江西省新余市高三数学下学期第七次模拟考试试题理

江西省新余市2017届高三数学下学期第七次模拟考试试题 理
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．定义集合(){}(){
}
221,log 22x x A x f x B y y ==-==+，则()R A C B =（ ）
A ．()1,+∞
B ．[]0,1
C ．[)0,1
D ．[)0,2
2．已知a 为实数，若复数2
(1)(1)i z a a =-++为纯虚数，则2016
i 1i
a ++的值为( )
A ．1
B ．0
C ．1i -
D ．1i + 3。

下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A ．3ln y x =
B 。

2y x =-
C 。

1
y x
=- D.y x x =
4。

已知13
0.5a -=，1
33()5
b -=， 2.5log 1.5
c =，则,,a b c 的大小关系（ ）
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c << 5。

已知抛物线)0(2>=a ax y 的焦点到准线距离为1,则=a （ ）
A. 21 B 。

2 C.4
1
D 。

4
6.若实数y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≥+-,
01,022,
01x y x y x 则y x z 345+-=的最大值为
（ ） A.8
15
-
B 。

45- C.21- D 。

1-
7。

某同学想求斐波那契数列0,1，1,2，(从第三项起每一项等于前
两项的和）的前10项的和,他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（ )
A ．;9c a i =≤
B ．;9b c i =≤
C ．;10c a i =≤
D ．;10b c i =≤ 8．设等差数列{}n a 满足15853a a =，且01>a ,n S 为其前n 项和，
则数列
{}n S 的最大项为( )
A ．23S
B ．24S
C ．25S
D ．26S
9.某几何体的三视图如图所示,正视图与俯视图完全相同，则该几何体的体积为( ） A ．
6483π- B ．19283π- C ．563
π
D ．161654(21)π++- 10. 已知函数()cos()(0,)2
f x A wx w π
ϕϕ=+><的部分图象如图所示，其中,N P 的坐标分别为
511
(,),(,0)88
A ππ--,则函数()f x 的单调递减区间不可能为（ ) A ．5[,]88ππ
B ．73[,]88ππ--
C ．921[,]48ππ
D ．933[,]88
ππ
11．设F 是双曲线22
221x y a b
-=的右焦点，双曲线两渐近线分别为1l ，2l ,过点F 作直线1l 的垂线,
分别交1l ,2l 于A ,B 两点，若A ,B 两点均在x 轴上方且||3OA =，||5OB =，则双曲线的离心率e 为( )
A ．
5
2
B ．2
C ．5
D ．6 12．设点11(,())M x f x 和点22N(,())x f x 分别是函数3
1()sin 6
f x x x =+和g()1x x =-图象上的点,且
x 1≥0, x 2〉0．若直线//MN x 轴,则,M N 两点间的距离的最小值为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13.欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油,则油（油滴的大小
忽略不计）正好落入孔中的概率为 . 14.已知1
21
1
(1sin )a x x dx π
-=
-+⎰
,则二项式9
2(2)a x x
-
的展开式中的常数项为___________. 15.已知菱形ABCD 边长为2，3
B π
∠=,点P 满足AP AB λ=，λ∈R ．若3BD CP ⋅=-，则λ的值为__________。

16。

设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则1
2201720172017
2017a a a ⎡⎤
+++
=⎢
⎥⎣⎦。

三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题满分12分) 已知直线两直线121:cos 10:sin ,26l x y l y x ABC παα⎛
⎫+
-==+∆ ⎪⎝
⎭；中，内角A,B ，C 对边分别为,,=a b c B α，且当时,两直线恰好相互垂直；
（I)求B 值; （II)若4c a a c +=，求C
A tan 1
tan 1+
的值。

18．（本题满分12分）
当前，网购已成为现代大学生的时尚。

某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物。

(1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率;
（2）用,ξη分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X ξη=，求随机变量
X 的分布列与期望。

19．（本题满分12分）
如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形,//EF BD ，1
2
EF BD =，平面⊥EFBD 平面ABCD 。

