高考数学 试题汇编 第二节 圆与方程 理(含解析)

第二节圆与方程
求圆的方程
考
向聚焦高考常考内容,主要考查(1)利用圆的几何性质求圆的方程;(2)利用待定系数法求圆的方程,一般以选择题、填空题形式出现,难度中低档,所占分值4~5分
1.(2010年福建卷,理2)以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
(A)x2+y2+2x=0 (B)x2+y2+x=0
(C)x2+y2-x=0 (D)x2+y2-2x=0
解析:抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),
故以(1,0)为圆心且过原点的圆的半径为1,
∴圆的方程为(x-1)2+y2=1,即:x2+y2-2x=0.故选D.
答案:D.
2.(2010年广东卷,理12)已知圆心在x轴上,半径为的圆Ｏ位于y轴左侧,且与直线x+y=0
相切,则圆Ｏ的方程是.
解析:由题意可设圆Ｏ的方程为
(x-a)2+y2=2(a<0),
由题意得=,
即|a|=2,所以a=-2,
故所求圆Ｏ的方程为(x+2)2+y2=2.
答案:(x+2)2+y2=2
3.(2010年全国新课标卷,理15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C 的方程为.
解析:设圆C的圆心为(a,b),半径为r,则有(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意可知,解得a=3.
又∵k BC==-1,∴b=0,
∴C(3,0).
又∵r==,
∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
答案:(x-3)2+y2=2
直线与圆、圆与圆的位置关系考
向聚焦高考常考内容以直线与圆的位置关系为主,考查直线与圆相切、相交问题,一般以选择题、填空题形式出现,难度中档,所占分值4~5分
4.(2012年重庆卷,理3,5分)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
(A)相离 (B)相切
(C)相交但直线不过圆心(D)相交且直线过圆心
解析:法一:圆心到直线y=kx+1的距离d=<,又圆心(0,0)不在直线y=kx+1上,故直线
y=kx+1与圆x2+y2=2相交且不过圆心.
法二:几何法.因直线y=kx+1过定点A(0,1),点A(0,1)在圆x2+y2=2的内部,故直线y=kx+1与圆x2+y2=2相交,又圆心(0,0)不在直线y=kx+1上.故选C.
答案:C.
5.(2012年陕西卷,理4,5分)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
(A)l与C相交(B)l 与C相切
(C)l与C相离(D)以上三个选项均有可能
解析:由于把点P(3,0)代入圆C的方程中,有:32+02-4×3<0,所以点P在圆C内部,故直线l 过点P时,一定与圆C相交.
答案:A.
6.(2012年天津卷,理8,5分)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是( )
(A)[1-,1+]
(B)(-∞,1-]∪[1+,+∞)
(C)[2-2,2+2]
(D)(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)
解析:本题考查直线与圆的位置关系及基本不等式的应用,属中档题.
∵直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,
∴=1.∴m+n+1=mn≤()2,
令t=m+n,则1+t≤t2,
∴t2-4t-4≥0,
∴t≥2+2或t≤2-2.故选D.
答案:D.
本题考查基本不等式的灵活运用,属知识交汇点的考查,在复习中要注意,属中档
题.
7.(2011年江西卷,理9)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是( )
(A)(-,) (B)(-,0)∪(0,)
(C)[-,] (D)(-∞,-)∪(,+∞)
解析:
由y(y-mx-m)=0,
得y=0或y=m(x+1)(m≠0),
故曲线C2表示两条直线y=0和y=m(x+1)(m≠0),
若曲线C1与曲线C2有四个交点,
则直线y=m(x+1)与圆C1有两个交点,
即有两解:
消y得(1+m2)x2+2(m2-1)x+m2=0,
由Δ=4(m2-1)2-4m2(1+m2)>0
得-<m<(m≠0).
答案:B.
8.(2012年江苏数学,12,5分)在平面直角坐标系xＯy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.
解析:本题考查圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系.
法一:设直线上一点为(t,kt-2),圆心C为(4,0),
则两圆的圆心距满足≤2对t∈R有解
即(1+k2)t2-(4k+8)t+16≤0有解,
所以有(4k+8)2-4×16(1+k2)≥0,
所以0≤k≤.
法二:由题意,圆心C到直线的距离不大于2,
圆心C为(4,0),
∴d=≤2,∴0≤k≤.
答案:
本题对直线与圆的位置关系给出了新的语言,题目焕然一新.
9.(2010年江苏卷,9)在平面直角坐标系xＯy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.
解析:要使圆上有且只有4个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,
只需原点Ｏ到直线的距离d满足0≤d<1,
∴0≤<1,
∴-13<c<13.
答案:(-13,13)
10.(2012年全国大纲卷,理21,12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y-)2=r2(r>0)
有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r;
(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离. 解:(1)设A(x0,(x0+1)2).
对y=(x+1)2求导得y'=2(x+1).
故l的斜率k=2(x0+1).
当x0=1时,不合题意,
所以x0≠1.
圆心为M(1,),MA的斜率k'=.
由l⊥MA知k·k'=-1,
即2(x0+1)·=-1,
解得x0=0,故A(0,1),
r=|MA|==,
即r=.
(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为
y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),
即y=2(t+1)x-t2+1.
若该直线与圆M相切,则圆心M 到该切线的距离为,
即=,
化简得t2(t2-4t-6)=0,
解得t0=0,t1=2+,t2=2-.
抛物线C在点(t i,(t i+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n, 其方程分别为y=2x+1①
y=2(t1+1)x-+1,②
y=2(t2+1)x-+1,③
②-③得x==2.
将x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).
所以D到l的距离d==.
与弦有关的问题
考
向聚焦高考热点,主要从两个方面考查(1)求弦长;(2)讨论参数的范围,多以选择题、填空题
形式出现,难度中档,所占分值4~5分
备
考指津求弦长问题一般应用圆心到直线的距离公式或弦心距、半径、半弦构成的直角三角形求解,要注意转化思想的应用及数形结合思想的训练
11.(2011年重庆卷,理8)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
(A)5(B)10
(C)15(D)20
解析:由x2+y2-2x-6y=0得(x-1)2+(y-3)2=10,
即此为以F(1,3)为圆心,以为半径的圆的方程,
由题意过E(0,1)的最长弦为直径,则|AC|=2,
过E(0,1)的最短弦是以E(0,1)为弦中点的弦,
其长|BD|=2=2,
∴S四边形ABCD=|AC||BD|=×2×2=10,选B.
答案:B.
12.(2010年江西卷,理8)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )
(A)[-,0] (B)(-∞,-]∪[0,+∞)
(C)[-,] (D)[-,0]
解析:设圆心C(3,2)到直线y=kx+3的距离为d,
则d=,
所以|MN|=2=2,
又|MN|≥2,∴|MN|2≥12,
即4[4-]≥12,∴-≤k≤0,
故选A.
答案:A.。