贵州省铜仁市西片区高中教育联盟2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

铜仁市西片区高中教育联盟2017---2018学年度
第二学期期末考试
高二年级数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，若，，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得到，=，故得到=.
故答案为：D.
2. 若复数(其中为虚数单位)在复平面中对应的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】分析：利用复数的出发计算得到，即可得到结论.
详解：
故在复平面中对应的点位于第四象限.
故选D.
点睛：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，是基础题.
3. 若双曲线的焦距为，则实数为( )
A. 2
B. 4
C.
D.
【答案】A
【解析】双曲线的焦距为
故答案为：A.
4. 某公司某件产品的定价与销量之间的统计数据表如下，根据数据，用最小二乘法得出与的线性回归直线方程为，则表格中的值为( )
A. 25
B. 30
C. 40
D. 45
【答案】C
【解析】，所以，得
故选：C．
5. 已知，，，，从以上四个函数中任意取两个相乘得到新函数，那么所得新函数为奇函数的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】两个奇函数相乘为奇函数，两个偶函数相乘为偶函数，一个奇函数一个偶函数相乘得到奇函数.，
，，为奇函数，为偶函数，任意两个相乘得到的函数个数有6种，得到奇函数的个数为3个，故概率为
故答案为：C.
6. 设是周期为4的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数是周期为的奇函数，当时，，
所以，故选D.
7. 某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得到原图是半个圆锥和半个圆柱构成的图形，圆锥的地面半径为2，圆柱底面半径为2，故得到圆锥的体积为，半个圆柱的体积为
该几何体上部分与下部分的体积之比为.
故答案为：C.
8. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知：的为奇函数，排除B；
当时，，当时，，排除A，C，
故选：D
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
9. 已知函数，若，的图象恒在直线的上方，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据函数的解析式，利用的取值范围，结合题意求出的取值范围．
详解：函数函数，时，
又的图象恒在直线的上方，
解得；
∴的取值范围是．
故选：C．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
10. 有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜驿，则猜对者是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】C
【解析】若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.
故答案为：C.
11. 抛物线的焦点为，准线为是上一点，连接并延长交抛物线于点，若，则( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】
设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，
∵|PF|=|PQ|，∴
∴直线PF的斜率为，
∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），
与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）
∴|QF|=d=3+2=5，
故选：C
12. 已知函数，若有且仅有一个整数，使得，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数，若有且仅有一个整数，使得，不等式程只有一个整数解，在同一坐标系中画出图像，可知这个整数解就是3，故得到，解得不等式组解集为. 故答案为：.
点睛：本题中涉及根据函数零点个数求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
二、填空题：每题5分，满分20分.
13. 已知，，，若，则实数______________.
【答案】7.
【解析】根据题意得到-=
故答案为：7.
14. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为______________.
【答案】6.
【解析】根据不等式组画出可行域是一个封闭的三角形区域，目标函数可化简为
截距越大目标函数值越大，故当目标函数过点时，取得最大值，代入得到6.
故答案为：6.
15. 在中，若，则______________.
【答案】.
【解析】由正弦定理可得：，
不妨设，
则.
16. 已知数列满足：，数列的前项和为，则___________. 【答案】.
【解析】由①，得
②，①②得，即，所以数列的通项，所以
故答案为：
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：
（1）已知数列的通项公式为，求前项和：；
（2）已知数列的通项公式为，求前项和：
；
（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1).
(2)．
【解析】试题分析：(Ⅰ)设的公比为，由，，解得，即可求解数列的通项公式；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，可得，利用等比数列的求和公式，即可求解数列的前项和．
试题解析：
(Ⅰ)设的公比为，由，得
，
于是，解得（不符合题意，舍去）
故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，
则…
．
18. 某组织在某市征集志愿者参加志愿活动，现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况，具体数据如图所示.
(1)完成下列列联表，并判断是否有的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关？
(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，再从中抽取2人作为队长，求抽取的2人至
少有一名女生的概率.
参考数据及公式：
.
