备战高考数学(精讲+精练+精析)专题9.2 圆与点、线、圆

专题2 圆与点、直线、圆的位置关系
【三年高考】
1．【2016高考江苏】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆
22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；
（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r
,求实数t 的取值范围。

【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤≤+ 【解析】
试题分析：（1）求圆的标准方程，关键是确定圆心与半径：根据直线与x 轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径（2）本题实质已知弦长求直线方程，因此应根据垂径定理确定等量关系，求直线方程（3）利用向量加法几何意义建立等量关系AT PQ =，根据圆中弦长PQ 范围建立不等式52PQ ≤⨯，解对应参数取值范围
试题解析：解：圆M 的标准方程为()()2
2
6725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,. （1）由圆心在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()2
2611x y -+-=.
(3)设()()1122,,Q ,.P x y x y
因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以212124
x x t
y y =+-⎧⎨=+⎩ ……①
因为点Q 在圆M 上，所以()()2
2
226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22
114325x t y --+-=.
于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()22
4325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()2
2
6725x y -+-=与圆()()22
4325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点， 所以()()22
55463755,t -≤
+-+-≤+⎡⎤⎣⎦ 解得22212221t -≤≤+.
因此，实数t 的取值范围是2221,2221⎡⎤-+⎣⎦.
考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.
2．【2013江苏，理17】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，
圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
【答案】(1) y ＝3或3x ＋4y －12＝0.；(2) 120,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】
解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，
2|31|1
k k ++＝1，解得k ＝0或34
-
， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.
(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，
所以22223=2x y x y +(-)+，化简得x2＋y2＋2y －3＝0，即x2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1， 即221233a a ≤
+(-)≤.
由5a2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤
125
. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
3．【2016高考山东文数改编】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，
则圆M 与圆N ：
2
2(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 ．
【答案】相交
考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
4．【2016高考新课标Ⅲ文数】已知直线l ：360x y -+=与圆2
2
12x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别 作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________. 【答案】4 【解析】
试题分析：由360x y -+=，得36x y =
-，代入圆的方程，并整理，得23360y y -+=，解得
1223,3y y ==，所以120,3x x ==-，所以221212||()()23AB x y y y =-+-=．又直线l 的倾斜角
为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||
||4cos30AB CD ==︒
．
考点：直线与圆的位置关系．
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． 5．【2016高考新课标1文数】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2
+y 2
-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C
的面积为 . 【答案】4π
考点：直线与圆
【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距
离d 之间的关系：2
2
2
2l r d ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
在求圆的方程时常常用到.
6．【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：22
4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |=_______________. 【答案】6
【解析】圆C 标准方程为2
2
(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，
1a =-，即(4,1)A --，2
222(42)(11)46AB AC r =
-=--+---=.
7.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52
2
=+y x 相切的直线的方程是_______. 【答案】052=++y x 或052=-+y x
【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++=，则有
2
2
00521
c ++=+，解得5c =±，所以所求切线的直
线方程为250x y ++=或250x y +-=．
8.【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()2
2
321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为___________. 【答案】43-
或3
4
-
9.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫
-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（3）332525,,4477k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U ．
【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2
234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴ 11C M AB k k ⋅=-即
13y y
x x
⋅=--，∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2
23953243x y x ⎛⎫⎛⎫
-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心3
2
r =
为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且525,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，525,33F ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，又直线L ：
()4y k x =-过定点()4,0D ，
当直线L 与圆C 相切时，由
22
34023
2
1k
k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=
+得34k =±，又2503255743
DE DF
k k ⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭=-=-
=-，结合上图可知当332525,,447
7k ⎡⎤
⎧⎫∈--
⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点． 10．【2014全国2高考理第16题】设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则
0x 的取值范围是________.
【答案】[1,1]-
【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，
过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM =o
=
2
||12
OM ≤， 解得||2OM ≤
，因为点M （0x ,1），所以2
0||12OM x =+≤，解得011x -≤≤，故0x 的取值范围是
[1,1]-.
