：（1）由题意知：设(,)P x y ， 由||2||AP PO =，得22||4||AP PO =， ∴()2222(3)4x y x y-+=+，整理得22(1)4x y ++=.故动点P 的轨迹C 的方程为22(1)4x y ++=；（2）由（1）知道，曲线C 为以(1,0)-为圆心，2为半径的圆，①若直线l 斜率不存在，则直线l 为 1x =；②若直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为3(1)y k x -=-，即3y kx k =-+， 此时圆心C 到直线l的距离2d ==，化简得：125k =.综上，直线l 方程为1x =或12530x y -+=.（3）∵点Q 的坐标为(,)(0)t t t >，且圆Q 与x 轴相切， ∴圆Q 的半径为t ，∴圆Q 的方程为222()()x t y t t -+-=，∴圆Q 与圆C的两圆心距离为||CQ == ∵圆Q 与圆C 有公共点，∴|2|||2t CQ t -+，即222(2)221(2)t t t t -+++，解得：33t -+，实数t 的取值范围是[3-+. 【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，注意需要讨论斜率不存在的情况，考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆心距和半径之间的关系判断. 24．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=． 【分析】（1）联立直线方程可解得结果；（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】 （1）联立6590250x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则0000659015502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩，解得(1,3)B --， 又23145AC k -==--，所以AC 边上的高所在直线的斜率12k =，所以AC 边上的高所在直线方程为13(1)2y x +=+，即250x y --=. 【点睛】关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标.25．（1）()()22111x y -+-=或()()22115x y +++=；（2）()()22114x y -+-=.【分析】（1）由题意可知，圆心C 在线段EF 的垂直平分线y x =，可设圆心(),C a a ，由圆心C 到直线0x y +=的距离等于2可求得实数a 的值，进而可求得圆C 的标准方程； （2）推导出Rt CAM Rt CBM ≅△△，可得出四边形MACB 的面积23CAMS SCA AM ==⋅=，进一步可求出2CM =，可得出点M 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆，进而可求得点M 的轨迹方程. 【详解】（1）直线EF 的斜率为01110EF k -==--，线段EF 的中点为11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以，线段EF 的垂直平分线的方程为1122y x -=-，即y x =， 因为圆C 过点()1,0E 和点()0,1F ，所以圆心C 在线段EF 的垂直平分线y x =上， 所以可设圆心为(),C a a ，因为圆心C 到直线0x y +=的距离等于2，所以222a =，解得1a =±，当1a =时，圆心为()1,1，半径1r EC ==，圆C 的方程为：()()22111x y -+-=； 当1a =-时，圆心为()1,1--，半径5r EC ==，圆C 的方程为：()()22115x y +++=.所以圆C 的标准方程为()()22111x y -+-=或()()22115x y +++=； （2）由题知CA MA ⊥，CB MB ⊥，CA CB =，CM CM =，90CAM CBM ∠=∠=，所以，Rt CAM Rt CBM ≅△△， 所以四边形MACB 的面积23CAMS SCA AM ==⋅=因为1CA =，所以3AM =2224CMCA AM =+=，所以2CM =，点M 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆， 所以点M 的轨迹方程为：()()22114x y -+-=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.26．(1) 2264120x y x y +++-= (2)存在，0x =或32y x =-【分析】（1）设圆心(),1C a a +，由AC BC =可求出a ，从而得出答案.（2）当直线l '的斜率不存在，即0x =时,满足条件，当直线l '的斜率存在时，设直线l '的方程为y kx =，由方程联立，得出韦达定理，由以EF 为直径的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=，将韦达定理代入，求出k 的值，得到答案.【详解】（1）由圆心C 在直线l ：10x y -+=上，设圆心(),1C a a +圆C 经过A （1，1）和B （2，－2），则AC BC ==，解得3a =-所以5AC ==所以圆心()3,2C --，半径为5，所以圆的方程为()()223225x y +++=所以圆心为C 的圆的一般式方程：2264120x y x y +++-=（2）当直线l '的斜率不存在，即0x =时，则()()0,2,0,6E F -,满足0ME MF ⋅=即满足EF 为直径的圆过点M （0）.当直线l '的斜率存在时，设直线l '的方程为y kx =，()()1122,,,E x y F x y 2264120y kx x y x y =⎧⎨+++-=⎩ ，得()()22164120k x k x +++-= ()()22644810k k ∆=+++> 21212226412,11k x x x x k k++=-⋅=-++由以EF 为直径的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=()()(11221212ME MF x y x y x x y y ⋅=--=--+(())212121212112x x y y k x x x x =--+=+-++ ()221211201k k -=+++=+ 解得32k =- ，且满足0∆> 所以存在满足条件的直线l '方程为：0x =或32y x =-【点睛】关键点睛：本题考查求圆的方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以EF 为直径的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=，得到ME MF ⋅=())212121120k x x x x +-++=，再由方程联立韦达定理代入解出参数k 得到答案,属于中档题.。
高三数学寒假作业 专题13 直线与圆(练)(含解析)
