高中学科模拟考试试卷080336

广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高二年级
理科数学试卷
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x x B x y x =--≤==-，则A
B =( )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．[1,2)-
D ．(1,2)-
2．复数2(2)i z i
-=（i 为虚数单位），则z =（ ）
A ．5
B ．5
C ．25
D ．41 3. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3737S S +=，则31119a a +=（ ） A ．47 B ．73 C ．37 D ．74 4. 若函数2
()4sin sin (
)cos 2(0)4
2
x
f x x x π
ωωωω=⋅+
+>在[－
2
π，23π]上是增
函数，则ω的取值范围是（ ） A ．（0，1] B ．（0，
34] C ．[1，＋∞） D ．[3
4
，＋∞） 5. 已知点12,F F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲
线交于,M N 两点，若110MF NF ⋅>，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(2,21)+ B ．(1,21)+ C ．(1,3) D ．(3,)+∞
6. 棱长都相等的三棱锥P ABC -，平面α经过点P 且与平面ABC 平行，平面β经过BC 且与棱PA 平行，
α平面PBC m =，n αβ=，则（ ）
A ．m n ⊥
B ．,m n 成0
60角 C ．//m n D ．,m n 成0
30角
7. 若实数x 、y 满足240
00
x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则21y z x +=-的取值范围为（ ）
A ．2(,4][,)3-∞-+∞
B ．2(,2][,)3-∞-+∞
C ．2[2,]3-
D ．2[4,]3
- 8. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的 不同分派方法种数为（ ）
A ．150
B ．180
C ．200
D ．280
9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的 集合是（ ） A ．{1,2,3,4,5} B ．{1,2,3,4,5,6} C ．{2,3,4,5} D ．{2,3,4,5,6} 10. 过点(0,2)P 可以作三条直线与函数32
1()132
a y f x x x ==-+相切，则实数a 的 取值范围为（ ）
A ．3(,23)-∞
B ．3(23,)+∞
C ．33(23,23)-
D ．3(0,23)
11. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
e =，右焦点为(0)F c ，，
函数()c
f x ax b x
=-
+的两个零点分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，满足（ ） A ．必在圆2
2
2x y +=上 B ．必在圆22
2x y +=外 C ．必在圆2
2
2x y +=内
D ．以上三种情形都有可能
12. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．133＋3π
B ．5＋4
π
C ．5＋3π
D ．133＋2
π
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).
13．若向量(cos ,sin )θθ=a ，(0,1)=-b ，则||-a b 的最大值为 ．
14. 在9
1
()x x x
-的展开式中，x 的系数为 ．（用数字填写答案）
15. 在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg n n a T =，1n ≥，则数列n a 的通项公式为
16. 已知三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 内的射影为点H ，侧棱PA PB PC ==，点O 为三棱锥
P ABC -的外接球O 的球心，8AB =，6AC =，已知1
13
AO AB AC HP λμ=++
+，且1λμ+=，
则球O 的表面积为___________．
三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
17．（本小题满分12分）
如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，且::2:3:6BD DC AD = （1）求BAC ∠的大小；
（2）若E 在AC 上，且3AC AE =。

已知ABC ∆的面积为15，
求BE 的长。

18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，其对角线
2,2AC BD ==，AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，1,2AE CF ==.
（1）求二面角B AF D --的大小；
（2）在答题卡的图中画出四棱锥F ABCD -与四棱锥E ABCD -的公共部分，并计算此公共部分的体积.
19. （本题满分12分）
某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每
天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼
的时间（分钟）
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均课外课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过0.01的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
合计 男 女
20
110
合计
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望和方差． 参考公式：()
()()()()
2
2
=
n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中.n a b c d =+++ 参考数据：
20．（本小题满分12分）
()20P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
抛物线21:2(0)C y px p =>，圆22
2:(1)1C x y -+=，抛物线1C 上只有顶点在圆2C 上，其他点均在
圆2C 的外面。

（1）求p 的取值范围；
（2）过抛物线1C 上一定点M 000(,)(0)x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，当MA 与
MB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB 的斜率是非零常数。

21.(本小题满分12分)
已知函数2
1()1x
x f x e x
-=
+， （1）求()f x 的单调区间;
（2）证明:1212()()()f x f x x x =≠时,120x x +<
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，正方形ABCD 边长为2，以A 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结BF 并延长交CD 于点E . （1）求证：E 为CD 的中点； （2）求FB EF ⋅的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy 中，曲线1)1(:2
2
=+-y x C .直线l 经过点)0,(m P ，且倾斜角为6
π
.以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，且1=⋅PB PA ，求实数m 的值.
广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高二年级
D
理科数学试卷答案
一．选择题 1-5 CADBB 6-10 CAACB 11-12 CD
二．填空题 13. 2 14.-84 15. *
2,n a n n N =+∈ 16. 150π
17. （1）
1tan 3BAD ∠=
，1
tan 2
CAD ∠=， 则11
32tan tan()111132
BAC BAD CAD +∠=∠+∠=
=-⨯， 又(0,)BAC π∠∈，故4
BAC π
∠=
.
（2）设2(0)BD t t =>，则3DC t =，6AD t =，由已知得2
1515t =，则1t =，
故2BD =，3DC =，6AD =，1
53
AE AC =
=，210AB =， 在ABE ∆中，由余弦定理得2
2
2
2cos 25BE AB AE AB AE A =+-⋅⋅∠=，5BE ∴=.
18. 解：（1）法1：连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG AF ⊥，
G 为垂足。

