2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(数学文)(江西卷)

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（江西卷）
数学（文科）
考生注意事项：
1． 答题前，务必在试题卷､答题卡规定填写自己的姓名､座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名
､座位号与本人姓名､座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．
2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．
3． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．
书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．
规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．､草稿纸上答题无效．．．．．．．．
． 4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交．
参考公式： 椎体体积13
V Sh =，其中S 为椎体的底面积，h 为椎体的高． 若111n i y y n ==∑（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，ˆy bx a =+为回归直线，则 111n i x x n ==∑，111n i y y n ==∑ ()()()
11
1111222111
n n i i n n i i i x y y y x y nx y
b x x x nx a y bx
====---==--=-∑∑∑∑，a y bx =- 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．
第Ⅰ卷
一､选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．设集合的33{|0},{|||},122x P x Q x x x =≤=-≤-""""m P m Q ∈∈那么是（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数
单位，b 是实数），则b =（ ）
A ．2-
B ．2
C ．-4
D ．4 3．已知(lg )f x 的定义域是[]0.1,100，则()2x f 的定义
域是（ ）
A ．[-2，4]
B ．[-2，20]
C ．[0．05，50]
D ．[1，10] 4．在等差数列{}n a 中，若1004100510063a a a ++=，则该数列的前2009项的和为（ ）
A ．3000
B ．2009
C ．2008
D ．2007 5．若)10(0log log log 3)1(212<<>==+a x x x a a a ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）
A ．123x x x <<
B ．312x x x <<
C ．132x x x <<
D ．231x x x <<
6．假设关于某设备使用年限x （年）和所支出的维修
费用y （万元）有如下统计资料：
A ．（2，2）
B ．（1，2）
C ．（3，4）
D ．（4，5）
7．关于不等式)1(|log ||||log |>+<+a x x x x a a 的解
集为（ ）
A ．a x <<0
B ．10<<x
C ．a x <
D ．1>x
8．从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3
位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3
位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（ ） A ．210
B ．420
C ．630
D ．840 9．已知函数2()(2f x x b x a b =++-是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）． A ．-4 B ．2 C ．3
D ．4 10．一个体积为v 的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y ，截面下部的几何体的体
积为x ，则y 与x 的函数关系可用图表示为（ ） A ．B ． C ．D ．
第Ⅱ卷 注意事项：
第Ⅱ卷共2页，要用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．已知2a b -r r =（1-，3），c r =（1
，3），且3a c
?r r ，
4b =r ，则b r 与c r 的夹角为 ． 12．如图，在半径为3的球面上有A B C 、、三点，90ABC
∠=︒，BA BC =，球心O 到平面ABC 的距离
，则B ､C 两点的球面距离是 ． 13．如图是一个算法的程序框图，当输出值y 的范围大
于1时，则输入值x 的取值范围是 ． 14．设双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的离心率为
24y x =的准线重合，
则此双曲线的方程为 ．
15．不等式432x x -+-＜的解集是 ．
三．本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明､
证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为
a b c ﹑﹑，若cos cos A
b
B a = 且sin cos
C A =．
（1）求角A B C 、、的大小；
（2）设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭，求函数
()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距
离．
17．（本小题满分12分）
某项计算机考试按科目A ､科目B 依次进行，只有当科
目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试，已知每
个科目只允许有一次补考机会，两个科目均合格方快获
得证书，现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率为3
4，科目B 每次考试合格的概率为2
3，假
设各次考试合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机
会，记他参加考试的次数为ζ，求随即变量ζ的分布列
和数学期望．
18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求二面角A SC B --的余弦值． 19．（本小题满分12分） 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列． （1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若()n n n b a f a =⋅
，当k ={}n b 的前n 项和n S ．
O S B A C
20．（本小题满分13分）
已知椭圆C ：)0( 122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为23，过坐标原点O 且斜率为2
1的直线 l 与C 相交于A ､B ，102||=AB ．
（1）求a ､b 的值；
（2）若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没
有公共点，试求m 的取值范围．