（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业 专题13 直线与圆（练） （含解析）一．选择题1.直线l 经过点)1,2(-，且与直线023=+-y x 垂直，则直线l 的方程为（ ）A. 013=-+y xB.013=+-y xC.013=++y xD.013=--y x2.直线y ＝2x ＋3被圆x2＋y2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于( )A. 5B. 3C.45D. 53.直线l 经过()()()22,11A B m m R ∈，，两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围（ ）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[π D ．),2(]4,0[πππ⋃考点：直线的倾斜角、斜率.4.如果方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）所表示的曲线关于直线y x =对称，则必有（ ）A. D E =B. D F =C. E F =D. D E F ==5.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6.若直线1l ：280ax y +-=与直线2l：(1)40x a y +++=平行 ，则a 的值为 .7. 已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=，则y x -的最大值与最小值分别为 . 【答案】62+- 62--三．解答题8.已知圆22:2440.C x y x y+-+-=问在圆C上是否存在两点A,B关于直线1y kx=-对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程，若不存在，说明理由.考点：直线与圆的位置关系.对称性问题.。
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题13直线与圆(练)(含解析)
（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业 专题13直线与圆（练） （含解析）••选择题1.直线1经过点（2,1），且与直线3xy 2垂直，则直线1的方程为（)A. x 3y 10 B.x 3y 1 0C x 3y 1D.x 3y 1【答案】止 【解析】试题分析：由题意知，直线/的斜护为上二―2■.只践丿的方程=-I目卩 x+3i'—1 - 0若点j 直线的斜率和点斜式方稈【解析】盂题分祈；同化蔺成标淮方程?a （x-3）:-k （y-4r = 25 -庖心対⑶4” r = 5,那么圆心劃直线j-n3 = 0fi 距苗d 三丄彳V2瞎最1•点到直线距离的求解戸么圆制弦长求SG2A 2 1B 1 m 2 m R3•直线l 经过' ，两点，那么直线l 的倾斜角的取值范 围（）【答案】D【蹄】滾題分析£依题鳶 瓦 二也二「■沪幻，盯匚「極数画象知，貢线时倾斜药刖取值范團是2•直线y = 2x + 3被圆x2 + y2 — 6x — 8y = 0所截 得的弦长等于（） A. 5【答家】CB. 3D. 5A • [0,) B • [0,4]C •咛D •咛"1-2眄］・〔二补选D.考点：直线的倾斜角、斜率2 2 2 24. 如果方程x y Dx Ey F 0（D E 4F 0 ）所表示的曲线关于直线y x对称，则必有（「）A. D EB. D FC. E FD. D E F【答案】【解析】试题分析：由题设X p*+加“£\+F才？表乔以（一?・三）沏园心的圆匸由圆的几何性质.当圆心在盲线I二工上时，总有一2二-占，丽。
二厂诙选丸w 1 3-V ■着点I直銭与IH的关系「［ffl的对称性.2 25. “ k 1”是“直线x y k 0与圆x y 1相交”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C •充分必要条件D•既不充分也不必要条件I［苔ST1【解析】试題分析：要使直线玄一卄上=02圓/ + 相交，则有画心到亘线閑距离力二单灯.即<2囲总芒\所以-Ji玄上玄忑，所y —厂是獰直炉—$+圧=02剧/+齐=1相交"的充分不必要条许，选扎着点匚充分条件、必雯兼件的刑断■直技与圆的位亶关毎.二、填空题6.若直线h : ax 2y 8 0与直线J: x （a 1）y 4 0平行，则a的值为【答黑】1【解析】试题分祈；由+ 1） = *P祁戸吕=1咸口匸“匚・- -2时两直绫重台！所以，口二1*考点.：直鮭平行*2 27.已知实数x、y满足方程x y 4x 1 0，则y x的最大值与最小值分别为试题分析：工7•看作是直銭F 二时办衽1'轴止的鶴即 当亶纥I 二工我与同相切曲 纵截距取得谖大 值或蛊小值，此时仝 解碍4=一2十蔬h 」一屁 所（从1一工的最大值対—2十岳， 最小值为-：-麻+ 考蠱：直线与冒的位直关系，最値间题. 三•解答题2 28.已知圆C ：x y 2x4y 4 0.问在圆C 上是否存在两点A,B 关于直线y kx 1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线 AB 的方程，若不存在，说明理由【解析】存在满定2条条件的直线.丫圆匸江工-1『亍（丄+2）：二9, .-. C （L-2）,设日〔兀J j, £（七=化nT 貢线了二后-1过0-1〕・而J^（O-l ）在IS 的内部，故直践弓圉恒相交,又直Sv = tv-1¥M 平分皿；.直绽）=右—1经过圆心C （U>- ..-2=i-L 即"―“0 = 1、设直线一播的方程为F = Q 皿 联尹1程组,.卡r悄广+斗附一42x'+ 2(?/7+2)x + wF *4OT -4 = 0. 二兀+七 二一(啣-二 ------------------- -----”j 、二［兀 + m ）（x 2 +也）二弋* + 啣（X _"£）+ »/ = _— +啣（删亠 2）亠胡护I 二空二凹二L,由石 —0B-则斗弘+ 口匚二0 那—仝—“鬧唧二或附 .'.直线AR 的方程為1 =兀―】或T =兀 故存在2条藕足条件的克线. 考点：直线与圆的位置关系 •对称性问题•r消去L 得if + r-2x-4i -4 = 0。
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业专题13直线与圆(测)(含解析)
（寒假总动员）2020年高三数学寒假作业专题13直线与圆（测）（含解析）时间：45分钟满分：100分一、选择题（每小题5分，共50分）1 . （2020年高考浙江卷理科3）设a R,则“ a= 1 ”是“直线11 : ax+ 2y—1 = 0与直线12 : x + （a+ 1）y + 4=0平行”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件|【答累】A【解析】当尸1时‘直线I：；卄2厂1=卜与直线氐,^4-4=0 S然平行；若直线上与直线J；平丘三=丄，解之得；a=l or a=-2 听以河充牛：坯婆条件.]n + 12 22.（2020年高考天津卷理科8）设m , n R,若直线（m 1）x+（n 1）y 2=0与圆（x 1） +（y 1） =1相切，则m+n的取值范围是（）（A）[1 3,1+ .3] （B）（,1 -3]U[1+ .'3,+ ）（C）[2 2 .2,2+2、2] （D）（,2 2、2] U[2+2 . 2,+ ）I VSK1D【解析】叮直鏡佃+ 1〉计与圆&一l）；+（y-iy=l相切…••圆心（1R到直线的距离为L （???4-1＞（^ + 1）-2 . 比…-一J幷十趴2打二' ■—■■一二1, ”阡以帀评二旧一旺+1三（------）* 设L研+舊,则丄F上什1,解得徒（Y.2-2返]UDZ+2①厂工h4|【着点定位】本试题王要芳査了直线2層：」位直关茅点到直纟杜J距5S公式，重要不等式，一元二灰不等k的解法，并借助于直多2鬲相切的几何，宦馬求解的爲力.3. （2020年高考江西卷理科7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点,PA|2|PB|22PC=(A . 