高考七大高频考点例析

D．任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，
故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是
真命题．
答案：A
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空间向量是高考的重要内容之一，尤其是在立
考查 方式
体几何的解答题中．建立空间坐标系，利用空间向 量的坐标和数量积解决直线、平面位置关系，特别 是平行与垂直关系是高考必考内容之一，属中、低
或a0><1a， ≤2，
∴1<a≤2.
答案：C
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2．判断下列命题的真假： (1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题； (2)“若一个数能被6整除，则它也能被2整除”的逆命题； (3)“若0<x<5，则|x－2|<3”的否命题及逆否命题； (4)“若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立， 则a∈(－2,2)”的原命题、逆命题．
中档题，每年必考.
利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可
1.若两条异面直线的方向向量为 a，b，夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈a，
b〉|.
2.直线 l 的方向向量为 u，平面 α 的法向量为 n，直线与平面的夹角
备考 θ，sin θ＝|cos〈u，n〉|
指要 3.两平面的法向量为 n1，n2，两平面的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n1，
x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是
()
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
uuur 又 AB＝(0,1,0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，
而
uuur AB
·uEuFur＝(0,1,0)·－a3，0，23a＝0，
uuur uuur
∴ AB⊥ EF .
又E∉平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.
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8.如图，正方形ADEF与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD⊥CD， AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4， M为EC的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
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4．(2011·江西高考)已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，
平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为
d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2
＝P2P3”是“d1＝d2”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
p的“充要条件”；
2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命
题的等价性进行判断.
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[考题印证]
[例2] (2012·上海高考)对于常数m、n，“mn>0”是“方
程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为当m<0，n<0时，方程mx2＋ny2＝1表示
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证明：由题意易知 AD，CD，ED 两两垂直．建立如图所示的空间直 角坐标系． 则 A(2,0,0)，B(2,2,0)， C(0,4,0)，E(0,0,2)． (1)∵M 是 CE 的中点， ∴M(0,2,1)，
uuur ∴ BM ＝(－2,0,1)．
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由题意知 CD⊥平面 ADEF， uuur
∴PB∥平面 AEC.
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[跟踪演练] 7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，
D1C上，且DE＝D1F＝ 32a，其中a为正方体棱长．求 证：EF∥平面BB1C1C.
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证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
则Ea3，a3，0，F0，a3，23a，
故
uuur EF
＝－a3，0，23a，
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充分条件，必要条件可以与各章内容相结合，是 考查
历年高考考查的热点之一，题型主要以选择题，填空 方式
题为主.
1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性.
(1)若“p⇒q”，且“p ¾ q”，则p是q的“充分不
备考 必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”.
指要
(2)若“p⇔q”，则p是q的“充要条件”，同时q是
(1)求证：AC⊥PB； (2)求证：PB∥平面AEC.
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[证明] (1)建立空间直角坐标系如图．
设 AC＝a，PA＝b，则有 A(0,0,0)，
B(0，b,0)，C(a,0,0)，P(0,0，b)，
uuur
uuur
uuur uuur
∴ AC ＝(a,0,0)， PB＝(0，b，－b)，从而 AC ·PB＝0.
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解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B. 根据集合“并”的定义，逆命题为真． 逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B. 逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B. (2)逆命题：若一个数能被2整除，则它也能被6整除．逆 命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除． (3)否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.
n2〉|.
uur
4.平面 α 的法向量为 n，P∈α，A∉α，PA为直线 PA 的方向向量，A
到平面
α
的距离为
d，d＝
uPuAr ·|nn|.
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[考题印证] [例 5] (2012·江西高考)在三棱锥 ABC－ A1B1C1 中，已知 AB＝AC＝AA1＝ 5，BC＝4， 点 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O. (1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E，使得 OE⊥平面 BB1C1C， 并求出 AE 的长； (2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值．
则
uuur DE ·n＝0，
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即22xz＝＋02.y＝0， 令 x＝1， ∴n＝(1，－1,0)是平面 BDE 的一个法向量， 同理，求得平面 BEC 的一个法向量 n0＝(1,1,2)， ∵n·n0＝1×1＋(－1)×1＋0＝0， ∴平面 BDE⊥平面 BEC.
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考查 方式
利用空间向量求两条异面直线的夹角，直线与平面的夹角以及 两平面的夹角与距离是高考的重点和热点，主要以解答题为主，为
指要
2.命题p∨q中，p、q有真则真；命题p∧q中，
p、q有假则假.
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[考题印证] [例1] (2012·重庆高考)命题“若p则q”的逆命题是
()
A．若q则p
B．若綈p则綈q
C．若綈q则綈p
D．若p则綈q
[解析] 根据逆命题的概念可知，“若p则q”的逆命 题为“若q则p”．
[答案] A
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[跟踪演练] 1．设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，p：1∈A，q：2∈A.
