2018届高考数学黄金考点精析精训考点02命题及其关系充分条件与必要条件文

考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
【考点剖析】
1.最新考试说明：
（1）了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系．
（2）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.命题方向预测：
（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点.
(2)题型主要以选择题、填空题的形式出现．
（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识. 3.课本结论总结： （1）命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题.（2）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系
②四种命题的真假关系
逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系. (3)充分条件与必要条件
①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件. ②若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件 4.名师二级结论：
(1) 常见结论的否定形式
(2)充要条件判定方法
①定义法：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.
②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不
必要条件；若B
A ，则p 是q 必要不充分条件；若A=
B 则，p 是 q 充要条件。

对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法.
③利用原命题与逆命题的真假判断 若原命题为“若p 则q ”，则有如下结论：
（1）若原命题为真逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件； （2）若原命题为假逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件； （3）若原命题与逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；
（4）若原命题与逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件 5.课本经典习题：
(1)新课标A 版第8 页习题1.1A 组，第2题
【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定，特别是都是的否定是一个难点，也是一个常考点.
(2)新课标A 版第12页习题1.2A 组第3题
【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法，具有代表性. 6.考点交汇展示：
结论
是 都
是 大
于 小
于 至少
一个
至多一个
至少n 个 至多有n
个
对所有
x ，成
立
p
或
q p
且
q 对任何
x ，不
成立 否定 不是 不都是 不大
于 不小
于 一个也没
有
至少两个 至多有（1n -）个
至少有（1n +）
个
存在某
x ，不
成立
p
⌝且
q ⌝ p
⌝或
q ⌝ 存在某
x ，成
立
(1)与集合交汇
例1设A ，B 是两个集合，则“A
B A =”是“A B ⊆”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】C.
【解析】由题意得，A
B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，
选C. (2)与不等式交汇
例2【2017天津，文2】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B
（3）与函数交汇
例3【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-
<”是“1
sin 2
θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-
<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但1
0,sin 2
θθ=<，不满足 ππ
||1212
θ-
<，所以是充分不必要条件，选A. （4）与平面向量结合
例4设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】由b c =得，0b c -=，得()
0a b c ⋅-=；反之不成立，故()
0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件． （5）与复数交汇
例5已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】(a +bi )2
＝a 2
－b 2
＋2abi ＝2i ，于是a 2
－b 2
＝0，2ab ＝2解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1 ,故选A .
（6）与立体几何交汇
例6【2016高考山东卷】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是 “平面α和平面β相交”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】A
(7)与数列交汇
例7 【2016高考天津卷】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，
22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. (8)与平面解析几何交汇
例8【浙江省温州市2017届高三8月模拟】直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：
(2)10m x my -+-=，则“1m =”是“12l l ⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A.
【解析】12l l ⊥⇔(2)00m m m m -+=⇒=或1m =，故是充分不必要条件，故选A.
【考点分类】
热点一 命题及其关系
1.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】B
【解析】设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以2212z z a b ==
+，故原命题为真；
逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B .
2.【2017北京卷】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）
【方法规律】
1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。