2C. 5D. 10【答案】D3【解析】取特殊的等腰直角三角險 不妨令|-山卜0匸卜4」则|一纲=和匚\CD\ =JlSRQ |兀| = |尸纠+ CD=y[2, |A4| = |F.P|=V^'； + PD = ■ *+|佝:=皿所以FA PB— = ■【考点定位】卒题主姜考查两点间的距离公元以圧坐标法这一重裳的解题方法和数形结合的数学思想.对 于非特殊的一股图形求解长度问题¥由h 屋选择题・卞妨尝试比论形特臨化，以育便求解答长度，达到快 遠求解的目的.郎现着纟网中耍求墓捱两点闾的距离公式来年需蓼沌意点i!l 直裟的距國公式.2y 4x 0, l 过点P （3,°）的直线，则（（A ） l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ） l 与C 相离 （D ）以上三个选项均有可能【答案】人【解析】点円30）在圆內，划呢与c^-.z 故选A.【考点宦位】邛?卜题主裳若査：也 点与IF 名应直关甌 題目不难.2 25.（2020年高考重庆卷理科 3）对任意的实数k ,直线y=kx+1与圆x y 2的位置关系一定是（ ）相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线y kx 1过圆内内一定点（°，1）.6.【2020年普通高等学校招生全国统一考试 渐近线的距离是（）4. （2020年高考陕西卷理科 4）已知圆C ：X224 X（四川卷）理科】抛物线y 4X 的焦点到双曲线(B ) 2(D )1 （A）2(C) 13【答案】B【解祈】抛物缕十=壮的焦療为F （LC\,双曲红/-匚=1的渐近绕方程为JL 二）=0,于是点尸到、渐近线的距离d=声"=旦选B ・ 阿川 2【易错点】断近线方程记错，距离公式计阵天误・【学科网考点定位】本题考查抛物线与双曲线的标准方程、简单的几何性质，点到直线的距离公式，计算 量小，基础题.A,B 两点，O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线i 的斜率等于（）7.【2020年普通高等学校招生全国统一考试（ 山东卷）理】过点3,1作圆i1的两条切线,切点分别为 A ，B ，则直线AB 的方程为 A.2x yB 2x y 38.【2020年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理】过点0）引直线I 与曲线y 1 X 2交于B.-- D-【答案】B【解新】画图可和过点0)的直线乌曲线相切时斜网所以相交成三角專的直线斜率在(-1,0)之间故选乩[ 考点定位】压题主要肴查直线与薛的位置关參，考查应田能力和计算胃幻19. 【2020年普通高等学校统一考试试题新课标n数学(理)卷】已知点 A (-1, 0); B (1, 0), C ( 0, 1), 直线y=ax+b(a>0)将厶ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是艺1 空1] 1 1(A)( 0，1) (B)( 1--，2) ( C)( 1--，3 (D)[ 3,2)[答案]B【解析】由題意知I ie(0.1)i当直线过点i (-1- 3时.要将八王C分割九面积相等的两部分*直线必狈此时有-<T+i = 0且£勺+号=2, = l -4G=】时，直钱尸垃厲平行于直钱皑要I4AABC分割拘而駅相孝的两部分，可求此时厂-J1・1.U蓍擦定位】本小题主婆常查直绽护的基砒知诃以及数形结令等数学思想，肴查同学们分析问题2解決间题的能力.10. 【2020年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)】在等腰三角形ABC中，AB=AC 4,点P是边AB 上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC,CA发射后又回到原点P (如图1)若光线QR经过ABC的中心，贝U AP等于( )A . 2B. 1【答案】6【解析】UAA 为原点.抠所在亘裁为葢轴，皿所托龙迂为y %雄立宜角坐輛系，翩等腰三角形ABC 的中"77*1 一、因为光集川整P 出发，好一 J ：亡土发射后又回到原蛊P,故点P 矢三宦新 ABC 茁中底边.AE 上的投豁firQi AP=-.rJr君点定位］羸題尊查三角形的中叮，考查就的化归与叫吃能力・二、填空题（每小 题5分，共20 分）211. （2020年高考江苏卷12）在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为x 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 C 有公共点，则4【答案】3【腼】丰矚盤F+于—畑+ 15“将阳悅^©&却；（x-4）: + y ; =L 翳，翅包b 为"（4=0） 检为1 ,若直线、=农-2上至少存在一点，使得以谕点为風卜1为芈径的园与园£有艺共点.只需寒凰|4Jt —21（4t 0）Sfflttv-jlu-2ffle^^ <1+1-即可，兀以荷日- —_2 <2,化简得纵弘—可兰0解得 JF-1册片們最夫值是’.3 3【考占定位】本題主要鷄査宜线与同的位直矢•淑到直线的生离址式、團的一般式方程和标准方程的互 匕 若査知识较综命 特查转化思想在求秒二磁范围中中运甩本霞的解题关谶就杲对若直箜丄=赶-2上至 炳在一点，極得以炭点趣A 1为半径的裁圆C 冇公共点，辻句话的理解•貝需簸心M （40）到直 iy = ^-2押囲才£ 1 + U 呵，从而1飙题册转化萍题属于中档題 难虧玄轧12 . （2020年高考浙江卷理科16）定义：曲线C 上的点到直线I 的距离的最小值称为曲线 C 到直线I 的距离.已 知曲线C1: y = x 2 + a 到直线I : y = x 的距离等于 C2: x 2 + （y + 4） 2 = 2到直线I : y = x 的距离，则实数 aD . 3「卜塑标为（2y 8x 150，若直线 y kx 2k 的最大值是【答宪】-4【解析工汁叶4)・=入园心。
高三数学(理)寒假作业直线与圆
高三数学寒假作业（十七）直线与圆一、选择题1.(2012·陕西高考)已知圆C:x 2+y 2-4x=0,l 是过点P(3，0)的直线，则( )(A)l 与C 相交 (B)l 与C 相切 (C)l 与C 相离 (D)以上三个选项均有可能2.已知直线y=kx 与圆x 2+y 2=3相交于M,N 两点，则|MN|等于( )(A)3 (C)33.已知一个圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则该圆的标准方程是( )(A)(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 (B)(x ＋2)2＋(y －3)2＝52(C)(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 (D)(x －2)2＋(y ＋3)2＝134.直线l ：x=my+2与圆M ：x 2+2x+y 2+2y=0相切，则m 的值为( )(A)1或-6 (B)1或-7 (C)-1或7 (D)1或-175.已知圆x 2+y 2-4x-4y+4=0的弦 AB 过点(1,1)，则AB 的最短长度为( )(A)1 -16.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M ，N 两点，若|MN|≥k 的取值范围是( )(A)［-34,0］ (B)(-∞,-34］∪［0,+∞) (C)［33-］ (D)［-23,0］ 二、填空题7.