2024-2025学年浙江省温州市瑞安市莘塍一中九年级(上)开学数学试卷(含答案)

2024-2025学年浙江省温州市瑞安市莘塍一中九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在4，−2，0，1
四个数中，最小的为( )
3
A. 4
B. −2
C. 0
D. 1
3
2.下列图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.2024年温州经济一季度GDP为20404000万元，其中20404000用科学记数法表示为( )
A. 20.404×107
B. 0.20404×108
C. 2.0404×108
D. 2.0404×107
4.计算：(−a)2⋅a4的结果是( )
A. a8
B. a6
C. −a8
D. −a6
5.某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示.序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择( )
A. 甲、丁
B. 乙、戊
C. 丙、丁
D. 丙、戊
m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
6.关于x的一元二次方程x2−x+1
4
A. m<1
B. m<−1
C. m≤1
D. m>1
7.在△ABC中，∠BAC=90°，AB<AC.用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使AD+DC=BC的作法图是( )
A. B.
C. D.
8.体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是( )
A. 1250x −1000x =30
B. 30×1.25x−30x =1000
C. 1000x −10001.25x =30
D. 10001.25x −1000x =309.反比例函数y =1x 的图象上有P(t,y 1)，M(t +1,y 2)，Q(t−1,y 3)三点.下列选项正确的是( )
A. 当t <−1时，y 2<y 1<y 3<0
B. 当t <0时，y 2<y 1<y 3<0
C. 当t >1时，0<y 1<y 2<y 3
D. 当t >0时，0<y 1<y 2<y 3
10.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =m ，且60°<m <120°.P
为△ABC 内部一点，且PC =AC ，∠PCA =120°−m.点E 为线段CB 上一
点，且CE =AP.当m 的值发生变化时，下列角度的值不变的是( )
A. ∠ABC
B. ∠PEB
C. ∠PAB
D. ∠EPC
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.分解因式：a 2−2024a = ______．
12.一组数据1，1，4，3，6的众数是______．
13.在△ABC 中，AB =AC ，BC =10cm ，点D 在AC 上，DC =3cm ，将线段
DC 沿着CB 方向平移5.5cm 得到线段EF ，点E ，F 分别落在AB ，BC 边上，则
△EBF 的周长为______．
14.已知{
2x−y =54x +3y =−10，则4x−7y = ______．
15.如图，∠A =∠B =90°，AB =100，E ，F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点
E 从点B 出发向点A 运动，同时点
F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为2：3，运动
到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为______．
16.如图，点Q在y轴正半轴上，点R在x轴正半轴上，以OR为边向上作等边
(k≠0)的图象交RQ于点T，U.若
△ORS，OS交RQ于点T，反比例函数y=k
x
TU：RQ=1：3，△OQT的面积为3，则k的值为______，则△OSR的面积
为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题7分)
)−1−38+|−5|．
计算：(1
4
18.(本小题6分)
解方程：x2−2x=3．
19.(本小题10分)
如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE．
(1)求证：△EAC≌△DAB；
(2)判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由．
20.(本小题7分)
某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A(羽毛球)，B(乒乓球)，C(篮球)，D(排球)，E(足球)，要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目.为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
解决下列问题：
(1)这次活动一共调查了______名学生，并补全条形统计图；
(2)图②中项目E(足球)对应的百分比为______．
(3)根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B(乒乓球)的人数．
21.(本小题10分)
在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回.设汽车从甲地出发x(ℎ)时，汽车离甲地的路程为y(km)，y与x的函数关系如图所示.根据图象信息，解答下列问题：
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由．
(2)求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为60km．
22.(本小题10分)
问题情景：如图直角△ACD中，∠C=90°，AC=1，∠A=22.5°，求CD的长？
解题思路：把22.5°的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长CD至B，使得∠CAD=∠BAD，过D作DE⊥AB，交AB于点E，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得CD=DE=EB=2−1．
方法二：作AD的中垂线交AC于点F，连接DF，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设
DC=x，CF=CD=x，AF=DF=1−x，DF=2CF，得1−x=2x，x=2−1，则CD=2−1．
其他方法…
迁移应用解决新问题：如图直角△ACD 中，∠C =90°，AC =1，∠A =15°，求CD 的长，写出你的解答过程．
23.(本小题10分)
若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y =
{2x (x ≥1)2|x|(x <1)的图象与性质.列表： x (1)
120121322...y (21012)
