行程几何模型数学题——二元三元容斥法(详解)

第28讲二元三元容斥法
1、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？
解：如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A 圆表示采了樱桃的人数，B 圆表示采了杏
的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640-=(人)，而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：4018715--=(人)．
2、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？
解：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315-68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．
3、某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？
解：如图，用长方形表示参加考试的人数，A 圆表示第一部分对的人数．B 圆
表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213-=(人)．又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有
错的有13人，那么余下的19136-=(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．
4、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？
解：由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据
包含排除法，4226171994=++-++（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0+）
，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：49427-=(人)．5、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的
两部分全对的两部分都有错的只做对第二部分的
只做对第一部分的
面积是多少平方厘米？
解：阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积60310040220
（）(平方厘米)．
=⨯--÷=。