档题，难度不大. 利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用
备考 指要
直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中 的关于平行和垂直的定理，再通过向量的运算来解 决．建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点
的坐标是解题的关键.
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[考题印证] [例4] 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是 PD的中点．
备考 限定集合M中，能找到一个x，使p(x)成立即可．否则，这一特称
指要 命题为假.
3.全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是
全称命题，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量
词改为全称量词，然后再把判断词加以否定.
4.注意命题的否定与否命题的区别.
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[考题印证]
[例3] (2012·辽宁高考改编)已知命题p：对任意x1，
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定
是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
答案：B
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6．下列命题中，真命题是
()
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
∴ DC ＝(0,4,0)是平面 ADEF 的一个法向量． uuur uuur
∴ BM ·DC ＝0.
又 BM 平面 ADEF，∴BM∥平面 ADEF.
uuur
uuur
(2) DB＝(2,2,0)， DE ＝(0,0,2)．
设 n＝(x，y，z)是平面 BDE 的一个法向量．
uuur
DB·n＝0，
[解析] 命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－
f(x1))(x2－x1)<0”．
[答案] C
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[跟踪演练]
5．(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是
有理数”的否定是
()
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
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解：(1)证明：连接 AO，在△AOA1 中，作 OE⊥AA1 于点 E，因
为 AA1∥BB1，得 OE⊥BB1，因为 A1O⊥平面 ABC，所以 A1O⊥BC.
因为 AB＝AC，OB＝OC，得 AO⊥BC，所以 BC⊥平面 AA1O，所以
高
考点一
ห้องสมุดไป่ตู้
考
七
考点二
大 高
考点三
频
考点四
考
点
考点五
例
考点六
析
考点七
高考七大高频考点例析
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以四种命题、逻辑联结词为主要内容．考查 考查
四种命题之间的关系及含有逻辑联结词的命题的 方式
真假，主要以选择题、填空题为主，属容易题.
1.要掌握互为逆否的两个命题是等价的，对某
备考 些命题的判断可以转化为判断其逆否命题.
的曲线不是椭圆，但当方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆
时，m>0，n>0，mn>0.
[答案] B
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[跟踪演练]
3．(2011·天津高考)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”
的
()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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解析：因为 x≥2 且 y≥2⇒x2＋y2≥4 易证，所以充分性满 足，反之，不成立，如 x＝y＝74，满足 x2＋y2≥4，但不满 足 x≥2 且 y≥2，所以 x≥2 且 y≥2 是 x2＋y2≥4 的充分而 不必要条件. 答案：A
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解析：当直线 l 与三个平行平面 α1，α2，α3 垂直时，显然 P1P2＝P2P3⇔d1＝d2. (2)当直线 l 与 α1，α2，α3 斜交时，过点 P1 作直线 P1A⊥α2 分别交 α2，α3 于点 A，B， 则 P1A⊥α3，故 P1A＝d1，AB＝d2，显然，相交直线 l 与直线 P1A 确定一个平面 β，∵α1∥α2∥α3，∴P2A∥P3B，∴PP12PP23＝ dd12.故 P1P2＝P2P3⇔d1＝d2.综上知选 C. 答案：C
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否命题为假．反例－12＝x≤0，但|－12－2|＝52<3. 逆否命题：若|x－2|≥3，则x≤0或x≥5. 逆否命题为真，因|x－2|≥3⇒x≥5或x≤－1⇒x≥5或 x≤0. (4)原命题为假．因为a＝2时，不等式变为－4<0，显然对 一切x∈R恒成立． 逆命题：若a∈(－2,2)，则不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切x∈R恒成立．为真，因为当a∈(－2,2)时，a－2<0 且Δ<0.
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考查
主要考查全称命题与特称命题的真假判断，以及含有一个量
方式 词的命题的否定，题型主要是选择题、填空题.
1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对
限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以
证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可.
2.特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在
若p或q为真命题，p且q为假命题，则a的取值范围是
()
A．(0,1)∪(2，＋∞)
B．(0,1)∪[2，＋∞)
C．(1,2]
D．[1,2]
解析：若 p 为真，则－2－a<1<a，解得 a>1.
若 q 为真，则－2－a<2<a，解得 a>2.
依题意，得 p 假 q 真，或 p 真 q 假．
即0<a≤1， a>2
∴AC⊥PB.
(2)连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO.
由已知得 D(a，－b,0)，Ea2，－b2，b2，Oa2，0，0，
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∴
uuur EO
＝0，b2，－b2.
uuur
uuur uuur
又 PB＝(0，b，－b)，∴ PB＝2 EO ，∴PB∥EO，
又 PE⃘平面 AEC，EO 平面 AEC，