高中物理：圆锥摆模型

高中物理：圆锥摆模型
一、圆锥摆模型
1、结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动。

2、受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力。

两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图1所示。

图1
二、常规讨论
1、向心力和向心加速度
设摆球的质量为m，摆线长为，与竖直方向的夹角为，摆球的线速度为，角速度为，周期为T，频率为。

2、摆线的拉力
有两种基本思路：当角已知时；当角未知时
3、周期的计算
设悬点到圆周运动圆心的距离为h，根据向心力公式有，由此可知高度相同的圆锥摆周期相同与无关。

4、动态分析
根据有，当角速度增大时，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。

三、典型实例
例1、将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平内以角速度做匀速圆周运动，如图2所示，求圆周平面距碗底的高度，若角速度增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？
图2
解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。

，故，圆周平面距碗底的高度为。

若角速度增大，则有增大，高度h变大，回旋半径变大，向心力变大。

例2、一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度做匀速转动，在圆锥筒内壁的A处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化？
图3
分析：不属于圆锥摆模型，圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变。

解析：小球受两个力mg、作用，向心力，角速度增大时，由于角度不变，故向心力不变，回旋半径r减小，小球到锥底的高度降低。

例3、一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为，如图4所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：
（1）当时，绳上的拉力多大？
（2）当时，绳上的拉力多大？
图4
分析：先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。

判断时，先根据临界条件，当圆锥体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为。

当时，小球做圆锥摆运动，时，小球不做圆锥摆运动。

解析：当小球刚好对圆锥没有压力时
求得小球的线速度
（1）当，小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图5所示，用正交分解法解题，在竖直方向
图5
在水平方向
解得
（2）当，小球做圆锥摆运动，且，设此时绳与竖直方向的夹角为，则有
解得
因此。