(2012·济宁模拟)若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ax-6=0(a ＞0)的公共弦的长为,则a=______.8.(2012·日照模拟)已知直线y=x+a 与圆x 2+y 2=4交于A,B 两点，且OA OB •u u u r u u u r =0,其中O 为坐标原点，则正实数a 的值为______.9.过点M(12,1)的直线l 与圆C ：(x-1)2+y 2=4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________．三、解答题10.已知定点M(0,2)，N(-2,0),直线l :kx-y-2k+2=0(k 为常数).(1)若点M,N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围.11.(2012·宝鸡模拟)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1,1)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(-2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.12.已知圆O：x2+y2=4,圆O与x轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l,P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE 分别交l于F，C.(1)若点P(1，3)，求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；(2)当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切.高三数学寒假作业（十七）1.A.2.D.3.D.4.B.5.D.6. A.7. 18. 29. 2x-4y+3=0【解析】要∠ACB 最小,即要使∠ACB 所对的边最短,即要过M 点的弦长最短,过M 点的弦长最短就是：先作直线MC,再作出过M 点与MC 垂直的直线,那么这条直线就是过M 点弦长最短的线,那条直线就是要求的l . ∵MC 10k 2112-==--，∴k 1=12，∴所求直线方程为y-1=12(x-12)，即2x-4y+3=0. 10.【解析】(1)∵点M,N 到直线l 的距离相等，∴l ∥MN 或l 过MN 的中点.∵M(0,2),N(-2,0)，∴k MN =1，MN 的中点坐标为C(-1,1).又∵直线l :kx-y-2k+2=0过点D(2,2),当l ∥MN 时，k=k MN =1,当l 过MN 的中点时，k=k CD =13,综上可知：k 的值为1或13. (2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径，， 解得：k ＜-17或k ＞1. 11.【解析】(1)因为AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3.又因为点T(-1，1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y-1=-3(x+1).3x+y+2=0.(2)由x 3y 603x y 20--=⎧⎨++=⎩，，解得点A 的坐标为(0,-2)， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2，0).所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心. 又=从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y 2=8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M 外切，所以，即.故点P的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长,半焦距c=2.所以虚半轴长.从而动圆P 的圆心的轨迹方程为22x y 1(x 22-=≤.12.【解析】(1)由P(1，A(-2，0)，∴直线AP 的方程为y=3(x+2),E(1,2),令x=2,得F(2，3).由E(1，2)，A(-2，0),则直线AE 的方程为y=6(x+2), 令x=2,得C(2，3).∴C 为线段FB 的中点，以FB 为直径的圆恰以C 为圆心，半径等于3.所以，所求圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=43，且P 在圆上. (2)设P(x 0,y 0),则E(x 0,0y 2),直线AE 的方程为()()00y y x 22x 2=++, 在此方程中令x=2,得C(2，002y x 2+). 直线PC 的斜率k PC =000000002200002y y 2x x y x y x ,2x 4x y y -+=-=-=--- 若x 0=0，则此时PC 与y 轴垂直，即PC ⊥OP ，若x 0≠0，则此时直线OP 的斜率为k OP =00y x , ∴k PC ·k OP =-0000x y y x • =-1,即PC ⊥OP.则直线PC 与圆O 相切.。
江苏省苏州市高考数学 必过关题11 直线和圆-人教版高三全册数学试题
2015届苏州市高三数学过关题——解析几何（一）直线和圆一．填空题【考点一】直线方程1. (必修2第128页复习第19题改编)已知点(2,3),(4,2)A B -，直线l 斜率存在且过点(0,2)P -，若l 与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 . 【答案】5(,][1,)2-∞-+∞[解析] 51,2PB PA k k ==-，由斜率和倾斜角的关系可得.2. 课本原题(必修2第128页复习第16题)过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)距离相等，则直线l 的方程为________________． 【答案】3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0[解析] 法一：斜率不存在不满足题意，可设直线方程为2(1)y k x -=-，=137k k -=+或137k k -=--，则32k =-或4k =- 法二：直线l 为与MN 平行或经过MN 的中点的直线，当l 与MN 平行时，斜率为－4，故直线方程为y －2=－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；当l 经过MN 的中点时，MN 的中点为(3，－1)，直线l 的斜率为－32，故直线方程为y －2=－32(x －1)，即3x ＋2y －7=03.课本原题(必修2第128页复习第5题)已知直线l 过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程.改编：过点(2,1)P 作直线l 分别交x 、y 正半轴于A 、B 两点，（1）当AOB ∆面积最小时，直线l 的方程为____________； （2）当PA PB 最小时，直线l 的方程为____________． 【答案】（1）240x y +-= （2）30x y +-=[解析] 法一：由题意斜率存在，可设直线方程为1(2)(0)y k x k -=-< 令0,12x y k ==-；令10,2y x k ==-.