21年高考数学任意角和弧度制及任意角的三角函数

21年高考数学任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、题点全面练
1．若cos θ＜0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B 由sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，cos θ＜0，得sin θ＞0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限．故选B.
2．已知角α＝2k π－π
5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y
＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|
的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3
D ．－3
解析：选B 由α＝2k π－π
5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的
终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y ＝－1＋1－1＝－1.
3．若角α与β的终边关于x 轴对称，则有( ) A ．α＋β＝90°
B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈Z
C ．α＋β＝2k ·180°，k ∈Z
D ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z
解析：选C 因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°
－α，k ∈Z.所以α＋β＝2k ·180°，k ∈Z.
4．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π4，π4 解析：选D 由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x ＜0，即sin x ＜cos x ，所以－3π4＋2k π＜x ＜π
4
＋2k π，k ∈Z.当
k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－3π4，π4.
5．若α是第三象限角，则y ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
sin α2sin α2＋⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪cos α2cos α2
的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－2
D ．2或－2
解析：选A 因为α是第三象限角， 所以2k π＋π＜α＜2k π＋3π
2(k ∈Z)，
所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π
4(k ∈Z)，
所以α
2是第二象限角或第四象限角．
当α
2
是第二象限角时，y ＝sin α2sin α2－cos α2cos α2
＝0，
当α
2
是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cos α2
＝0，故选A. 6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．
解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 2
12
αR 2＝1
4，
所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr
2R ＋αR ＝1∶2.
答案：1∶2
7．一扇形的圆心角为2π
3
，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
解析：设扇形的半径为R ，其内切圆的半径为r .
则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋
233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2
＝π3R 2＝7＋439πr 2，
∴S 扇πr 2＝7＋43
9. 答案：(7＋43)∶9 8．已知
1|sin α|＝－1
sin α
，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，
求m 及sin α的值．
解：(1)由1|sin α|＝－1
sin α，得sin α＜0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α＞0， 所以α是第四象限角．
(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±4
5.
又α为第四象限角，故m ＜0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m
|OM |＝－45
.
9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．
(1)若点B 的横坐标为－4
5
，求tan α的值；
(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解：(1)设点B 的纵坐标为m ，
则由题意m 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－452
＝1，
且m ＞0，所以m ＝3
5，故B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35，
根据三角函数的定义得tan α＝35
－45
＝－3
4.
(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π
3
，故与角α终边相同的
角β的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫β⎪⎪⎪
β＝π
3＋2k π，k ∈Z .
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝2
4
x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2
D ．－ 3
解析：选D ∵cos α＝
x x 2＋5＝2
4
x ，∴x ＝0或x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－3，故选D.
2．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π
3，则
与角α终边相同的最小正角为________．
解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
，－12，故α为第四象限角且cos α
＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，则最小的正角为11π
6
. 答案：11π6
3．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，
所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，
当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－1
5.
当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝1
5.
(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，
cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，0，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 3
5·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＜0；
当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，
cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35·sin 4
5＞0.
综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正． (二)素养专练——学会更学通
4. [直观想象、数学运算]如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB ＝α，则
α
tan α＝________.
解析：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12
αr 2
，在Rt △POB 中，
PB ＝r tan α，则△POB 的面积为12r ·r tan α，由题意得12r ·r tan α＝2×
1
2αr 2
，∴tan α＝2α，∴α
tan α＝12
.
答案：12
5．[数学建模]如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π
3
，点Q 按
顺时针方向每秒钟转π
6，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇
点的坐标及点P ，Q 各自走过的弧长．
解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t ·π
3＋t ·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒． 设第一次相遇时，相遇点为C ， 则∠COx ＝π3·4＝4π3
，
则P 点走过的弧长为4π3·4＝16π
3，
Q 点走过的弧长为2π3·4＝8π
3；
x C ＝－cos π
3·4＝－2，
y C ＝－sin π
3
·4＝－2 3.
所以C 点的坐标为(－2，－23)．。