21．（本小题满分14分） 设函数3221()231,013
f x x ax a x a =-+-+<<． （1）求函数()f x 的极大值；
（2）若[1,1]x a a ∈-+时，恒有'()a f x a -≤≤成立
（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的
取值范围．
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（江西卷）
数学（文科）
一､选择题
1-5：ACACC 6-10：CBBDC
二､填空题
11．3π
12．p
13．x<-1 14．1632
2
=-y x
15．（2．5，4．5）
三､解答题
16．（1）由题设及正弦定理知：cos sin
cos sin A B
B A =，得
sin 2sin 2A B =，
∴22A B =或22A B π+= ，即A B =或2A B π
+=．
当A B =时，有sin(2)cos A A π-=， 即1
sin 2A =，得6A B π
==，23C π
=； 当2A B π
+=时，有sin()cos 2A π
π-=，即c o s 1A =，
不符题设， ∴6A B π==，23C π
=．
（2）由（1）及题设知：
()sin(2)cos(2)2sin(2)636f x x x x π
ππ
=++-=+； 当2[2,2]()622x k k k Z ππ
π
ππ+∈-+∈时，
()2sin(2)6f x x π
=+为增函数， 即()2sin(2)6f x x π=+的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈． 它的相邻两对称轴间的距离为2π． 17．设该人参加科目A 考试合格和补考为时间12A A 、，参加科目B 考试合格和补考合格为时间121A B B ，事件、、212A B B 、、相互独立． （1）设该人不需要补考就可获得证书为事件C ，则C=11A B ，213243)()()()(1111=⨯===B P A P B A P C P ． （2）ξ的可能取值为2，3，4． 则 P （3211279(2)43444816ξ==⨯+⨯==； P 312132311183(3)433443433488ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==； P 1312131131(4)443344334816ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== 所以，随即变量ξ的分布列为
所以2718352344848482E ξ=⨯+⨯+⨯=． 18．（1）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，
ABC △为等腰直角三角形，
所以OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，
SO BC ⊥，且2
SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．
又AO BO O =． 所以SO ⊥平面ABC ．
（2）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，
得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．
由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．
所以AO OM ⊥
，又AM SA =，
故sin AO AMO AM ∠===．
所以二面角A SC B --
19．（1）证：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+，
∴22n n a k +=∴2(1)2
21
22n n n n a k k a k
++++==∵常数0k >且
1k ≠，∴2k 为非零常数，
∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，22
()(22)n n n n b a f a k n +==⋅+，
当k =12(22)2(1)2n n n b n n ++=+⋅=+⋅． ∴25432)1(242322+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n S ， ①
2n S =452322322(1)2n n n n ++⋅+⋅++⋅++⋅． ② ②-①，得3452322222(1)2n n n S n ++=-⋅----++⋅ 3345232(2222)(1)2n n n ++=--++++++⋅ ∴3332(12)2(1)212n n n S n +-=--++⋅- 32n n +=⋅ 20．（1）依题意， l ：2x y =，不妨设) , 2(t t A ､) , 2(t t B --（0>t ） 由102||=AB 得40202=t ，2=t 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+23 1282222a b a a c b a 解得4=a ，2=b （2）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1)( 14162222y m x y x 消去y 得01248322=++-m mx x ， 动圆与椭圆没有公共点，当且仅当 014416)124(34)8(222<-=+⨯⨯--=∆m m m 或5||>m 解得3||<m 或5||>m 动圆1)(22=+-y m x 与直线2x y =没有公共点当且仅当15||>m ，即5||>m ． 解⎩⎨⎧><5||3||m m 或⎩⎨⎧>>5||5||m m 得m 的取值范围为
{}553535|-<-<<-><<m m m m m 或或或
21．（1）∵2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<，
当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或；
∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ； )(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ． 故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =．
（2）∵()()2222432f x x ax a x a a '=-+-=--+， ①当103
a <<时，12a a ->， ∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减． ∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．
∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.
a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩
此时，a 不存在． ②当113
a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）．
[]{}min min (1),(1)f x f a f a '''=-+（）
∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪-≥-⎨⎪-+-≥-⎩
即
01,1,3a a a ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨≤≤
此时，13a ≤≤ 综上可知，实数a
的取值范围为17,316⎡+⎢⎣⎦．。