所以1111(12)(2)(44)422AOB S k k k k∆=--=--≥， 当且仅当12k =-时取等号，此时直线方程为240x y +-=.法二：由题意截距不为0，可设直线方程为1(,0)x ya b a b+=>，过点(2,1)P ，有211a b+=，所以211a b =+≥，解得8ab ≥， 所以142AOB S ab ∆=≥，此时2112a b ==，即4,2a b ==【考点二】圆的方程4.经过点(2,4)A --，且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程是______.【答案】22113125()()222x y -++=[解析] 法一：设圆心为(,)a b ，则有2222(2)(4)(8)(6)638a b a b b a ⎧+++=-+-⎪⎨-=⎪-⎩，解得11232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又可得21252r =.法二：AB 中垂线方程为40x y +-=，过点B 且与直线l 垂直的直线方程为3180x y --=，它们的交点即为圆心.【考点三】直线和圆的位置关系5.过定点（1,0）一定可以作两条直线与圆2222290x y x ky k +++-+=相切，则k 的取值范围为 . 【答案】(2,23)(23,2)--[解析] 点（1,0）在圆2222290x y x ky k +++-+=外，还要注意构成圆的条件. 6. 已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a =________.【答案】415± [解析]由题设圆心到直线20ax y +-=3 231a =+415a =7.若曲线y =1＋4－x 2与直线y =k (x －2)＋4有两个不同交点，则实数k 的取值范围是____．【答案】512＜k ≤34[解析]半圆x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)与过P (2,4)点，斜率为k 的直线有两个交点，如图：A (－2,1)，k PA ＝34，过P 与半圆相切时，k ＝512，∴512<k ≤34.【考点四】圆和圆的位置关系8.如果圆()()224x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围____________. 【答案】3223(2,(,2)222[解析]由题设圆()()224x a y a -+-=与圆221x y +=有两个交点，则2213a a <+. 【考点五】圆中的最值问题9.已知圆22:4C x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M 、N 两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM PN ⋅的最大值为__________.【答案】4+[解析](2,0),(0,2)M N -，设(,)P x y ，则2222PM PN x x y y ⋅=-++，法一：222222(1)(1)2PM PN x x y y x y ⋅=-++=-++-，22(1)(1)x y -++可理解为点P 到(1,1)-距离的平方，则22(1)(1)x y -++的最大值为2(2，所以PM PN ⋅的最大值为4+法二：222242()PM PN x x y y y x ⋅=-++=+-，令2cos ,2sin x y θθ==，可得. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在点P，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 . 【答案】[-[解析]由题设可得，直线上存在点P ，使得PC =即可，则min PC≤，则≤k -≤二．解答题11.如图，平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆和COD ∆为两等腰直角三角形，(2,0)A -，C (a ,0)(a >0)．设AOB ∆和COD ∆的外接圆圆心分别为M ,N ． （1）若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；（2）若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程； （3）是否存在这样的⊙N ，使得⊙N AB ，若存在，求此时⊙N 说明理由．[解析]（1）圆心(1,1)M -．∴圆M 方程为22(1)(1)x y ++-=直线CD 方程为0x y a =＋－． ∵⊙M 与直线CD 相切,∴圆心M 到直线CD 的距离d=化简得： 2a =±（舍去负值）．∴直线CD 的方程为20x y =＋－．（2）直线AB 方程为：20x y -+=，圆心N (,)22a a．∴圆心N 到直线AB=．∵直线AB 截⊙N 的所得弦长为4，∴22222a +=．∴a =±(舍去负值) ． ∴⊙N 的标准方程为22((6x y +=． （3）存在．由（2）知，圆心N 到直线AB 定值)，且AB ⊥CD 始终成立，∴当且仅当圆N=即a =4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB ．此时， ⊙N 的标准方程为22(2)(2)8x y -+-=．12.课本原题（必修2第112页习题2.2第12题）：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线.改编1：（2008高考江苏卷第13题）满足条件2,2ABAC BC 的三角形ABC 的面积的最大值为 . 解析：法一（原解法）：本小题考查三角面积公式、余弦定理及函数思想。
2021版高考数学苏教版一轮教师用书：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含答案
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)三种位置关系：相交、相切、相离． (2)两种研究方法：⎩⎨⎧d ＜r ⇔相交，弦长l ＝2r 2－d 2d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 内含 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解[常用结论]1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．2．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切B．相交C．外切D．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2<d <3＋2， ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为 ．x －3y ＋2＝0 [因为点P (1，3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点， 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为 ． 2 2 [由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0,0)，半径r ＝2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2，所以公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.]