中考数学复习 第二部分 空间与图形 第十七课时 三角形(特殊三角形)数学课件
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(5)中位线:连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理:三角形中位线平行于三角形的 第三边 ,且 等于第三边的 一半 . 边的关系:三角形任意两边之和 大于 第三边,三角形任意两边 之差 小于 第三边,即a+b>c>a-b. 角的关系:(1)三角形的内角和等于180°,即∠A+∠B+∠C= 180° . (2)三角形的外角和为 360° .三角形的一个外角等于与它不相邻 的两内角的和.
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3.(2017·黔东南)如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数是 ( C )
A.120° B.90° C.100° D.30° 4.(2017·宜昌)如图,要测定被池塘隔开的A、B两点的距离.可以在 AB外选一点C,连接AC,BC,并分别找出它们的中点D,E, 连接ED.现 测得AC=30 m,BC=40 m,DE=24 m,则AB= ( B )
A.3 B.4 C.4.8 D.5 【名师点拨】 本题考点为勾股定理的逆定理,中位线定理,直角三 角形斜边上的中线.利用勾股定理的逆定理判断出来△ABC的形状, 利用DE是AC的垂直平分线可得DE为中位线,由“直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半”求得结果.
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【我的解法】 解:∵AB=10,AC=8,BC=6,则,∴△ABC是直角三角形, ∵DE是AC的垂直平分线,∴DE⊥AC,E是AC的中点, ∵∠DEC=∠ACB=90°,∴DE∥BC,即DE为中位线, ∴CD为Rt△ABC斜边上的中线,∴CD= AB=5,故答案为D.
A.13 cm
B.14 cm
C.13 cm或14 cm
D.以上都不对
2.(2016·娄底)如图,将△ABC沿直线DE折叠,使点C与点A重合,已知
AB=7,BC=6,则△BCD的周长为 13 .
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3.(2017·滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且 DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( B )
为( C )
A.115° B.120° C.135°
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D.145°
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3.(2017·遵义)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置,如果∠1=30°, 则∠2的度数为 ( D )
A.45° B.30° C.20° D.15° 4.(2017·益阳)如图,△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的 中线.则CD= 6.5 .
【题型感悟】 理解勾股定理的逆定理,中12 位线定理,直角三角形斜 边上的中线是解题关键.
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【考点变式】
1.(2017·长沙)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三
角形一定是 ( B )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
2.(2017·白银)将一把直尺与一块三角板如图放置,若∠1=45°,则∠2
=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13. 【题型感悟】 结合图象,弄清线段的垂直平分线上的点到线段两 端的12/9的/20距21 离相等,发现将线段EB代换为EA是解题的关键.
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【考点变式】
1.(2016·湘西)一个等腰三角形一边长为4 cm,另一边长为5 cm,那么
这个等腰三角形的周长是 ( C )
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第17课时 三角形(特殊三角形)
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考纲要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平 分线等概念,了解三角形的稳定性.了解三角形重心 的概念. 2.探索并证明三角形内角和定理,掌握该定理的推 论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 证明三角形的任意两边之和大于第三边.
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3.等边三角形:定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边 三角形是特殊的 等腰三角形 . 性质:(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于 60° ; (2)等边三角形是轴对称图形,它有 三条 对称轴. 判定:(1) 三边 都相等的三角形是等边三角形; (2) 三个角 都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是60°的 等腰三角形 是等边三角形.
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【考点变式】
1.(2017·河池)三角形的下列线段中,能将三角形分成面积相等的两
部分是 ( A )
A.中线
B.角平分线
C.高
D.中位线
2.(2017·株洲)如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则
∠BAD= ( B )
A.145° B.150° C.155°
A.70° B.60° C.40° D.30°
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3.(2017·苏州)如图,点D在∠AOB的平分线OC上,点E在OA 上,ED∥OB,∠1=25°,则∠AED的度数为 50° .
4.(2017·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等 于 2.5 .
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1.(2017·金华)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是 (C) A.2,3,4 B.5,7,7C.5,6,12 D.6,8,10 2.(2017·乐山)含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所 示,已知l1∥l2,∠ACD=∠A,则∠1= ( B )
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一、选择题 1.(2017·嘉兴)长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值 可以是 ( C ) A.4 B.5 C.6 D.9 2.(2017·安顺)如图,已知a∥b,小华把三角板的直角顶点放在直线b 上.若∠1=40°,则∠2的度数为 ( D )
A.100° B.110° C.120° D.130°
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考点2 等腰三角形
【例2】(2016·长沙)如图,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线
DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为
.