11．【2014四川高考理第14题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅
的最大值是 .
【答案】
12．【2014重庆高考理第13题】已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()412
2
=-+-a y x 相交于B
A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________. 【答案】415±
【解析】7由题设圆心到直线20ax y --=的距离为3，2
23,1
a a a +-∴
=+解得：415a =±,所以答
案应填：415±.
13．【2014高考湖北卷理第12题】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等
的四段弧，则22
a b += . 【答案】2
【解析】8依题意，设1l 与单位圆相交于B A ,两点，则∠90=AOB °.如图，当1,1-==b a 时满足题意，所以22
2
=+b a .
14．【2014大纲高考理第15题】直线1l 和2l 是圆2
2
2x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与
2l
的夹角的正切值等于 .
【答案】
43
．
【2017年高考命题预测】
纵观2016各地高考试题，对圆与点、直线、圆的位置关系这部分的考查，主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会与其他圆锥曲线部分结合起来，综合考察．直线和圆是两个基本图形，对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题，体现用代数方法研究几何问题的思想，同时又是研究圆锥曲线的基础，所以对这部分内容的复习要倍加关注．对直线与圆位置关系的考查．一般会涉及弦长、距离的的计算和圆的切线问题和直线与圆位置关系的判定，还可能会考查轨迹问题和与圆有关的最值问题，其中渗透数形结合思想和转化与化归思想的运用．圆与圆位置关系的考查，属于简单题，主要涉及位置关系的判定和长度问题．预测2017年直线与圆的位置关系可能涉及，新课标卷可能会出一道选择题．
【2017年高考考点定位】
高考对圆与直线、圆位置关系的考查有三种主要形式：一是考查直线与圆的位置关系；二是考查圆的切线问题；三是与圆有关的弦长问题；四是考查圆与圆的位置关系；五是考查与圆有关的最值问题；六是考查与圆有关的轨迹问题，注意几何法在解题中的重大作用． 【考点1】点、直线、圆与圆的位置关系 【备考知识梳理】
1．直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：（1）若2
2
B
A C Bb Aa d +++=
，
0<∆⇔⇔>相离r d ；（2）0=∆⇔⇔=相切r d ；（3）0>∆⇔⇔<相交r d ．还可以利用直
线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨
⎧=++++=++0
2
2
F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2
个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切⇔d=r ⇔Δ＝0；相交⇔d<r ⇔Δ>0；相离⇔d>r ⇔Δ<0． 2. 两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，
d O O =21．条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 【规律方法技巧】
1.直线与圆的位置关系问题，既可以用几何判断，也可以用代数判断，通常利用几何判断较为简洁，即圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较．
2.点与圆的位置关系判断，只需将点的坐标代入圆的方程左边，当左边大于右边时，点在圆外；当左边小于右边时，点在园内；当左边等于右边时，点在圆上．
3．圆与圆的位置关系判定，既可以利用圆心距与两圆半径和差比较，也可以利用两圆的公切线条数来判定，两圆相切注意分内切或外切讨论．
4. 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 【考点针对训练】
1.若PQ 是圆2
2
x 9y +=的弦，PQ 的中点是()1,2,则直线PQ 的方程是 ．
【答案】1522
y x =-
+ 【解析】设圆的圆心为O ，PQ 的中点是E ()1,2，
则PQ OE ⊥，所以PQ OE ⊥，2=OE k ，所以2
1
-=PQ k ，所以直线PQ 的方程为)1(212--
=-x y ，整理得1522y x =-+，故应填15
22
y x =-+. 2.已知实数a b c ，，满足2a b c +=，则直线: 0l ax by c +=－恒过定点 ，该直线被圆2
2
9x y +=所截得弦长的取值范围为 . 【答案】11,22⎛⎫-
⎪⎝⎭
；34,6⎡
⎤⎣⎦
【考点2】圆的切线问题 【备考知识梳理】
过切点和圆心的直线垂直于切线，即圆心到直线的距离等于半径 【规律方法技巧】
1.直线与圆相切的判定以及与切线有关的参数问题都可以利用圆心到切线距离等于半径列方程判断或求解；涉及切线长的问题，可以利用勾股定理求．
2.对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．
3. 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． 【考点针对训练】
1. 【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研】在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆
2
2
1x y +=相切于点T ，与圆()()
2
2
