数学二次根式复习题附解析

数学二次根式复习题附解析
一、选择题
1．下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．4
B ．21x +
C ．
12
D ．40.5
2．下列运算错误的是（ ） A ．1832= B ．322366⨯=
C ．
(
)
2
516+=
D ．
()(
)
72
723+-=
3．下列计算正确的是（ ） A ．336+=
B ．3323+=
C ．336⨯=
D ．3333+=
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ． 1.5
B ．
13
C ．10
D ．27
5．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．1﹣2a
D ．2a ﹣1
6．下列各式中，运算正确的是（ ）
A ．32222=8383-=-．233=D ()
2
22-=-
7．下列计算正确的是（ ） A 2510=B 623=
C 12315=
D ．241=
8．已知：x 3，y 31，求x 2﹣y 2的值（ ） A ．1
B ．2
C 3
D ．39．下列各式中，正确的是（ ） A ．23B ．a 3 • a 2=a 6 C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2 D ．5m + 2m = 7m 2
10．()
2
3-
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣9
D ．9
11．如果实数x ，y 23x y xy y =-(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第一象限或坐标轴上
D ．第二象限或坐标
轴上
12．3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0
B ．x ＞3
C ．x ≥3
D ．x ≤3
二、填空题
13．比较实数的大小:(1)______ ；（2）1
4
_______12
14．已知x =()21
142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭
_________ 15．设12211112S =+
+，22211123S =++，32211
134
S =++，设
...S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为
正整数)．
16．若实数x ，y ，m 满足等式
()2
23x y m +-=m+4的算术平方根为
________．
17．÷
=________________ .
18．化简：
19．计算：
2008
2009
⋅
-=_________．
20．x 的取值范围是_____
三、解答题
21．2
-+
1 【分析】
先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法. 【详解】
2
-+
=1)2(3+⨯
=12
1. 【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
22．（112=3
=
4=；……写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．
【答案】（12=5==；（2n
=
；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】
解：（1）由例子可得，
④5=25，
（2）如果n 为正整数，用含n
n
， （3）证明：∵n 是正整数，
n ．
n
．
故答案为5=256；
n
；(3)证明见解析. 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
23．已知m ，n 满足m 4n=3+
.
【答案】12015
【解析】
【分析】
由43m n +=2
﹣2）﹣3＝0，将
，代入计算即可．
【详解】
解：∵4m n +＝3，
)2
2
﹣2）﹣3＝0，
）2
﹣23＝0，
+13）＝0，
＝﹣13，
∴原式＝
3-23+2012＝1
2015
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．
24．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因
+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)
；
(2)
+；
(3)的大小，并说明理由．
【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】
分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理
化后计算即可；
（3与
，
，然后比较即可.
详解：(1) 原式
；
（2）原式=2+=2+
（3）根据题意，
-==，
>
<，
>
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
25．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
=，
1)1
=，
1
=，
1
=⋯⋯
1
（1）观察以上规律，请写出第n个等式：(n为正整数）．
（2
（3
【答案】（1）1
=；（2）9；（3
【分析】
(1)根据规律直接写出,
(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.
(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.
【详解】
解：（1）根据题意得：第n个等式为1=；
故答案为1
=；
（2）原式111019
==-=；
-==，
（3
<
∴
>．
【点睛】
本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.
26．先化简再求值：（a ﹣2
2ab b a -）÷22a b a
-，其中
，b=1
． 【答案】原式
=a b
a b
-=+【分析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可. 【详解】
原式=()()
222a ab b a
a a
b a b -+⨯+-
=
()()()
2
·a b a a
a b a b -+- =
a b a b
-+， 当
，b=1
时， 原式
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
27．在一个边长为（
cm 的正方形的内部挖去一个长为（
）cm ，
cm 的矩形，求剩余部分图形的面积． 【答案】
【解析】
试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积． 试题解析：剩余部分的面积为：（
2﹣（
） =（
）﹣（
﹣
） =（
cm 2）． 考点：二次根式的应用
28．计算
（1
）
)(
1
2112
3-⎛⨯
-- ⎝⎭
（2）已知：11,2
2
x y =
=
，求22x xy y ++的值．
【答案】（1）28-；（2）17． 【分析】
（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先求出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得． 【详解】
（1）原式()((
2
2
131
2
⎡
⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦， (()1
475452
=⨯+---
230=+
28=-；
（2）
(
1119,2
2
x y ==
，
11
2
2
x y ∴+=+
=，
()111
191122
24
xy =
⨯
=⨯-=，
则()2
22x xy y x y xy ++=+-，
2
2=
-，
192=-， 17=． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
29．（1|5-+；
（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．
【答案】（1）5；（2）4 【分析】
（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可．
【详解】
解：（15-+
5)
=+
5
=+
5
=
（2）由题意可知：
50 50 b
b
-≥⎧
⎨
-≥⎩
,
解得5
b=
由此可化简原式得，30
a+=
30
a
∴+=，20
c-=
3
a
∴=-，2
c=
22
((534
b a
∴+=--=
【点睛】
可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
30．计算：（1）-
（2）
【答案】（1）21
【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可．
【详解】
解：（1）原式==
（2）原式3+21
==．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【分析】
可以根据最简二次根式的定义进行判断． 【详解】
A ，原根式不是最简二次根式；
B
C 2
=，原根式不是最简二次根式；
D 、=42
=⨯= 故选B ． 【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】
A =，此项正确；
B 、=
C 、)2
1516=+=+
D 、)
22743=-=，此项正确；
故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．
3．B
解析：B 【分析】
根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】
=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B. 【点睛】
此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键.