【名师点拨】 此题考查了线段的垂直平分线的性质,利用性质可 得EA=EB,从而求出△BCE的周长. 【我的解法】 解:DE是AB的垂直平分线,根据线段的垂直平分线的 性质得到EA=EB,所以△BCE的周长
A.40° B.36° C.80° D.25° 4.(2017·江西)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB. 若剪刀张开的角为30°,则∠A= 75 度.
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考点3 直角三角形 【例3】(2016·广州)如图,已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC的垂直平分线,DE交AB于D,连接CD,CD= ( )
4.热点和趋势: (1)等腰、等 边、直角三角
角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定 形有关边角的
理:等边三角形的各角都等于 60°.探索等边三 角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有 一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形.
计算; (2)利用三角 形的中线、高
5.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角 形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余,直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,掌握有 两个角互余的三角形是直角三角形.
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D.160°
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3.(2017·南宁)如图,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于 ( B )
A.100° B.80° C.60° D.40° 4.(2017·福建)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连线DE,若 DE=3,则线段BC的长等于 6 .
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4.直角三角形:定义:有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角 形. 性质:(1)直角三角形的两个锐角 互余 ; (2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等 于斜边的 一半 ; (3)直角三角形斜边上的中线等于 斜边 的一半; (4)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c, 那么 a2+b2=c2 . 判定:(1)有一个角是 直角 的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形.
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考点1 三角形边、角关系 【例1】 (2015·广东)如图,直线a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3的度数是 () A.75° B.55° C.40° D.35°
【名师点拨】 此题考查了平行线的性质,三角形外角与不相邻两 内角的关系,利用相关知识可得结果. 【我的解法】 解:两直线平行,同位角相等,三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角之和,所以,75°=∠2+∠3,所以,∠3=40°,选C. 【题型感悟】 熟记平行线的性质,三角形外角与不相邻两内角的 关系是解题的关键.
40° . 7.(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是 100° .
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8.(内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形.
解:∵DE∥AC,∴∠1=∠3, ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3, ∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°, ∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.
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2.等腰三角形:定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中 相等的两条边叫做 腰 ,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做 顶角 ,底边与腰的夹角叫做 底角 . 性质:(1)等腰三角形的两底角 相等 (简称“等边对等角”); (2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高 相互重合(简称“三线合一”); (3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上 的高)所在直线是它的对称轴. 判定:(1)有两条边相等的三角形是 等腰三角形 ; (2)有 两个角相等 的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等 边”)
线、角平分线 进行尺规作 图;
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考纲要求
6.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决 一些简单的实际问题.
中考动向
(3)运用等 腰、等边、直 角三角形的性 质和判定进行 有关证明.
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1.三角形:有关线:(1)高:从三角形的一个顶点向对边所在直线作 垂线 ,顶点到垂足之间的线段叫做三角形这一边上的高. (2)中线:连接三角形顶点到对边 中点 的线段叫做三角形这边 上的中线.三角形的三条中线交于一点,这点叫做三角形的重心.三 角形的中线把原三角形分成面积相等的两个三角形. (3)角平分线:三角形一个内角的平分线与对边相交时,这个角的顶 点与交点之间的线段叫做 三角形的角平分线 .三角形的三条角 平分线交于一点,这点叫做三角形的 内心 ,内心到三边的 距 离相等 . (4)三边垂直平分线:三角形的三边的 垂直平分线 交于一点,这 点叫做三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等.
A.50 m B.48 m
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C.45 mD.35 m
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5.(2017·包头)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则 该等腰三角形的底边长为 ( A ) A.2 cm B.4 cmC.6 cm D.8 cm
12/9/2021-2源自-二、填空题6.(2017·成都)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为
3.探索并证明三角形中位线定理.