连接BG 、DG 。

CF ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，BD CF ⊥
BD AC ⊥，BD CF ⊥，AC CF C =，∴BD ACF ⊥平面，
而AF ACF ⊂平面，故BD AF ⊥。

AF BD AF OG
AF BGD BD OG O ⊥⎧⎪
⊥⇒⊥⎨⎪=⎩
平面， 所以,BG AF DG AF ⊥⊥，BGD ∠为二面角B AF D --的平面角。

由FC AC ⊥， 2FC AC ==，得4
FAC π
∠=
，2
2
OG =
由2,2OB OG OB OD ⊥==
，得22BGD BGO π∠=∠=
所以二面角B AF D --为直二面角。

法2：以A 为坐标原点，BD 、AC 、AE 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则
22(0,1,0),(,0,0),(0,1,2),(,0,0)22
A B F D --
设平面ABF 的法向量1(,,)n x y z =，
则由1100n AB n AF ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩得2
02220
x y y z ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩
， 令1z =，得21x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，1(2,1,1)n =--
同理，可求得平面ADF 的法向量2(2,1,1)n =-。

由120n n ⋅=知，平面ABF 与平面ADF 垂直，二面角B AF D --的大小等于2
π。

（2）连,,EB EC ED ，设直线AF
CE H =，则公共部分为四棱锥H ABCD -。

过H 作HP ABCD ⊥平面，P 为垂足。

因为EA ABCD ⊥平面，FC ABCD ⊥平面，
所以平面ACFE ⊥平面ABCD ，从而,.P AC HP AC ∈⊥
由
1,HP HP AP PC CF AE AC AC +=+=得2
3
HP =。

又因为1
2,2
ABCD S AC BD =⋅=菱形
故四棱锥H ABCD -的体积122
.39
ABCD V S HP =⋅=菱形 19.解答：（Ⅰ）
()2
2
20060203090200
=
6.060 6.635,1505090110
33
K ⨯⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断 “课外体育达标”与性别有关． （Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，
1(3,),
4
X
B ∴
1313()3,
()34444
9
16
E X D X ∴=⨯==⨯
⨯=
．
课外体育不达标 课外体育达标
合计 男 60
30 90 女 90 20 110 合计
150
50
200
20.解：（1）由已知有1(1,0)C ，设点D (,)x y 为抛物线1C
上任意一点，则
10)DC x ==≥
令2
()2(1)1,[0,)f x x p x x =--+∈+∞，即当且仅当0x =时，()f x 有最小值1， 若01p <<，则当1x p =-取到最小值，令10p -=，则1p =，矛盾； 若1p ≥，则当0x =取到最小值1，符合要求， 综上1p ≥
（2）设直线MA 的斜率为k ，直线MB 的斜率为k -，0k ≠，
直线MA 的方程为00()y y k x x -=-，将22y x p
=代入整理得到
2002220ky py py pkx -+-=，则02A p y y k +=
，那么02A p y y k =-， 又00()A A y y k x x -=-，整理得到00222A y
p x x k k
=-+，将其中的k 换成k -，得到
00222B y p x x k k =++，02B p y y k
=--
那么直线AB 的斜率00000
00
2222()
2222()B A AB B A p p y y y y p k k K y y p p x x y x x k k k k -----===--++--+ 21.解: (1) .)
123)12)1()1)11()('2
22
222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆
单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.
所以,）上单调递减，上单调递增；在，
在（∞+∈∞=0[]0-)(x x f y . (2)由(1)知,只需要证明:当0x >时()()f x f x <-即可.
]1)1[(11111)()(22
22x e x x
e e x x e x x x
f x f x
x x x ---+=++-+-=----. 1)21()('0,1)1()(22--=⇒>---=x x e x x g x x e x x g 令.
,04)21()('1)21()(222<-=-=⇒--=x x x xe e x x h e x x h 令
()(0,),()(0)0y h x h x h ∴=+∞∴<=在上递减； ()(0,),()(0)0y g x g x g ∴=+∞∴<=在上递减
22
[(1)1](0,)00.1x x
e y x e x x y x
-∴=---+∞==+在上递减，而且当时 )()(0)()(x f x f x f x f -<⇒<--⇒。

.0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时，且所以，当
22. 解：（Ⅰ）由题可知BD 是以为A 圆心，DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形， ∴ED 为圆A 的切线，依据切割线定理得2ED EF EB =⋅ ∵圆O 以BC 为直径，∴EC 是圆O 的切线，
依据切割线定理得2EC EF EB =⋅，故EC ED =. ∴E 为CD 的中点. （Ⅱ）连结CF ，∵BC 为圆O 的直径，∴CF BF ⊥ 由1122BCE S BC CE BE CF ∆=
⨯=⨯，得1225
55
CF ⨯==
又在Rt BCE ∆中，由射影定理得2
4
.5
EF FB CF ⋅==
23．解：(1)C 曲线的普通方程为:2222(1)1,2,x y x y x -+=+=即即2
2cos ρρθ=,
:2cos C ρθ=即曲线的极坐标方程为. 32().12
x m t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线的参数方程为为参数 (2)12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入2
2
2,x y x +=中
22(33)20,t m t m m +-+-=得2122t t m m =-所以,
2|2|1,1,1212m m m -==+-由题意得得或。