3
3x a y -+-=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值
为 ． 【答案】4
【解析】由题意得2213PT =-=，33,:(2),32033
PT k PT y x x y =
=+-+=，又3RS PT ==，所以圆()()
2
2
3
3x a y -+-=圆心到直线PT 距离为2333(
)22
-=，从而
|1|3
22
a -=，因此正数a 的值为4 2.若经过点-3,0P （）
的直线与圆2
2
4230x y x y ++-+=相切，则圆心坐标是 ；半径为 ；切线在y 轴上的截距是 ．
【答案】(2,1)-，2，3-
【考点3】弦长问题 【备考知识梳理】 求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l l ，则222
()2
l
r d =-.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：2
2
2
121212AB|=1|x -x |=1[()4]k k x x x x +++-. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． 【规律方法技巧】
处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 【考点针对训练】
1.若直线30x y m ++=截半圆225y x =-所得的弦长为8，则m = ． 【答案】310-
【解析】由于圆心到直线30x y m ++=的距离为10m
，所以2
22
4510m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解答310m =±，又
当310m =时30x y m ++=与半圆225y x =-没有两个交点，不符合题意，故310m =-．
2.已知圆222
:245250C x y ax ay a +-++-=的圆心在直线1:20l x y ++=上，则a = ；圆C
被直线2:3450l x y +-=截得的弦长为____________. 【答案】2；8.
【考点4】与圆有关的最值问题 【备考知识梳理】
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有： 1斜率型最值问题； 2截距型最值问题； 3
距离型最值问题；
【规律方法技巧】
解决与圆有关的最值问题关键在于能正确认识所给问题的含义，明确几何意义，结合几何图形 数形结合法求解与圆有关的最值问题： (1)形如t ＝
y －b
x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如t ＝(x －a )2
＋(y －b )2
形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 【考点针对训练】
1.已知圆()2
2
14x y ++=的圆心为C ，点P 是直线:540l mx y m --+=上的点，若该圆上存在点Q 使
得30CPQ ∠=o
，则实数m 的取值范围为_________．
【答案】120,
5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
2．圆上的点到直线
的距离的最小值是______________.
【答案】4
【解析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y-25=0的距离是
2555
＝，所以圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是5-1=4．
【考点5】与圆有关的轨迹问题 【备考知识梳理】
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【规律方法技巧】
利用圆的定义或者探讨曲线上点的坐标满足的方程，从而得到动点运动的轨迹为圆，进而利用圆的相关性质解题．
【考点针对训练】
1．已知(4,0),A B -是圆2
2
:(4)4F x y -+=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线BF 于
P ，则动点P 的轨迹方程为
【答案】2
2
115
y x -=
2．已知圆2
2
:(cos )(sin )2(R)C x y ααα-++=∈与直线:cos sin 10(R)l x y βββ--=∈则圆C 的圆
心轨迹方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是______． 【答案】2
2
1x y +=；相交、相切或相离
【解析】因为圆C:()()22
cos sin 2x y αα-++=（R α∈），所以圆C 的圆心的参数方程为cos sin x y α
α
=⎧⎨
=-⎩（α为参数，且R α∈），消去参数α，得：2
2
1x y +=，所以圆C 的圆心轨迹方程是2
2
1x y +=．圆C 的圆心坐标是()cos ,sin αα-，半径是2r =
，圆心C 到直线l 的距离()
2
2
cos cos sin sin 1
cos sin d αβαβββ+-=
+-
()cos 12αβ=--≤，所以当()cos 12αβ--<时，直线l 与圆C 相交，当()cos 12αβ--=时，
直线l 与圆C 相切，当()2cos 12αβ<--≤时，直线l 与圆C 相离，所以答案应填：2
2
1x y +=；相
交、相切或相离．
【两年模拟详解析】
1. 【江苏省清江中学数学模拟试卷】以点(2,1)-为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . 【答案】2
2
25
(2)(1)2x y -++=
【解析】由题意216
52
2
r --=
=
，所以圆的方程为22
25(2)(1)2x y -++=．
2．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆
22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝ ．
【答案】18
【解析】由题意得直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为
222
r =，即
2222|12||12|2(221)(221)18.22a b a b -+-+==⇒+=++-+= 3．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1，圆M ：(x －a )2
＋(y －a ＋4)
2
＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】22
[2,2]22
-
+
【解析】由题意得：2=OP ，因此由两圆有交点得：
2222
21211(4)92222
OM a a a -<<+⇒≤+-≤⇒-
≤≤+
4．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2
＋(y ＋a －3)2
＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ． 【答案】3
【解析】由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即12MN ON ON ≤-⇒≥，又1ON OM ≥-，所以3OM ≥，22(3)330
a a a a +-≥⇒≥≤或（舍），因此a 的最小值为3 5．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】[010]，
【解析】因为22(1)(2)1x y ++-=，所以由题意得：
|342|
1|5|5010.5
m m m -+⨯-≤⇒-≤⇒≤≤
6．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知经过点3
(1,)2
P 的两个圆12,C C 都与直线11
:2
l y x =
，2:2l y x =相切，则这两圆的圆心距12C C 等于 . 【答案】
9
5
4
7．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，圆
()221:12C x y -+=，圆()()22
21:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条
切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .
【答案】1,323⎡⎤+⎣⎦
【解析】设()P x y ，，设PA ，PB 的夹角为2θ．
△ABP 的面积S=22
11
12sin 212PA PA PA PC PC θ=⋅
⋅=． 由322122PA PC PA ==+，解得2PA =， 所以12PC =，所以点P 在圆22(1)4x y -+=上．
所以222(1)()2m m m m --+-+≤≤， 解得1323m +≤≤．
8. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r
（λ为常
数），且点C 总不在以点B 为圆心，1
2
为半径的圆内，则负数λ的最大值是 . 【答案】34
-
【解析】设),(),0,1(),0,1(y x C B A - ，则由CA CB λ⋅=u u u r u u u r 得λλ+=+⇒=+-+1)1)(1(2
22y x y x x ，因此
1211121
1,01,0≥-+≤++≥+<λλλλ或，解得431-≤≤-λ，即负数λ的最大值是34
-．
9．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】
如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB ．问：
A ，
B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？
道路2
道路1
A
B
C
【答案】当A ，B 两点离道路的交点都为2－2 (百米)时，小道AB 最短． 【解析】如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ．
设A (a ，0)，B (0，b )(0＜a ＜1，0＜b ＜1)， 则直线AB 方程为
1x y
a b
+=，即bx ＋ay －ab ＝0． 因为AB 与圆C 相切，所以2
2
||1b a ab b a
+-=+．
化简得 ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2．
因此22222()2()4()4(2)AB a b a b ab a b a b a b =+=+-=+-++=+- 因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b )． 又ab ＝2(a ＋b )－2≤2
(
)2
a b +， 解得0＜a ＋b ≤4－22，或a ＋b ≥4＋22． 因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－22， 所以AB ＝2－(a ＋b ) ≥2－(4－22)＝22－2， 当且仅当a ＝b ＝2-2时取等号，
所以AB 最小值为22－2，此时a ＝b ＝2-2．
答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2 (百米)时，小道AB 最短．
10．【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.
（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于
2
14
m （木条宽度忽略不计）
，求四根木条总长的取值范围； （2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.