中考动向
1.题型:选 择题、填 空题和解 答题 2.难度: 中、低档 题 3.分 值:3~7 分
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考纲要求
中考动向
4.理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角 形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等:底 边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌 握等腰三角形的判定定理:有两个底角相等的三
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(5)中位线:连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理:三角形中位线平行于三角形的 第三边 ,且 等于第三边的 一半 . 边的关系:三角形任意两边之和 大于 第三边,三角形任意两边 之差 小于 第三边,即a+b>c>a-b. 角的关系:(1)三角形的内角和等于180°,即∠A+∠B+∠C= 180° . (2)三角形的外角和为 360° .三角形的一个外角等于与它不相邻 的两内角的和.
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3.(2017·黔东南)如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数是 ( C )
A.120° B.90° C.100° D.30° 4.(2017·宜昌)如图,要测定被池塘隔开的A、B两点的距离.可以在 AB外选一点C,连接AC,BC,并分别找出它们的中点D,E, 连接ED.现 测得AC=30 m,BC=40 m,DE=24 m,则AB= ( B )
A.3 B.4 C.4.8 D.5 【名师点拨】 本题考点为勾股定理的逆定理,中位线定理,直角三 角形斜边上的中线.利用勾股定理的逆定理判断出来△ABC的形状, 利用DE是AC的垂直平分线可得DE为中位线,由“直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半”求得结果.
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【我的解法】 解:∵AB=10,AC=8,BC=6,则,∴△ABC是直角三角形, ∵DE是AC的垂直平分线,∴DE⊥AC,E是AC的中点, ∵∠DEC=∠ACB=90°,∴DE∥BC,即DE为中位线, ∴CD为Rt△ABC斜边上的中线,∴CD= AB=5,故答案为D.
A.13 cm
B.14 cm
C.13 cm或14 cm
D.以上都不对
2.(2016·娄底)如图,将△ABC沿直线DE折叠,使点C与点A重合,已知
AB=7,BC=6,则△BCD的周长为 13 .
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3.(2017·滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且 DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( B )
为( C )
A.115° B.120° C.135°
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D.145°
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3.(2017·遵义)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置,如果∠1=30°, 则∠2的度数为 ( D )
A.45° B.30° C.20° D.15° 4.(2017·益阳)如图,△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的 中线.则CD= 6.5 .
【题型感悟】 理解勾股定理的逆定理,中12 位线定理,直角三角形斜 边上的中线是解题关键.
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【考点变式】
1.(2017·长沙)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三
角形一定是 ( B )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
2.(2017·白银)将一把直尺与一块三角板如图放置,若∠1=45°,则∠2
=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13. 【题型感悟】 结合图象,弄清线段的垂直平分线上的点到线段两 端的12/9的/20距21 离相等,发现将线段EB代换为EA是解题的关键.
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【考点变式】
1.(2016·湘西)一个等腰三角形一边长为4 cm,另一边长为5 cm,那么
这个等腰三角形的周长是 ( C )
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第17课时 三角形(特殊三角形)
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考纲要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平 分线等概念,了解三角形的稳定性.了解三角形重心 的概念. 2.探索并证明三角形内角和定理,掌握该定理的推 论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 证明三角形的任意两边之和大于第三边.
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3.等边三角形:定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边 三角形是特殊的 等腰三角形 . 性质:(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于 60° ; (2)等边三角形是轴对称图形,它有 三条 对称轴. 判定:(1) 三边 都相等的三角形是等边三角形; (2) 三个角 都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是60°的 等腰三角形 是等边三角形.
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【考点变式】
1.(2017·河池)三角形的下列线段中,能将三角形分成面积相等的两
部分是 ( A )
A.中线
B.角平分线
C.高
D.中位线
2.(2017·株洲)如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则
∠BAD= ( B )
A.145° B.150° C.155°
A.70° B.60° C.40° D.30°
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3.(2017·苏州)如图,点D在∠AOB的平分线OC上,点E在OA 上,ED∥OB,∠1=25°,则∠AED的度数为 50° .
4.(2017·安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等 于 2.5 .
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1.(2017·金华)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是 (C) A.2,3,4 B.5,7,7C.5,6,12 D.6,8,10 2.(2017·乐山)含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所 示,已知l1∥l2,∠ACD=∠A,则∠1= ( B )
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一、选择题 1.(2017·嘉兴)长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值 可以是 ( C ) A.4 B.5 C.6 D.9 2.(2017·安顺)如图,已知a∥b,小华把三角板的直角顶点放在直线b 上.若∠1=40°,则∠2的度数为 ( D )
A.100° B.110° C.120° D.130°
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考点2 等腰三角形
【例2】(2016·长沙)如图,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线
DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为
.