【答案】(1)列联表见解析；没有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关．
(2).
【解析】试题分析：（1）完善列联表，求出，然后判断是否有的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关；（2）分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，则女生4人，男生3人，分别编号为
从中任取两人的所有基本事件共有21种情况，其中满足两人中至少有一人是女生的基本事件数有18个，从而求得抽取的2人至少有一名女生的概率.
试题解析：
（Ⅰ）
计算，
所以没有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关．
（Ⅱ）用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者，则女生4人，男生3人，分别编号为
从中任取两人的所有基本事件如下：
，，
，共有21种情况，其中满足两人中至少有一人是女生的基本事件数有18个，抽取的2人至少有一名
女生的概率．
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
19. 已知正方形的边长为2，分别以，为一边在空间中作正三角形，，延长到点，使，连接，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析.
(2)1.
【解析】试题分析：（1）证线面垂直，先证线线垂直，做出辅助线，根据长度关系，首先证得，再证得，
，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直；（2）根据条件可得到平面，进而点到平面的距离等于点到平面的距离，取的中点为，连接，平面，为点到平面的距离.
解析：
(1)连接交于点，并连接，则，又∵，
∴，又∵，∴，∴，
∵，∴平面，∵平面，∴，
∵，，∴，∴，
即，∵，∴平面.
(2)由题知，，且，可得四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，∴平面，∵点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，取的中点为，连接，则由(1)可得.
在中，，则，∴，∴平面，即为点到平面
的距离.
在中，，得点到平面的距离为1.
20. 已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若与直线平行的直线交椭圆于，两点，当时，求的面积.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】试题分析：（1）布列方程组求得椭圆的标准方程；（2）直线方程为，．将直线的方程代入椭圆的方程并整理得，利用韦达定理及可得，从而求得
.
试题解析：
（Ⅰ）设椭圆的方程为，
由题意可得解得
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）直线的方程为，
设直线方程为，．
将直线的方程代入椭圆的方程并整理得，
由，得，
，
由得，，
，
，
，
，
得．
又，
到直线的距离．
所以．
21. 已知函数，，其中是自然常数.
(1)判断函数在内零点的个数，并说明理由；
(2)，，使得不等式成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)存在1个零点；理由见解析.
(2).
【解析】分析：（1）在内零点的个数1，求得的导数，判断符号，可得单调性，再由函数零点存在定理，即可得到结论；
（2）由题意可得，即，分别求得在上的单调性，可得最值，解的不等式，即可得到所求范围．
详解：
(1)函数在上的零点的个数为1，理由如下：
因为，所以，
因为，所以，所以函数在上单调递增.
因为，，
根据函数零点存在性定理得函数在上存在1个零点.
(2)因为不等式等价于，
所以，，使得不等式成立，等价于
，即，
当时，，故在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，又，
当时，，，，所以，
故函数在区间上单调递减.
因此，当时，取得最大值，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
点睛：本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查函数零点存在定理的运用，存在性和任意性问题解法，考查转化思想和运算化简能力，属于中档题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；
(Ⅱ)若射线与曲线，分别交于两点，求.
【答案】(1)；.
(2).
【解析】试题分析：（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C1的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C2的极坐标方程；（2）依题意设A（），B（），将代入曲线C1的极坐标方程，求出ρ1=3，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．
解析：
（Ⅰ）由得.
所以曲线的普通方程为.
把，代入，得到，化简得到曲线的极坐标方程为. （Ⅱ）依题意可设,曲线的极坐标方程为.
将代入的极坐标方程得，解得.
将代入的极坐标方程得.
所以.
23. [选修4-5：不等式选讲]
设函数，其中.
(Ⅰ)当时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若时，恒有，求的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【解析】试题分析：（1）当时，，化为，可得或，从而可得不等式
的解集；（2）化简，因为，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，所以.
试题解析：（1）当时，，
所以，所以或，
解集为.
（2），因为，∴时，恒成立，
又时，当时，，∴只需即可，
所以.。