（Ⅰ)证明：DE //平面ACF ；
（Ⅱ)若梯形EFBD 的面积为3,求二面角A BF D --的余弦值。

20。

（本题满分12分）
已知圆1C 的圆心在坐标原点O ,且与直线1l :062=+-y x 相切，设点A 为圆上一动点，
⊥AM x 轴于点M ，且动点N 满足OM OA ON )2
1
33(
21-+=，设动点N 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程;（2）若动直线2l :m kx y +=与曲线C 有且仅有一个公共点,过
)0,1(1-F ，)0,1(2F 两点分别作21l P F ⊥，22F Q l ⊥,垂足分别为P ，Q ，且记1d 为点1F 到直线2l 的
距离，2d 为点2F 到直线2l 的距离，3d 为点P 到点Q 的距离，试探索321)(d d d ⋅+是否存在最值？若存在，请求出最值. 21. （本题满分12分） 已知函数()ln x
f x ax x
=
-． （Ⅰ）若函数()f x 在(1,)+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（Ⅱ)已知()f x '表示()f x 的导数,若1x ∃，2x ∈［e, 2e ］（e 为自然对数的底数），使1()f x －2()f x 'a ≤成立，求实数a 的取值范围．
选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分10分)【选修4−4：坐标系与参数方程】
已知曲线C 的参数方程为(
)3cos 2sin x y θ
θθ
=⎧⎨=⎩为参数,在同一平面直角坐标系中，将曲线C C
F
E
D
A
上的点按坐标变换13
12
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系．
(1）写出曲线C 与曲线C '的极坐标的方程； (2）若过点22,4A π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭（极坐标）且倾斜角为
3π的直线l 与曲线C 交于,M N 两点,弦MN 的中点为P ，求||
||||
AP AM AN ⋅ 的值．
23．（本小题满分10分)【选修4—5:不等式选讲】
已知函数()2f x x =-． （Ⅰ）解不等式；()(21)6f x f x ++≥； （Ⅱ）已知1,0)a b a b +=>（．且对于x R ∀∈，41
()()f x m f x a b
---≤
+恒成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
BCDB ACBC ADCA 14π,672-，1
2
，2016 17。

解：（Ⅰ)当A α=时，直线 121:cos 10;:sin()26
l x y l y x π
αα+
-==+的斜率分别为122cos ,sin(B )6
k A k π
=-=+，两直线相互垂直
所以12(2cos )sin()16
k k B B π
=-+=-
即1
cos sin()62
B B π+=
可得1
cos (sin cos cos sin )662
B B B ππ+=
所以
211cos cos 222B B B +=,所以11cos 21
sin 2()4222
B B ++=
即
1cos 2sin 2122
B B ++= 即1
sin(2)62
B π+=…………………………4分
因为0B π<<，022B π<<，所以132666
B πππ
<+<
所以只有5266B ππ
+=
所以3
B π
=……………………………6分
（Ⅱ） 2222cos 4c a a c b ac B
a c ac ac
+++=
== ， 因为3
B π
=
,所以23b ac =，即2sin 3sin sin B A C =,所以1
sin sin 4
A C =
，………………9分
11sin()sin
tan tan sin sin sin sin A C B
A C A C A C
++===………………12分
18.
19。

(Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ,则O 为BD 的中点，连接OF 由BD EF BD EF 2
1
,//=
，得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED // …………………3分
又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF 所
以
DE
//平面
ACF …………………6分
(Ⅱ）取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，故OP ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点,分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -。

P
O
B y
x F
E
D
A
z
C
因为
1
()
2
EFBD
S EF BD OP
=⨯+⨯
梯形
1
(222)3
2
OP
=⨯+⨯=
所以2
=
OP，)2
,
2
2
0(
),0
0,2
(
),0,2
0(
),0
0,2
(，
，
，
，F
C
B
A-
因此
2
(2,20),(0,2)
2
AB BF
=-=-
，，…………………8分
设平面ABF的法向量为(,,)
n x y z
=
由
n AB
n BF
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
,得
220
2
20
2
x y
y z
⎧-+=
⎪
⎨
-+=
⎪
⎩
,令1
z=，则(2,2,1)
n=
因为AO BD
⊥，所以AO⊥平面EFBD，
故平面BFD的法向量为(2,0,0)
OA=…………………10分
于是
22
222
cos,
3
2212
OA n
OA n
OA n
⋅
<>===
⋅++⋅
由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D
--的余弦值为
2
3
…………………12分
（2）由（1）中知曲线C 是椭圆，将直线2l ：m kx y +=代入 椭圆C 的方程124322=+y x 中，得01248)34(222=-+++m kmx x k
由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知，0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k ， 整理得3422+=k m …………7分 且2
11||k
k m d +-=
，2
21||k
k m d ++=
1当0≠k 时，设直线2l 的倾斜角为θ,则|||tan |213d d d -=⋅θ，即||
2
13k
d d d -= ∴22
22
121213211||4||||)()(k m k d d k d d d d d d d +=-=-+=+||1||16
14
3
||42
m m m m +
=+-= …10分 ∵3422+=k m ∴当0≠k 时，3||>m ∴33
43
13||1||=
+>+
m m ，∴34)(321<+d d d ……11分 2当0=k 时，四边形PQ F F 21为矩形，此时321==d d ，23=d
∴34232)(321=⨯=+d d d
综上 1、 2可知,321)(d d d ⋅+存在最大值，最大值为34…………12分 21。