考点1 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交，上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(1)[一题多解]直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若直线x ＋my ＝2＋m 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相交，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(3)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)A (2)D (3)C [(1)法一：(代数法)由⎩⎨⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋y －12＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交． 法二：(几何法)∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.因为直线与圆相交，所以d ＝|1＋m －2－m |1＋m 2<r ＝1.解得m >0或m <0.故选D.(3)如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．](1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d ＝r ，d >r 或d <r 建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合，转化为点到直线的距离求解．1.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1.所以直线与圆相交．]2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝1－x2有且只有两个公共点，则m的取值范围是．[1，2)[画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝1－x2有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m＝2，因此当1≤m<2时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝1－x2有且只有两个公共点．]考点2 圆与圆的位置关系几何法判断圆与圆的位置步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解](1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1＝11，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝11＋4，|r1－r2|＝4－11，∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圆C1和圆C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离为|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．1.已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4， 圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝0－12＋2－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.]考点3 直线、圆的综合问题 切线问题过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证．已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解] 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．又k PC＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝34.∴切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝3－12＋1－22＝5，∴过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.当切线为x＝3时，切线长为1.(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7D ．3C [如图，切线长|PM |＝|PC |2－1，显然当|PC |为C 到直线y ＝x ＋1的距离即3＋12＝22时|PM |最小为7，故选C.]弦长问题 弦长的2种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.(1)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0(2)(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .(1)B (2)22 [(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎨⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝|k－1＋3|k2＋1＝|k＋2|k2＋1，∵d2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r2，∴k＋22k2＋1＋3＝4，解得k＝－34，∴直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.(2)由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|1＋1|2＝2，所以|AB|＝222－22＝2 2.]求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．提醒：对于已知弦长求直线方程的问题，常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1)．(2019·太原一模)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．3 5 B．6 5C．415 D．215D[将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝5，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝25，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|＝2－12＋－1－02＝2，|BD|＝2r2－|EF|2＝23，∴S四边形ABCD＝12|AC|×|BD|＝215.]