梅州市梅县高中2016届高三上学期第一次月考数学试卷(文科) 含解析

2015-2016学年广东省梅州市梅县高中高三（上)第一次月考数学
试卷(文科）
一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．已知集合A=｛x|x=3n+2，n∈N｝，B=｛6,8，10,12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．设z=+i，则|z|=（）
A．B．C．D．2
3．设函数f(x),g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数,g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(）
A．f（x）•g（x）是偶函数B．｜f（x）｜•g（x）是奇函数
C．f(x)•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x)｜是奇函数
4．为了得到函数y=sin(2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
5．设全集U是实数集R，M=｛x｜x＜﹣2或x＞2｝，N=｛x|x2﹣4x+3＜0｝,则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．｛x｜﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤2｝C．{x｜1＜x≤2｝D．{x｜x＜2｝
6．已知命题p:∃x∈R，cosx=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（)
A．命题p∧q是真命题B．命题p∧￢q是真命题
C．命题￢p∧q是真命题D．命题￢p∨￢q是假命题
7．设a，b,c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，命题不正确的是（）A．当c⊥α时,若α∥β,则c⊥β
B．当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β
C．当b⊂α，a⊄α且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c
D．当b⊂α且c⊄α时，若b∥c,则c∥α
8．已知函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f(﹣x）=0，且当x＞0时，f(x)=ln（x+1），则函数f（x)的大致图象为（）
A．B．C．
D．
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增,则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范围是(）
A．(,）B．［，）C．（，）D．［，)
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π,则r=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．已知函数f（x）=，且f（α)=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为．
14．若函数，则f（x)=．
15．若,x∈(0,π)，则sinx﹣cosx的值为．
16．已知函数y=4x﹣3•2x+3，当其值域为［1，7］时,x的取值范围是．
三、解答题:本大题共5小题，共70分．
17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
(Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积．
18．已知函数f （x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg［x2﹣（2a+1）x+a2+a]
的定义域集合是B．
(1）求集合A，B．
（2)若A∪B=B,求实数a的取值范围．
19．。

已知二次函数f（x）满足f（x+2）=f（2﹣x）,且f(x）=0的两根积为3,f(x）的图象过（0，3）,求f（x)的解析式．
20．如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
21．已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判断f（x）的奇偶性;
（2)若x＞0时,f（x）＞0,证明：f（x)在R上为增函数；
（3）在条件(2）下，若f（1)=2，解不等式：f（x2+1）﹣f（2x+5）＜4．
请考生在22、23、题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请写清题号［选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线;
(Ⅱ）若OA=CE,求∠ACB的大小．
[选修4—4：坐标系与参数方程］
23．在直角坐标系xOy中,直线C1：x=﹣2,圆C2：(x﹣1）2+(y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1,C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M,N，求△C2MN的面积．
2015-2016学年广东省梅州市梅县高中高三（上）第一次
月考数学试卷(文科）
参考答案与试题解析
一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分，共60分）.
1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N},B=｛6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】交集及其运算．
【分析】根据集合的基本运算进行求解．
【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N｝=｛2，5，8，11，14，17，…｝，
则A∩B={8，14}，
故集合A∩B中元素的个数为2个,
故选：D．
2．设z=+i，则|z|=（）
A．B．C．D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】先求z，再利用求模的公式求出｜z|．
【解答】解：z=+i=+i=．
故｜z|==．
故选B．
3．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x)是奇函数,g（x)是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数B．｜f（x）|•g(x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f(x)•g（x）｜是奇函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f(x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f(﹣x）=﹣f（x)，g（﹣x)=g(x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f(x)•g(x),故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）｜•g（﹣x）=｜f（x)｜•g（x）为偶函数，故B错误,
f（﹣x）•｜g（﹣x)｜=﹣f（x）•|g(x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x）•g（﹣x)|=|f(x）•g（x）|为偶函数,故D错误,
故选：C
4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【考点】五点法作函数y=Asin(ωx+φ）的图象．
【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．
【解答】解:∵函数y=sin(2x﹣）=sin[2（x﹣)]，
∴为了得到函数y=sin(2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长
