人教B版高中数学必修二双基限时练20

双基限时练(二十)
基础强化
1．经过点(3，a )，(－2,0)的直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，则
a 的值为( )
A.5
2 B.25 C.10 D ．－10
解析
a －0
3－(－2)
＝－2，∴a ＝－10.
答案 D
2．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )
A ．x ＋y ＝0
B ．x －y ＝0
C ．x ＋y －6＝0
D ．x －y ＋1＝0
解析 k AB ＝4－3
2－3＝－1，AB 中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，72，
∴直线l 的斜率为1，且经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，72，
∴y －72＝x －5
2，即x －y ＋1＝0.
答案 D
3．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为( )
A ．24
B ．20
C ．0
D ．－4
解析 2m －20＝0，∴m ＝10. ∴10＋4p －2＝0，∴p ＝－2. ∴2＋10＋n ＝0，∴n ＝－12. ∴m －n ＋p ＝20. 答案 B
4．△ABC 的顶点是A (3,6)，B (2,3)，C (－2,4)，则AB 边上的高线所在直线方程为( )
A ．x ＋3y －10＝0
B ．x ＋3y ＋10＝0
C ．3x ＋y ＋2＝0
D ．3x －y ＋2＝0 解析 k AB ＝6－33－2＝3，∴k 高＝－13
.
∴高线所在直线：y －4＝－1
3(x ＋2)，即x ＋3y －10＝0.
答案 A
5．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )
A ．(－2，－3)
B ．(2,1)
C ．(2,3)
D ．(－2，－1)
解析 k MN ＝2，∴l MN ：y ＝2x －1.
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋1＝0，y ＝2x －1， ∴x ＝2，y ＝3，∴N (2,3)．
答案 C
6．入射光线在直线l 1：2x －y －3＝0上，经过x 轴反射后所在直线为l 2，再经过y 轴反射后所在直线为l 3，则直线l 3的方程为( )
A ．x －2y ＋3＝0
B ．2x －y ＋3＝0
C ．2x ＋y －3＝0
D ．2x －y ＋6＝0
解析 根据光的反射原理，l 1与l 2关于x 轴对称，
l 2与l 3关于y 轴对称，
∴直线l 1与l 3关于原点对称．
∵l 1：2x －y －3＝0，∴l 3：2x －y ＋3＝0. 答案 B
7．过点(1,3)且与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线方程为_________________________________________________________．
解析 直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，
故所求直线的斜率为2，∴y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0. 答案 2x －y ＋1＝0
8．若直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直，则m ＝________.
解析 由(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，得
(m ＋2)·(4m －2)＝0，∴m ＝－2或1
2.
答案 －2或1
2
能力提升
9．M (－1,0)关于直线x ＋2y －1＝0的对称点M ′的坐标为________．
解析 设M ′的坐标为(x 0，y 0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 0
x 0＋1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－1，x 0
－12＋y 0
2×2－1＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－15
，
y 0
＝85.
∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，85. 答案 M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－15，85
10．求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．
解 方法一 先解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋2y －1＝0，
5x ＋2y ＋1＝0，得l 1与l 2的交点
(－1,2)，
再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－5
3
，
于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－5
3(x ＋1)，
即5x ＋3y －1＝0.
方法二 ∵l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l
过l 1与l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.
方法三 ∵l 过l 1与l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.其斜率为－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即
得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.
11．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥
BC ，试求点D 的坐标．
解 设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－2
3
，
k CD ＝y －4x ，k DA ＝y
x －1
.
∵AB ⊥CD ，AD ∥BC ， ∴k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1×y －4x
＝－1，
y x －1＝－23.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝10，y ＝－6，即D (10，－6)．
12．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；
(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．
解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，
则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－1，x 0
－22＋2×y 0
－12－2＝0，
解之得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2
5
，
y 0
＝19
5，
即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
25，195.
(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，
则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y －y ′x －x ′×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－1，x ＋x ′2＋2×y ＋y ′2－2＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x －4y ＋45
，
y ′＝－4x －3y ＋85.
把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，
得7x －y －14＝0，
即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.
(3)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之
也成立．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x 1
2＝1，y ＋y 1
2＝1，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝2－x ，
y 1＝2－y .
将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0， 即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.
品味高考
13.
如图，△ABC 的顶点B (3,4)，AB 边上的高CE 所在直线方程为2x ＋3y －16＝0，BC 边上的中线AD 所在直线方程为2x －3y ＋1＝0，求边AC 的长．
解 设点A ，C 的坐标分别为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． ∵AB ⊥CE ，k CE ＝－2
3，
∴k AB ＝－1
k EC ＝3
2
.
∴直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
3x 1－2y 1－1＝0，2x 1－3y 1＋1＝0，
得A (1,1)．
∵D 是BC 的中点，
∴D ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 2＋32，y 2＋42. 而点C 在直线CE 上，点D 在直线AD 上， ∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x 2
＋3y 2－16＝0，2·x 2
＋32－3·y 2
＋4
2＋1＝0.
∴C (5,2)．|AC |＝(5－1)2＋(2－1)2＝17.。