2016届高考数学一轮温习 题组层级快练17含解析

题组层级快练(十七)
(第一次作业)
1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
答案C
解析∵f(x)＝x4－2x2＋3，
由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝0或x＝1或x＝－1.
又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
2．(2021·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，以下结论中错误的选项是( )
A．∃x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减
D．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝0
答案C
解析∵x0是f(x)的极小值点，那么y＝f(x)的图像大致如右图所示，那么在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，那么函数y ＝xf′(x)的图像可能是( )
答案C
解析由f(x)在x＝－2处取得极小值可知，
当x<－2时，f′(x)<0，那么xf′(x)>0；
当－2<x<0时，f′(x)>0，那么xf′(x)<0；
当x>0时，xf′(x)>0.
4．假设函数y ＝ax 3＋bx 2
取得极大值和极小值时的x 的值别离为0和13，那么( )
A ．a －2b ＝0
B ．2a －b ＝0
C ．2a ＋b ＝0
D ．a ＋2b ＝0
答案 D
解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2
＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.
5．假设函数f (x )＝x 3
－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，那么( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜1
2
答案 A
解析 f (x )在(0,1)内有极小值，那么f ′(x )＝3x 2
－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0. ∴b ＞′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.
6．已知f (x )＝2x 3
－6x 2
＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A ．－37
B ．－29
C ．－5
D ．以上都不对
答案 A
解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，
∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.
7．假设函数f (x )＝ax 3
－3x ＋1关于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，那么实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4]
答案 C
解析 f ′(x )＝3ax 2
－3，
当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2
－3＝3a (x ＋
1
a
)(x －
1
a
)，f (x )在[－1,1]上为减函数，
f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；
当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f (
1
a
)＝－
2
a
＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4.
8．假设函数f (x )＝e －x
·x ，那么( ) A ．仅有极小值
12e
B ．仅有极大值
12e
C ．有极小值0，极大值12e
D ．以上皆不正确
答案 B
解析 f ′(x )＝－e －x
·x ＋12x
·e －x ＝e －x
(－x ＋
1
2x )＝e －x
·1－2x 2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝1
2
.
当x >12时，f ′(x )<0；当x <1
2时，f ′(x )>0.
∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e
·
12＝1
2e
. 9．假设y ＝a ln x ＋bx 2
＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，那么a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －1
6
解析 y ′＝a x
＋2bx ＋1.
由已知⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋2
b ＋1＝0，a
2
＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2
3，b ＝－1
6.
10．假设f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋a 2
在x ＝1处有极值10，那么a ＋b ＝________. 答案 －7
解析 由x ＝1时，f (x )有极值10知，f (1)＝10，f ′(1)＝0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋a ＋b ＋a 2
＝10，
3＋2a ＋b ＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝－11或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝3.
当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3
＋4x 2
－11x ＋16， 得f ′(x )＝3x 2
＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)．
当x ∈(－11
3，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故当x ＝1时，f (x )为极小值．
当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2
≥0，即x ＝1时，不取极值，a ＝－3，b ＝3应舍去．因此a ＋b ＝－7.
11．假设f (x )＝x (x －c )2
在x ＝2处有极大值，那么常数c 的值为________． 答案 6
解析 f ′(x )＝3x 2
－4cx ＋c 2， ∵f (x )在x ＝2处有极大值，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′2＝0，f ′x <0 x >2，f ′x >0 x <2.
解得c ＝6.
12．(2021·保定调研卷)设函数f (x )＝x ＋ax 2
＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.
(1)求a ，b 的值；
(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在概念域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b
x
(x >0)，
又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
f 1＝0，f ′1＝2，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋a ＝0，
1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3.
(2)由(1)知，f (x )＝x －x 2
＋3ln x ，其概念域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2
＋3ln x ，x >0. 则g ′(x )＝－1－2x ＋3
x
＝－
x －1
2x ＋3
x
.
当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.
因此g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 13．(2021·郑州一模)已知函数f (x )＝x 3
－ax 2
－3x .
(1)假设函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)假设x ＝－1
3
是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值；
(3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，假设函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围． 答案 (1)a ≤0 (2)－6 (3)b >－7且b ≠－3 解析 (1)f ′(x )＝3x 2
－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2
－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 那么必有a
3≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.
(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋2
3a －3＝0，∴a ＝4.
∴f (x )＝x 3
－4x 2
－3x .
令f ′(x )＝3x 2
－8x －3＝0，得x 1＝－13
，x 2＝3.
那么当x 转变时，f ′(x )与f (x )转变情形如下表：
x 1 (1,3) 3 (3,4) 4 f ′(x )
－
0 ＋
f (x )
－6
－18
－12
∴f (x )在[1,4]上的最大值是f (1)＝－6.
(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根． 即方程x 3
－4x 2
－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，
∴只需知足方程x 2
－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ＝16＋43＋b >0，
－3－b ≠0.∴b >－7且b ≠－3.
故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3. 14．设f (x )＝e x
1＋ax 2，其中a 为正实数．
(1)当a ＝4
3
时，求f (x )的极值点；
(2)假设f (x )为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围． 答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝1
2 (2)(0,1]
解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x
·1＋ax 2
－2ax
1＋ax
22.
(1)当a ＝43时，假设f ′(x )＝0，那么4x 2
－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.
又当x 转变时，f ′(x )和f (x )的转变情形如下表：
x (－∞，1
2
)
12 (12，32) 32 (3
2
，＋∞) f ′(x ) ＋
0 －
0 ＋
f (x )
极大值
极小值
∴x 1＝2是极小值点，x 2＝2
是极大值点．
(2)假设f (x )为R 上的单调函数，那么f ′(x )在R 上不变号．结合(1)与条件a >0，知ax 2
－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2
－4a ＝4a (a －1)≤0，得0<a ≤1.
即实数a 的取值范围是(0,1]．
15．(2021·福建)已知函数f (x )＝e x
－ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.
(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x
.
答案(1)a＝2，极小值为f(ln2)＝2－ln4 (2)略解析(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.
又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
因此f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
因此当x＝ln2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，
f(x)无极大值．
(2)令g(x)＝e x－x2，那么g′(x)＝e x－2x，
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＞0，
故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝1＞0，
因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x.。