431…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．
结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
(1)点A(3,y)，B(x,6)在函数图象上，求x ，y 的值；
(2)当函数值y =2时，自变量x 的值为______；
(3)利用图象分析关于x 的方程b ={2x (x ≥1)2|x|(x <1)
的解的具体个数，并写出对应的b(b 为常数)的取值范围．
24.(本小题12分)
如图：正方形ABCD 中，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连结AE 并延长交BM 于点F ，连结CE ，CF ，BE ．
(1)求证：AB =BE ；
(2)求证：△EFC是等腰直角三角形；
(3)①若AE=5，CE=2，求BF的长；
②探索DF，BF，BC三边的关系，并证明你的结论．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.B
5.C
6.A
7.C
8.C
9.A
10.B
11.a(a−2024)
12.1
13.10.5cm
14.30
15.40或75
16.43
，33．
3
17.解：原式=4−2+5
=7．
18.解：x2−2x=3，
x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
∴x1=3，x2=−1．
19.证明：(1)∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
{AB=AC,
∠BAD=∠CAE
，
AD=AE
∴△EAC≌△DAB(SAS)；
(2)如图，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
又∵∠B+∠BAC=∠C+∠BFC，
∴∠BFC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE．
20.(1)9÷15%=60(名)，
D类人数为：60−6−18−9−12=15，补全条形图如图：
×100%=20%；
(2)12
60
(3)800×18
=240(名)；
60
答：估计选择项目B(乒乓球)的人数为240．
21.解：(1)这辆汽车的往、返速度不相同，理由如下：这辆汽车从甲地到乙地的速度为120÷2=60(km/ℎ)，
这辆汽车从乙地返回甲地的速度为120÷(5−2.6)=50(km/ℎ)．
∵60>50，
∴这辆汽车的往、返速度不相同；
(2)当0≤x≤2时，设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(0,0)，(2,120)代入y=kx+b得：{b=0
2k+b=120，
解得：{k=60
b=0，
∴当0≤x≤2时，y与x的函数关系式为y=60x，
若y=120−60=60，则60x=60，
解得：x=1；
当2.6≤x≤5时，设y与x的函数关系式为y=mx+n(m≠0)，
将(2.6,120)，(5,0)代入y=mx+n得：{2.6m+n=120
5m+b=0，
解得：{m=−50
n=250，
∴当2.6≤x≤5时，y与x的函数关系式为y=−50x+250，
若y=120−60=60，则−50x+250=60，
解得：x=3.8．
答：这辆汽车从甲地出发1小时或3.8小时时离乙地的路程为60km．
22.解：方法一：延长CD至B，使得∠CAD=∠BAD，过D作DE⊥AB，交AB于点E．
∵∠CAD=∠BAD，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE．
∵∠CAD=∠BAD=15°，∠CAB=90°，
∴∠CAB=30°，∠B=90°−30°=60°．
∴AB=2BC,AC=3BC=1，
∴BC=3
3
∵∠B=60°，DE⊥AB，
∴∠BDE=30°．
∴BE=1
2
BD．
设BE=x，则：DB=2x,DE=3x，
∴BC=BD+CD=BD+DE=(2+3)x=3
3
，
∴x=23
3
−1，
∴CD=DE=3x=2−3．
方法二：作AD的中垂线交AC于点F，连接DF．
∵AD的中垂线交AC于点F，
∴AF=DF．
∵∠A=15°，
∴∠FDA=∠A=15°．
∴∠FDC=90°−15°−15°=60°．
∴∠DFC=30°．
∴DF=2CD,CF=3CD，
设CD=x，则CF=3x，AF=DF=2x，
∴AC=AF+CF=(2+3)x=1，
解得：x=2−3．
∴CD=2−3．
23.(1)由图象可知，当x<0时，设函数关系式为：y=kx，把(−1,2)代入，得：k=−2，∴y=−2x；
当0≤x<1时，同法可得：y=2x，
当x≥1时，设y=m
x
，把(1,2)，代入得：m=2，
∴y=2
x
，
∴y ={
−2x(x <0)2x(0≤x <1)2x (x ≥1)，∴当x =3时，y =23，当y =6时，−2x =6，解得x =−3，
∴x =−3，y =23；
(2)±1；
(3)由图象可知：当b =0或b >2时，方程有1个解；
当0<b <2时，方程有3个解；
当b =2时，方程有2个解，
当b <0时，方程无解．24.(1)证明：∵作点C 关于BM 的对称点E ，
∴BE =BC ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =BC ，
∴AB =BE
(2)证明：∵点C 关于BM 的对称点为E ，
∴CF =EF ，BE =BC ，
在△BEF 和△BCF 中，
{EF =CF BE =BC BF =BF
，∴△BEF ≌△BCF(SSS)，
∴∠BCF =∠BEF ，
∵AB =BE ，
∴∠BAE =∠BEA ，
∵∠AEB +∠BEF =180°，
∴∠BAE +∠BCF =180°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC =90°，
∵∠ABC +∠AFC +∠BAF +∠BCF =360°，
∴∠CFE =90°，
又∵EF =CF ，
∴△EFC 是等腰直角三角形；
(3)①设CE ，BF 交于点G ，连接AC ，如图1，
∵△EFC 是等腰直角三角形，CE = 2，
∴CF =EF = 22CE =1，
∴AF =AE +EF =6，
在Rt △AFC 中，AC = AF 2+CF 2= 37，
∴AB =BC = 22AC = 742
，由对称的性质可知，BF 垂直平分CE ，
∴CG =EG =1
2CE = 22，∴FG = EF 2−EG 2= 22
，BG = BC 2−CG 2=3 2，∴BF =BG +FG =7 2
2；
②BF 2+DF 2=2BC 2，证明如下：
连接AC ，BD ，交于点O ，连接OF ，如图2，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC =CD ，∠BCD =90°，OA =OC =OB =OD ，
∴BD = 2BC ，
∵∠AFC=90°，OA=OC，
∴OF=1
AC=OA=OC，
2
∴OF=OB=OD，
∴∠OBF=∠OFB，∠ODF=∠OFD，
∵∠OBF+∠OFB+∠ODF+∠OFD=2(∠OFB+∠OFD)=2∠BFD=180°，∴∠BFD=90°，
∴BF2+DF2=BD2，
∵BD=2BC，
∴BF2+DF2=2BC2．。