定积分引例——精选推荐

一、如何计算行驶的路程
假设在4小时的旅行中，速度为50km/h，那么行驶的总路程是多少？由于路程=速度*时间，因而有行驶的总路程=50×4=200km。

速度关于时间的函数图象是图一的水平直线。

注意行驶的总路程是图像下阴影部分的面积。

现在我们看，如果速度不是常数，情况如何。

（1）假如你以30km/h的速度走2h，40km的速度走0.5h，然后再以20km的速度走4h.你走过的总路程是多少？
解：我们计算这三段旅程中走过的路程，然后把它们相加求出总路程：
路程=30×2+40×0.5+20×4=160km
（2）思考：假设一辆汽车以不断加快的速度行驶，并且假设我们每两秒钟就检测汽车的速度，获得数据如表1所示。

表1 每两秒钟汽车的速度
汽车行驶了多远？由于我们不知道汽车在每一时刻的行驶速度，因而不能精确地求路程，但能估计。

速度是增加的，所以汽车在前两秒的速度至少是20ft/s。

由于路程=速度×时间，汽车在前2s内至少行驶了20×2=40ft。

类似地，汽车在下一个两秒内至少行驶了30×2=60ft，等等。

在这10s内，汽车至少行驶了
20×2+30×2+38×2+44×2+48×2=360ft.
因此，360ft是10s内汽车行驶的总路程的下估计。

为获得上估计，我们以同样的方式推理：在前两秒内，汽车的速度最多为30ft/s，因此它最多行驶了30×2=60ft。

所以在10s内，它最多行驶
30×2+38×2+44×2+48×2+50×2=420ft。

因此，360ft≤行驶的总路程≤420ft。

上估计和下估计相差60ft。

（3）如果需要更精确的估计怎么办？我们需要更频繁的速度检测，比如说，每秒钟检测一次。

数据参见表2。

表2 每秒钟汽车的速度
新的下估计=20×1+26×1+30×1+35×1+38×1+42×1+44×1+46×1+48×1+49×1 =378ft
新的上估计=26×1+30×1+35×1+38×1+42×1+44×1+46×1+48×1+49×1+50×1 =408ft
现在我们知道378ft≤行驶的总路程≤408ft。

新的上估计与下估计现在相差30ft，是前面的一半。

通过把检测的区间减半，我们使上估计与下估计的差也减半。

（4）在速度的图像上显示路程
考虑表一和表二检测得到数据，我们能在速度关于时间的函数图像上标出这些数据，画出通过这些数据点的平滑曲线，就绘制出速度曲线了。

曲线下方图形面积就是汽车行驶的距离，如何来求得他的精确值呢？（引入划分、近似、求和、取极限思想）
二、汽油消耗量的问题
若假设在过去四年中国家每年的汽油消耗率是常数
=≤≤
f t t
() 1.2(04)
其中t的单位是年，f(t)的单位百万桶每年。

则过去的四年中全国的汽油消耗量是
() 1.24 4.8
f t=⨯=百万桶
表示在图上就是阴影部分面积。

下图是1990年到1994年新英格兰州的实际耗油率，观察到耗油率不再是常数，则如何求得四年中实际的耗油量呢？
三、一个学生正驾驶着他的红色保时捷汽车在公路上飞驰，汽车雷达系统报警前方400ft处有障碍物。

由于在正前方的公路上发现了一只臭鼬，他马上刹车将汽车减速。

保时捷的“黑匣子”记录了每两秒汽车的速度，得到下表。

速度在10s内一直减慢，但减速的比率不一定相同。

（1）学生的汽车在停下来前行驶的总路程的最好估计是多少？
（2）下列叙述中，你能从所给信息推断到的是哪个？
a．汽车在碰到臭鼬前停下来。

b．从“黑匣子”数据无法得出结论，有可能撞到也有可能没有撞到臭鼬。

c．汽车没有撞倒臭鼬。