例谈高中复合函数

例谈高中复合函数
【摘要】在高中数学复合函数的教学中，复合函数的性质与构成与它的函数的性质密切相关。

复合函数的定义、定义域、奇偶性、单调性和解法精选所涉及的问题及解决方法，要理解法则，掌握步骤，善于应用。

【关键词】高中数学复合函数解法应用
1.定义
复合函数：一般来说，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f
（u），u=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数.其中u叫做中间变量.
例如：f（x）= 3x+5，g（x）= 2x+1；复合函数f（g（x））即把f（x）里面的x换成g（x），f（g（x））= 3g（x）+5 = 3×（2x+1）+5 = 6x+8.
2.定义域
若函数y=f（u）的定义域是B﹐u=g（x）的定义域是A﹐则复合函数y=f[g （x）]的定义域是：D={x|x∈A，且g（x）∈B}.
3.复合函数——奇偶性
复合函数的性质与构成与它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下：若函数f（x），g（x），f[g（x）] 的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g （x），y=f（u）的奇偶性得到y= f[g（x）] 的奇偶性的规律是：即当且仅当u=g （x）和y=f（x）都是奇函数时，复合函数y=f[g（x）] 是奇函数. 若u=g（x）或y=f（x）中只要有一个为偶函数，则复合函数y=f[g（x）] 是偶函数。

4.复合函数——单调性
若函数u=g（x），在区间[a，b]上是单调函数，函数y=f（u）在[g（a），g （b）]或[g（b），g（a）]上也是单调函数，那么复合函数y=f[g（x）]在区间[a，b]上是单调函数，其单调性规律是：
即u=g（x），y=f（u）增减性相同时，y=f[g（x）]为增函数，当u=g（x），y=f（u）增减性相反时，y=f[g（x）]为减函数。

5.解法精选
5.1 求复合函数的定义域。

例1：已知f（x）的定义域为（1，2] ，求函数y=f（1+x2）的定义域。

分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只须将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求出其定义域。

解：由1≤1+x20解得函数的定义域为{x|x1|}
设u=x2+2x-3，则y=log12u
∵01）的递减区间就是函数
y=log12（x2+2x-3）的递增区间
∵u=（x+1）2-4
∴当x≤-1时，u=x2+2x-3是减函数.
{x|x1}∪{x|x≤-1}={x|x<-3}
∴函数y=log12（x2+2x-3）的递增区是（-∞，-3）.
例2：已知函数y=f（x）与y=g（x）的定义域都是R，值域分别是（0.+∞）与（-∞，0），在R上f（x）是增函数而g（x）是减函数，求证：F（x）=f （x）·g（x）在R上为减函数.
分析：证明的依据应是减函数的定义.。