4．C
解析：C 【分析】
化简得到结果，即可做出判断． 【详解】
解：A
B ，不是最简二次根式；
C 是最简二次根式；
D 故选：C ． 【点睛】
本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．
5．A
解析：A 【分析】
先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】
由数轴可知0＜a ＜1，
所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小
6．A
解析：A 【分析】
由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】
解：A 、-=A 正确；
B =B 错误；
C 、2不能合并，故C 错误；
D 2=，故D 错误；
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
7．A
解析：A
【分析】
分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．
【详解】
解：=
=
==
==，原式计算错误；
D. 2220=-=，原式计算错误；
故应选：A
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可．
【详解】
∵1,1x y ==，
∴11112x y x y +==-=-=，
则22()()2x y x y y x -=+-==
故选：D ．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．
【详解】
A 、=，=
∵1812>，
∴>，故该选项正确；
B 、3a •25a a =，故该选项错误；
C 、()()22
224b a a b a b +-=-，故该选项错误；
D 、527m m m +=，故该选项错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
﹣3|=3.
故选B.
11．D
解析：D
【分析】
先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．
【详解】
=-
∴x 、y 异号，且y>0，
∴x<0，或者x 、y 中有一个为0或均为0．
∴那么点(),x y 在第二象限或坐标轴上．
故选：D ．
【点睛】
根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a 、b 的取值范围，从而确定点的坐标位置．
12．C
解析：C
【详解】
解：根据题意得：x-3≥0
解得：x≥3
故选C.
二、填空题
13．【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．
【详解】
(1)
(2)
∵
∴
∴
故答案为： ，．
解析：< <
【分析】
(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．
【详解】
(1)<
(2)
113424-=
∵3=
∴304
<
< 12 故答案为：< ，<． 【点睛】
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
14．【分析】
利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.
【详解】
将代入得：
故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在
解析：1-【分析】
利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代
入化简后的分式，计算即可.
【详解】
1x =====
()211422(2)(2)2221(2)(2)
2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭ 1
x x =-
将1x =1
=-
故答案为：1-【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =
熟练掌握相关知识点是解题关键. 15．【分析】
先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．
【详解】
解：∵，∴；
∵，∴；
∵，∴；
……
∵，
∴；
∴
．
故答案为：
【点睛】
本题
解析：221
n n n ++ 【分析】
n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．
【详解】 解：∵1221191=124S =+
+
311122===+-； ∵222114912336S =+
+=
7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =+
+=
1311111121234===+=+-； …… ∵()()()2
22222111111n n n S n n n n ++=++=++，
()()2111111111n n n n n n n n ++=
==+=+-+
++；
∴...S =1111111112231
n n =+-++-++-+…+ 111
n n =+-+． 221
n n n +=+ 故答案为：221
n n n ++ 【点睛】
本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，
同时要注意对于式子()11111
n n n n =-++的理解． 16．3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：，解得：x=1，y=1，m ＝5，∴3
解析：3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x +y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：3530230
2x y m x y m x y +--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩
，解得：x =1，y =1，m ＝5
，∴==3．
故答案为3．
【点睛】 本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
17．【解析】
=，
故答案为.
解析：【解析】
÷
=
===-，
故答案为
18．【解析】
根据二次根式的性质，化简为：-=-=-4；==.
故答案为 ； .
解析：
【解析】
根据二次根式的性质，化简为：
故答案为 ； 19．【解析】原式==
20．x≥4
【解析】
试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.
故答案为x≥4.
点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件
，然
解析：x≥4
【解析】
试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.
点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无。