【答案】（1）42215x <<（2）
2
74
m 【解析】（1）设一根木条长为xcm ，则正方形的边长为2
22142x x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
因为14ABCD S >
四边形，所以2
144x ->，即152
x < 又因为四根木条将圆分成9个区域，所以2x >
所以42215x <<;
（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m - 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈
()()
2
2
2243234114436242044
ABCD
a a S a a a a a a -=-⋅-=-⋅--=-++-矩形 设()4
3
2
62420f a a a a a =-++-，()()()()'
3241822421234f a a a a a a a =-++=+--
令()'
0f
a =，得3
2
a =
，或1a =-（舍去），或4a =（舍去） 列表如下：
a
31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
32
3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
()'f a + 0 -
()f a
Z
极大值
]
所以当
3
2
a=时，()max349
216
f x f
⎛⎫
=
=
⎪
⎝⎭
，即
max
7
4
S=
（方法二）设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm
由条件，2+26
a b=，即3
a b
+=
因为()
,0,2
a b∈，所以()
30,2
b a
=-∈，从而()
,1,2
a b∈
由于
22
21,21
44
b a
AB BD
=-=-，
22
22
41144
44
ABCD
b a
S b a
=-⋅-=-⋅-
矩形
因为()
()2
22
22
8
87
2
44
224
a b
a b
b a
+
-
-+
-⋅-≤≤=
当且仅当()
3
1,2
2
a b
==∈时，
7
4
ABCD
S=
矩形
答：窗口ABCD面积的最大值为
2
7
4
m
10．【江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】（本小题满分16分）
如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m.在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高位10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.
(1)若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为X轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF 的方程；
(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即APF
∠）的正切值为
39
41
,求该圆形标志物的半径.
【答案】（1）2
2
225
)
25
(
:=
-
+y
x
C，0
200
3
4=
+
-y
x（2）40
=
r
【解析】（1）圆2
2225)25(:=-+y x C . 直线PB 方程：050=+-y x .
设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，
因为直线PF 与圆C 相切，所以
25150252
=++k k ，解得3
4
=
k . 所以直线PF 方程：)50(3
4
+=
x y ，即020034=+-y x . 设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆2
22)(:r r y x C =-+.
因为39
4111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940
=k .
所以直线PF 方程：)50(9
40
+=
x y ，即02000940=+-y x . 因为直线PF 与圆C 相切，所以
r r =+-81
160020009，
化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r . 故40=r .
11．【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知22
:1O x y +=e ．若直线2y k x =
+上总存在点P ，
使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为____． 【答案】1
【解析】因为过点P 的O e 的两条切线互相垂直，所以点P 到圆心O 的距离为22r =，又因为直线
2y k x =+上总存在这样的点P ，所以圆心O 到直线2y k x =+的距离为2，则
22,11
k k ==+．
12．【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】在平面直角坐标系xOy 中，已知(2,2),(5,6)P C ,若在以点C 为圆心，r 为半径的圆上存在不同的两点,A B ,使得20PA AB -=uu r uu u r r
，则r 的取值范围为 ．
【答案】[1,5)
【解析】设点C 到直线AB 距离为,d 则[0,).d r ∈由题意得5
2
PM AM =,其中M 为AB 中点，因此
22225PC d r d -=-，222
224241[1,1)[1,25)[1,5)2525r d r r r =+∈+⇒∈⇒∈
13. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
22420x y x y +-+=．若直线3y x b =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b 的取
值范围是__________. 【答案】173b
-＃
14．【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．
【答案】[－3
4
，＋∞)
【解析】由圆的性质知只要点M 为弦AB 中点时，圆M 和圆C 有公共点，则当M 是弦AB 上运动时，圆
M 与圆C 一定有公共点，故由题意有
213
321
k k -+≥-+，3
4k ≥-.
15．【徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
,1)2()(:22=+-+-a y a x C 点),2,0(A 若圆C 上存在点,M 满足,1022=+MO MA 则实数a 的取值范围
是 . 【答案】[0,3]
【解析】满足22
10MA MO +=条件的点M 的轨迹方程为2
2
(1)4x y +-=，又点M 在圆C 上，所以只要
两圆有公共点即可，由2222
(21)(21)(21)a a -≤+--≤+解之得03a ≤≤.