直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ＝k x －1得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x轴平分∠ANB ”等价转化为“直线斜率的关系：k AN ＝－k BN ”，然后借助方程思想求解．[教师备选例题]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．[解](1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)． 且6－62＋b －72＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋－12＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.]已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.[解](1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k 1＋k1＋k 2＋8.由题设可得4k 1＋k1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.。
江苏省苏州市高三数学寒假作业 立体几何1 Word版含答案
立体几何1姓名____________学号___________一、填空题1．设α，β是两个不同的平面，已知m 是直线，且m α⊂．则“m β∥”是“αβ∥”的成立的 条件．2．已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，则m ∥n ．其中是真命题的有．(填写所有正确命题的序号) 3． α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β；②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β．其中正确的命题有．(填写所有正确命题的序号)7．有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝 在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线 的两端，则铁丝的最短长度为厘米．8．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，AB =BC =2， BB 1=2，90=∠ABC ，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为． 二、解答题第6题C9．如图，在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1． (1) 求证：直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2) 求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．10．如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．(1) 证明：PA ∥平面EDB ； (2) 证明：PB ⊥平面EFD ．立体几何11．解：∵α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，α⊂m ，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件．2．解：由线面平行的判定定理，直线必须在平面，①m 有可能在平面α内，错误，故②③．3．解：对于①，m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，∵n ∥α，∴可过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则n ∥c ，∵m ⊥α，∴m ⊥c ，∴m ⊥n ，故正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确．故正确的有②③．5．解：设长方体一个顶点上的三个边的长分别是c b a ,,，则有6,3,2===ac bc ab ，三式相乘可得6=abc ，故可以解得3,2,2===c b a ．故长方体的体积是6321=++．6．解：将三棱锥的侧面沿AB 展开在同一个平面上，连接B B '交AD AC ,于N M,，且B AB'∆是等腰直角三角形，在平面内两点之间线段最短，∴NB MN BM ++的最小值是2． 7．解：将圆柱侧放在平面上，滚动4圈，轧在平面上的图形就 是一个矩形，矩形的对角线的长度就是要求的长度，即=8．解：直三棱柱底面为等腰直角三角形，①若把面ABA 1B 1 和面B 1C 1CB 展开在同一个平面内，线段EF就在直角三角形A 1EF中，由勾股定理得=EF 222)223(122121=+=+F A E A ． ②若把把面ABA 1B 1 和面A 1B 1C 1展开在同一个平面内，设BB 1的中点为G ，在直角三角形EFG 中，由勾股定理得 =EF 227)221()2(2222+=++=+GF EG ． ③若把把面ACC 1A 1和面A 1B 1C 1展开在同一个面内，过F 作与CC 1行的直线，过E 作与AC 平行的直线，所作的两线交与点H ，则EF 就在直角三角形EFH 中， 由勾股定理得 =EF 223)211()212(2222=++-=+FH EH ． 综上，从E 到F 两点的最短路径的长度为223． 9．证明：(1)在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ．在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，于是DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F．(2)在直三棱柱ABC -A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1．∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D．又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F．∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．10．证明：(1)连结AC交BD与O，连结EO．∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC的中点．又∵E是PC的中点∴在△P AC中，EO为中位线∴P A∥EO．而EO⊂平面EDB，P A⊄平面EDB，∴P A∥平面EDB．(2)由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．①∵PD=DC，E是PC的中点，∴△PDC是等腰三角形，DE⊥PC．②由①和②得DE⊥平面PB C．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB且DE EF=E，∴PB⊥平面EFD．。
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直线与圆
姓名____________学号___________
一、填空题
1．若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________.