2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
3. 在书写命题的四种形式时，首先要将命题转化成“若p ，则q ”的形式，然后严格按定义书写，注意正确应用常见词语的否定.
4.在判断四种形式的命题真假时，先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假． 【解题技巧】
1.当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换．
2.在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假．
3.在书写否命题题与您否命题时，要特别注意条件的否定和结论的否定即为条件的反面和结论的反面. 【易错点睛】
1.区分否命题与命题：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
2.特别要注意含有逻辑连结词的否定形式.
例 写出命题“若22
0x y +=，则x ，y 全为0”的否命题. 【错解】若220x y +=，则x ，y 全不为0.
【错因分析】①将命题否定与否命题混淆；②命题结论否定错误, “x ，y 全为0”的否定应为“x ，y 不全为0”，而不是“x ，y 全为0”.
【预防措施】①要正确区分命题的否定与否命题：写一个命题的否命题，既要否定条件又要否定结论，只否定结论，得到的命题是命题的否定；②对条件和结论的否定要正确，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，条件和结论的否定就是分别找条件和结论的对立面，抓住这一点就可以避免类似的错误. 【正解】若22
0x y +≠，则x ，y 不全为0. 热点二 充分条件与必要条件
1.“1x >”是“12
log (2)0x +<”的（ ）
A 、充要条件
B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】12
log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B .
2直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为1
2
”的（ ）
.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离2
d =
.所以
11
22
OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积
为
1
2
.所以不要性不成立.故选A. 3.【2016高考天津文数】设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ） （A ）充要条件
（B ）充分而不必要条件
（C ）必要而不充分条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C 4.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）
.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
【答案】D.
【解析】当a 1<0，q >1时，数列{a n }递减；当a 1<0，数列{a n }递增时，0<q <1.故选D. 【方法规律】
1.在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个论断是结论，再从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p ，结合定义即可做出判断.
2.充分条件、必要条件的三种判断方法，要注意灵活应用.利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而命题易于求解．对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断． 【解题技巧】
1.在进行充要条件判断时，在明确条件、结论的基础上，将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系是解决问题的关键．
2.在利用集合法进行充要条件判断时，常借助数轴直观显示两个集合的关系，从而使问题易于求解.
3.在利用命题法判定充要条件时，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题． 【易错点睛】
在判断充要条件时，因条件与结论分不清或因考虑不全面导致致错误.
例 已知p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为钝角”是q ：“a b •＜0”的 条件. 【错解】若向量a 与向量b 的夹角θ为钝角，则cos ||||
a b
a b θ•=＜0，即a b •＜0，故p 是q 的充要条件.
【错因分析】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断，而上面之判定了一个方向就下结论，忽视了对“a b •＜0”成立时能否导出“向量a 与向量b 的夹角为钝角”的判断. 【防范措施】判断充要条件时要注意两点：首项要分清哪个是条件p ，哪个是条件q ；其次要从两个方向进行判断，即条件p 能否导出结论q 与结论q 能否导出条件p . 【正解】若向量a 与向量b 的夹角θ为钝角，则cos ||||
a b
a b θ•=
＜0，即a b •＜0，即p ⇒q ；
当a b •＜0，即cos ||||
a b
a b θ•=
＜0，因为0θπ≤≤，所以2πθπ<≤，故向量a 与向量b 的
夹角θ为钝角或平角，即q
p ，故p 是q 的充分不必要条件.
【热点预测】
1.【2016高考浙江文数】已知函数f （x ）=x 2
+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
2.【2018届浙江省温州市9月】已知，
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】因为当时，
不成立；当
时，
不成立，所以
“
”是“
”的既不充分也不必要条件，故选D.
3.【2017四川成都】已知数列{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】若{}n a 是递增数列一定有1n n a a +<，12a a ∴<成立，当122,2a a =-=时，满足
12a a <，而{}n a 不是递增数列，所以“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”必要不充分
条件，故选C.
4.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初】若,a b R ∈，使4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. 4a b +≥
B. 4a ≥
C. 2a ≥且2b ≥
D. 4b <- 【答案】D
【解析】A 中2+24≥，不满足4a b +> ；C 中2222≥≥，
，不满足4a b +> ；B 中
440a b =≥=，，不满足4a b +> ；D 中由4b <-可得4a b +>，但由4a b +>得
不到4b <-，如1,5a b ==．选D.
5.以下四个命题中，真命题的个数为 ( ) ①集合{}4321,,,a a a a 的真子集的个数为15；
②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；
③设C z z ∈21,，若02
221=+z z ，则01=z 且02=z ；
④设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n S 是等差数列，则{}n a 一定是常数列． (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B
【解析】对于①，集合{}4321,,,a a a a 的真子集的个数为24
-1=15，∴①对；
对于②，平面内两条直线的夹角不大于直角，而方向向量的夹角可以为钝角，故②错； 对于③，∵12
+i 2
=0但1与i 都不为0，故③错；
对于④，若{}n S 是等差数列，可设S n =S 1+(n -1)d ，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n -S n -1= d ， 当且仅当S 1=d 时{}n a 是常数列，故④错. 6.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】因为0)1ln(<+x ，所以ln(1)ln1x +<，即10x -<<，因而“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的必要而不充分条件
7.原命题p ：“设2
,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞2bc ”以及它的逆命题，否命题、逆否
命题中，真命题共有（ ）个．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 【答案】C
8.“5a =”是“直线210ax y --=与直线520x y c -+=平行”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当5a =时，直线210ax y --=与直线520x y c -+=可能平行或重合；若直线210ax y --=与直线520x y c -+=平行，则5a =故选C
9.已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 （ ）
A. ),2[+∞
B. ),2(+∞
C. ),1[+∞
D. ]1,(--∞ 【答案】B
【解析】由311x <+得，321011
x x x --=<++，即(2)(1)0x x -+>，解得1x <-或2x >，由p 是q 的充分不必要条件知，2k >，故选B.
10.“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈为虚数单位）的模为2”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分条件又不必要条件
【答案】A
11.ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当2cos a b C =时，由余弦定理得，222
2cos 22a b c a b C b ab +-==，故22b c =，即b c =，所以ABC ∆是等腰三角形，反之，当ABC ∆是等腰三角形时，不一定有b c =，故“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的充分不必要条件．
12.若R ∈βα、且()()Z k k Z k k ∈+≠∈+
≠22ππβππα，，则“32πβα=+”是“()()
41tan 31tan 3=--βα”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由()()41tan 31tan 3=--βα知，3tan tan 3tan 3tan 14αβαβ--+=
3tan tan tan tan 3αβαβ--=，
tan tan 31tan tan αβαβ+=--，tan()3αβ+=- 所以23
k παβπ+=+ 当0k =时，23
παβ+= 所以“32πβα=+”是“()()
41tan 31tan 3=--βα”的充分不必要条件. 故选A
13.“1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
14.下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号)
①对于函数()y f x =，若0x R ∃∈，使得00(1)(1)f x f x -=+，则函数()y f x =关于直线1x =对称；
②函数()(1)ln f x x x =+有2个零点；
③若关于x 的不等式2122
x x mx -
+>的解集为{|02}x x <<，则1m =； ④等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知321510,9S a a a =+=，则119a = 【答案】③④
【解析】①中，0x R ∃∈，使得00(1)(1)f x f x -=+，只是表示在两个特殊值处的函数值相等，()f x 不一定关于直线1x =对称，故①错；
②中，当(1)ln 0x x +=时，1x =-或1x =，又因1x =-不在定义域范围内，所以函数()f x 有一个零点，为故②错；
③中，因为关于x 的不等式2122
x x mx -
+>的解集为{|02}x x <<，所以10x =，22x =为关于x 的方程2122x x mx -+=，即21(2)02x m x -+-=两根，代入解得1m =，故③正确；
④中，设等比数列{}n a 公比为q ，321111010S a a a q a =+=+，又
23123111S a a a a a q a q =++=++，所以2111a a q a q ++1110a q a =+，化简得29q =，因为4519a a q ==，所以119
a =
，故⑤正确； 故答案为③④.。