【名师点拨】 此题考查了线段的垂直平分线的性质,利用性质可 得EA=EB,从而求出△BCE的周长. 【我的解法】 解:DE是AB的垂直平分线,根据线段的垂直平分线的 性质得到EA=EB,所以△BCE的周长
A.40° B.36° C.80° D.25° 4.(2017·江西)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB. 若剪刀张开的角为30°,则∠A= 75 度.
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考点3 直角三角形 【例3】(2016·广州)如图,已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC的垂直平分线,DE交AB于D,连接CD,CD= ( )
4.热点和趋势: (1)等腰、等 边、直角三角
角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定 形有关边角的
理:等边三角形的各角都等于 60°.探索等边三 角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有 一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形.
计算; (2)利用三角 形的中线、高
5.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角 形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余,直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,掌握有 两个角互余的三角形是直角三角形.
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D.160°
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3.(2017·南宁)如图,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于 ( B )
A.100° B.80° C.60° D.40° 4.(2017·福建)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连线DE,若 DE=3,则线段BC的长等于 6 .
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4.直角三角形:定义:有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角 形. 性质:(1)直角三角形的两个锐角 互余 ; (2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等 于斜边的 一半 ; (3)直角三角形斜边上的中线等于 斜边 的一半; (4)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c, 那么 a2+b2=c2 . 判定:(1)有一个角是 直角 的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形.
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考点1 三角形边、角关系 【例1】 (2015·广东)如图,直线a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3的度数是 () A.75° B.55° C.40° D.35°
【名师点拨】 此题考查了平行线的性质,三角形外角与不相邻两 内角的关系,利用相关知识可得结果. 【我的解法】 解:两直线平行,同位角相等,三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角之和,所以,75°=∠2+∠3,所以,∠3=40°,选C. 【题型感悟】 熟记平行线的性质,三角形外角与不相邻两内角的 关系是解题的关键.
40° . 7.(2017·丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是 100° .
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8.(内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形.
解:∵DE∥AC,∴∠1=∠3, ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3, ∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°, ∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.
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2.等腰三角形:定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中 相等的两条边叫做 腰 ,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做 顶角 ,底边与腰的夹角叫做 底角 . 性质:(1)等腰三角形的两底角 相等 (简称“等边对等角”); (2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高 相互重合(简称“三线合一”); (3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上 的高)所在直线是它的对称轴. 判定:(1)有两条边相等的三角形是 等腰三角形 ; (2)有 两个角相等 的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等 边”)
线、角平分线 进行尺规作 图;
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考纲要求
6.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决 一些简单的实际问题.
中考动向
(3)运用等 腰、等边、直 角三角形的性 质和判定进行 有关证明.
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1.三角形:有关线:(1)高:从三角形的一个顶点向对边所在直线作 垂线 ,顶点到垂足之间的线段叫做三角形这一边上的高. (2)中线:连接三角形顶点到对边 中点 的线段叫做三角形这边 上的中线.三角形的三条中线交于一点,这点叫做三角形的重心.三 角形的中线把原三角形分成面积相等的两个三角形. (3)角平分线:三角形一个内角的平分线与对边相交时,这个角的顶 点与交点之间的线段叫做 三角形的角平分线 .三角形的三条角 平分线交于一点,这点叫做三角形的 内心 ,内心到三边的 距 离相等 . (4)三边垂直平分线:三角形的三边的 垂直平分线 交于一点,这 点叫做三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等.
A.50 m B.48 m
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C.45 mD.35 m
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5.(2017·包头)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则 该等腰三角形的底边长为 ( A ) A.2 cm B.4 cmC.6 cm D.8 cm
12/9/2021-2源自-二、填空题6.(2017·成都)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为
3.探索并证明三角形中位线定理.
中考动向
1.题型:选 择题、填 空题和解 答题 2.难度: 中、低档 题 3.分 值:3~7 分
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考纲要求
中考动向
4.理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角 形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等:底 边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌 握等腰三角形的判定定理:有两个底角相等的三