2．若点（1,2）在圆0152:2
2
2
=-++++k y kx y x C 外，则实数k 的取值范围是_____.
3．点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则MN 的最小值是_____．
4．在平面直角坐标系xOy 中，直线032x =-+y 被圆4)1(2x 2
2=++-y ）（截得的弦长为．
5．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为.
6．过点(4,0)P -的直线l 与圆2
2
:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段
PB 的中点，则直线l 的方程为.
7．若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝．
8．在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线012=---m y mx (∈m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
二、解答题：
9．已知圆2
2
:30C x y Dx Ey ++++=关于直线10x y +-=对称，
，且圆心C 在第二象限．
(1)求圆C 的方程；
(2)不过原点的直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，且与圆C 相切，求直线l 的方程； (3)若P (x ，y )是圆C 任意一点，分别求x ＋y ，2
2y x +，y －2x －1
的范围．
10．已知⊙2
2
:1O x y +=和点(4,2)M . (1)过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；
(2)求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；
(3)设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ
PR
为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
直线与圆
1.12
2.)338,2()3,338(⋃--
3.45
4.555
2
5.解析:因为两条直线x －y ＝0与x －y －4＝0平行，
故它们之间的距离为圆的直径，即2r ＝4
2
，所以r
＝ 2.
设圆心坐标为(,)P a a -，则满足点P 到两条切线的距离都等于半径.
=
=1a =. 故圆心为(1，－1).
所以圆的标准方程为2
2
(1)(1)2x y -++=. 6.340x y ±+=
7.解析
8.解析
:r =
22
2(1)2
1211m r m m m
+=
=+≤++，所以所求的圆标准方程为：22(1)2x y -+=.也可由直线过定点（2，-1），故r 的最大值为2。
9.解：(1)由2
2
:30C x y Dx Ey ++++=，得圆C 的圆心为,2
2D E C ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭， 圆C 关于直线10x y +-=对称，2D E ∴+=- ①
圆
C ，2212
24
D E +-∴
= ② 又
圆心C 在第二象限，0,0D E ∴><，解得，2,4D E ==-，
所以圆C 的方程为2
2
2430x y x y ++--=．
(2)由题意可设，所求直线l 的方程是()0x y a a +
=≠， 由（Ⅰ）得，圆C 的圆心为
()1,2C -，
直线l 与圆C
相切，= 解得1a =-或3a =，
故直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．
（3）圆心(-1,2),半径为2的圆，因为点P(x,y)在圆上,设x+y=t ,那么直线x+y=t 即x+y-t=0
与圆有公共点，∴圆心与直线的距离不大于半径即
22
21≤-+-t
所以t 的取值范围是
31≤≤-t ；
22y x +的几何意义是点P 到原点距离的平方，所以范围是[]
1027,1027+-；
y －2
x －1
是过点P 与点（1,2）的直线斜率，所以范围是[]1,1- 10.解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得
11
|24|2=+-k k
，解得k =
∴切线l
方程为24)y x -=
- （2）圆心到直线12-=x y
设圆的半径为r ，则9)5(22
22=+=r
∴⊙M 的方程为9)2()4(2
2=-+-y x
（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，
根据题意可得12
2
-+=
y x PQ ，∴
λ=-+--+2
222)
()(1b y a x y x
即)22(12
2
2
2
2
2
2
b a by ax y x y x ++--+=-+λ（*），
又点P 在圆上∴9)2()4(2
2
=-+-y x ，即11482
2
-+=+y x y x ，代入（*）式得：
[]
)11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ
若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8
)28(2222
2b a b a λλλ，
解得3
10,51,522,1,2===
=
==λλb a b a 或， ∴可以找到这样的定点R ，使得
PR
PQ
为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)5
1,52(时，比值为3
10。