16．【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】若直线30x y m ++=截半圆225y x =-所得的弦长为8,则m = ． 【答案】310-
17．【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】动直线(2)y k x =-与曲线21y x =-相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积取得最大值时，k 的值为 . 【答案】3
3
-
【解析】易得直线(2)y k x =-过定点C (2,0)，曲线21y x =-表示圆22
1x y +=的上半圆，
1sin 2AOB S OA OB AOB ∆=⋅⋅，当2
AOB π
∠=时，AOB ∆的面积取得最大值，如图作OH AB ⊥，在
Rt AOB ∆中，222AB AO BO =+=，则2
2
OH =
， 又在Rt OHC ∆中，2OC =，所以6
OCH π
∠=
，则53tan()tan
6
63
k π
ππ=-
==- 故答案为3
3
-
18．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:2
2
=+++b y x C 点
P 是圆C 上任意一点，若
PA
PB
为定值，则b =_______. 【答案】0
19．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直
线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ． 【答案】x +y －3＝0
【解析】设圆心为(,0)M a (0)a >，如图，作MN l ⊥，垂足为N ，由于直线l 的倾斜角为
4
π
，所以2MN CN ==，则
122
a -=，解得3a =，因此所求直线方程为(3)y x =--，即30x y +-=.
l
N C
M x
y
O
20．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为'
(1,1)P b a +-，则圆C ：2
2
620x y x y +--=关于直线l 对称
的圆'C 的方程为 ；圆C 与圆'C 的公共弦的长度为 ． 【答案】2
2
(2)(2)10-+-=x y ；38．
【解析】因为圆C 的方程为2
2
620x y x y +--=，所以2
2
(3)(1)10x y -+-=，其圆心为(3,1)，半径为
10，又因为点(,)P a b 关于直线l 的对称点为'
(1,1)P b a +-，所以令3,1a b ==可得，其关于直线l 的对
称点为(2,2)，所以圆C ：2
2
620x y x y +--=关于直线l 对称的圆'C 的圆心为(2,2)，半径为10，即圆'C ：2
2
(2)(2)10-+-=x y ；圆C 与圆'C 的圆心的距离为22(23)(21)2d =-+-=，所以公共弦的长度为2222(10)()382
-=，故应填22
(2)(2)10-+-=x y ；38．
拓展试题以及解析
1. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(2)5x y -+=上的任意一点，点Q (2,2)a a +，其中
R ∈a ，则线段PQ 长度的最小值为__________.
【答案】
55
【入选理由】本题考查直线与圆的位置关系、最值等基础知识，意在考查学生的分析问题的能力和计算能力．本题将PQ 长度的最小值转化为圆上一点到直线的最小值，出题很妙，故选此题.
2. 直线23ax by +=与圆22
1x y +=相交于A B 、(其中a b 、为实数),且3
AOB π
∠=
(O 是坐标原
点),则点(,)P a b 与点(1,0)之间距离的最大值为________． 【答案】2
【解析】由已知得AOB ∆是等边三角形，则原点O 到直线23ax by +=的距离为
3
2
，故22
332
2a b =
+，化简得22
24a b +=（22a -≤≤），点(,)P a b 与点(1,0)之间距离222(1)23d a b a a =-+=--+2≤，故最大值为2．
【入选理由】本题考查了本题考查直线和圆的位置关系、两点之间距离公式等基础知识，意在考查数形结合思想的运用和函数与方程思想和基本运算能力．此题利用圆的性质，得AOB ∆是等边三角形，利用点到
直线的距离，得到22
24a b +=（22a -≤≤
），从而将点(,)P a b 与点(1,0)之间距离转化为二次函数，
这是本题的一个亮点，故选此题.
3. 已知不等式组220,
22,22
x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆22
1x y +=的两条
切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅u u u r u u u r
的值为____________.
【答案】
32
x
y
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–1–2–3–4
1
2
34O
P
A
B
【入选理由】本题考查本题考查线性规划，圆的性质，点到直线距离，解直角三角形，平面向量数量积等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力．本题是一个综合题，这体现高考小题综合化的理念，故选此题.。