解:（1）由已知得函数()f x 的定义域为),1()1,0(+∞ ，
而a x x x f --=
'2
)(ln 1
ln )( ，又函数)(x f 在),1(+∞上是减函数 ∴0)(ln 1
ln )(2
≤--=
'a x x x f 在),1(+∞上恒成立 …………………………………2分 ∴当),1(+∞∈x 时，0)(max ≤'x f 由a x x a x x x f -+-=--='ln 1
)ln 1()
(ln 1ln )(22
a x -+--=41)21ln 1(2
∴当21ln 1=x ,即2e x =时，a x f -='41)(max
∴041≤-a 即41≥a
所以实数a 的最小值为4
1。

………………………4分
（2）若],[,221e e x x ∈∃，使a x f x f ≤'-)()(21成立，
则有],[2e e x ∈时，a x f x f +'≤max min )()(
由（1）知 当],[2e e x ∈时，a x f -=
'41)(max ,所以4
1)(max =+'a x f
由此问题转化为：当],[2e e x ∈时，4
1
)(min ≤x f …………………………6分 ①当4
1
≥
a 时,由（1）知，函数)(x f 在],[2e e 上是减函数 则412)()(222
min ≤-==ae e e f x f ， 所以24121e
a -≥； ………………7分
②当41<a 时，由于a x x a x x x f -+-=--='ln 1)ln 1()(ln 1ln )(22 a x -+--=4
1
)21ln 1(2
在],[2e e 上是增函数所以)()()(2e f x f e f '≤'≤',即a x f a -≤'≤-4
1
)(，
此时04
1
>-a …………8分
若0≥-a ，即0≤a 时,0)(≥'x f 在],[2e e 上恒成立，函数)(x f 在],[2e e 上是增函数
所以4
1
)()(min >≥-==e ae e e f x f ，不合题意； …………………9分
若0<-a ，即410<<a 时，而)(x f '在],[2e e 上是增函数，且a x f a -≤'≤-4
1
)(
所以存在唯一的],[20e e x ∈，使0)(0='x f ，且满足： 当],[0x e x ∈时，0)(≤'x f ,)(x f 在],[0x e 上是减函数； 当],(20e x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 在],(20e x 上是增函数；
所以4
1
ln )()(0000min ≤-=
=ax x x x f x f ，],[20e e x ∈ ∴4
1412141ln 141ln 1200=->->-≥e e x x a 与41
0<<a 矛盾，不合题意。

……11分
综上，得实数a 的取值范围是241
21e
a -≥。

………………………12分
22。

解：（1）22
3cos ::12sin 94x x y C C y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩
，
将1
33
212
x x x x y y y y ⎧'=⎪'=⎧⎪⇒⎨⎨'=⎩⎪'=⎪⎩,代入C 的普通方程可得221x y ''+=,即22:1C x y '+=…2分
将cos sin x y ραρα
=⎧⎨=⎩代入曲线方程可得2222cos sin :
194C ραρα
+=，:1C ρ'=．…5分 （2)点22,4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭直角坐标是()2,2A ，将l 的参数方程2cos 3
3sin
3x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入22194x y +=， 可得231
(8183)1604t t +++=，……7分
所以12
12||493
2||||16
t t AP AM AN t t ++==⋅．……10分
23。

解：（Ⅰ）1
33,2
1()(21)|2||21|1,2233,2x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
， (2)
分
当1
2x <时，由336x -≥，解得1x ≤-;当1
22x ≤≤时,16x +≥不成立; 当2x >时，由336x -≥,解得3x ≥． 所以不等式()6f x ≥的解集为[)(,1]3,-∞-+∞．…5分
（Ⅱ）∵1,0)a b a b +=>（，∴41
4
1
44)()559b
a
b
a
a b a b a b a b a b +=++=++≥+⋅=（……6分
∴对于x R ∀∈，4
1
()()f x m f x a b ---≤+恒成立等价于:对x R ∀∈，229x m x -----≤，即
max 229x m x ⎡-----⎤≤⎣⎦……7分
∵()222(2)=4x m x x m x m -----≤---+--
∴949m -≤+≤，……9分
∴135m -≤≤……10分
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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