度
故选A．
5．设全集U是实数集R，M={x｜x＜﹣2或x＞2｝,N={x｜x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．｛x|﹣2≤x＜1｝B．{x|﹣2≤x≤2}C．｛x|1＜x≤2｝ D．｛x｜x＜2}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由韦恩图表示集合的方法，分析图形中表示的阴影部分表示的几何意义,我们不难分析出阴影部分表示集合（C U M）∩N,然后结合M={x|x＜﹣2或x＞2｝，N={x|x2﹣4x+3＜0｝，我们不难求出阴影部分所表示的集合．
【解答】解：由图知，阴影部分表示集合（C U M）∩N，
由于M=｛x｜x＜﹣2或x＞2}，
∴C U M={x|﹣2≤x≤2｝，
N=｛x｜1＜x＜3｝，
所以（C U M）∩N={x｜1＜x≤2｝．
故选C
6．已知命题p：∃x∈R，cosx=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（）
A．命题p∧q是真命题B．命题p∧￢q是真命题
C．命题￢p∧q是真命题D．命题￢p∨￢q是假命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据余弦函数的值域，可知命题p是假命题,根据二次函数的图象与性质,得命题q 是真命题．由此对照各个选项，可得正确答案．
【解答】解：因为对任意x∈R，都有cosx≤1成立，而＞1,所以命题p：∃x∈R，cosx=
是假命题;
∵对任意的∈R,x2﹣x+1=(x﹣）2+＞0
∴命题q:∀x∈R，x2﹣x+1＞0，是一个真命题
由此对照各个选项，可知命题￢p∧q是真命题
故答案为：C
7．设a,b，c是空间三条直线，α,β是空间两个平面，则下列命题中，命题不正确的是(）A．当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β
B．当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β
C．当b⊂α，a⊄α且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c
D．当b⊂α且c⊄α时，若b∥c，则c∥α
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：当c⊥α时，若α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理得c⊥β，故A正确;
当b⊂α时，若α⊥β，则b与β相交、平行或b⊂β，故B错误；
当b⊂α,a⊄α且c是a在α内的射影时,
若a⊥b,则由三垂线定理得b⊥c，故C正确；
当b⊂α且c⊄α时,若b∥c，则由直线与平面平行的性质得c∥α．故D正确,
故选：B．
8．已知函数f(x）对任意的x∈R有f(x）+f（﹣x）=0,且当x＞0时，f（x)=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）
A．B．C．
D．
【考点】奇偶函数图象的对称性;对数函数的图象与性质．
【分析】先由函数的奇偶性排除选项A、B，再由对数函数的图象变换及其性质选出正确选项
【解答】解:∵函数f(x)对任意的x∈R有f（x）+f（﹣x）=0，
∴函数f(x）为R上的奇函数，图象关于原点对称，排除A、B
将y=lnx的图象向左平移1个单位长度，即可得到f(x）=ln（x+1）的图象,
由对数函数的图象性质排除C
故选D
9．执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=（)
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1,不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=2,不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=3,不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后,S=,m=，n=5，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后,S=,m=，n=6,不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后,S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n值为7，
故选：C
10．已知偶函数f（x)在区间［0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x 取值范
围是（）
A．（，）B．[，）C．(，） D．[，）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．
【解答】解:∵f（x）是偶函数，∴f（x)=f（|x|），
∴不等式等价为f（｜2x﹣1｜），
∵f(x）在区间［0，+∞）单调递增,
∴，解得．
故选A．
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π,则r=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线,
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
12．已知函数f（x）=，且f（α)=﹣3，则f（6﹣α)=(）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【考点】函数的值．
【分析】利用分段函数，求出α,再求f（6﹣α）．
【解答】解：由题意,α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；
α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7,
∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为{x｜2＜x＜3或x＞3} ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据分母不为0,对数的性质得关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：要使函数有意义，x应满足：，
解得x＞2且x≠3，
故函数的定义域为：｛x｜2＜x＜3或x＞3｝；
故答案：｛x｜2＜x＜3或x＞3｝．
14．若函数，则f（x)=x2+3x+2(x≥﹣1）．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】利用换元法,令t=（﹣1≤t），，带入化解原函数即可．【解答】解：由题意：函数,
令t=（t≥﹣1），，
则有：f（t）=(t+1）2+t+1
=t2+3t+2，
∴f（x）=x2+3x+2（x≥﹣1)，
故答案为:x2+3x+2（x≥﹣1）．
15．若，x∈（0,π），则sinx﹣cosx的值为．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由题意可得sinxcosx=﹣，且sinx＞0,cosx＜0，再根据sinx﹣
cosx=，计算求得结果．
【解答】解：若,x∈（0，π），∴平方可得1+2sinxcosx=，
∴sinxcosx=﹣，∵sinx＞0，cosx＜0，
则sinx﹣cosx===，
故答案为:．
16．已知函数y=4x﹣3•2x+3，当其值域为［1，7]时，x的取值范围是(﹣∞，0]∪[1,2］．【考点】二次函数的性质；函数的值域．
【分析】令t=2x（t＞0)，可得y=t2﹣3t+3,由函数的值域为[1，7］，得1≤t2﹣3t+3≤7，解出0＜t≤1或2≤t≤4．再将t还原成2x，最后解关于x的不等式,即可得到实数x的取值范围．【解答】解：令t=2x，可得y=4x﹣3•2x+3=t2﹣3t+3，(t＞0）
∵函数的值域为[1，7],
∴解不等式1≤t2﹣3t+3≤7，可得
解此不等式组，得0＜t≤1或2≤t≤4
∴0＜2x≤1或2≤2x≤4，即0＜2x≤20或21≤2x≤22
因此，x的取值范围是（﹣∞，0］∪［1，2］
故答案为：(﹣∞，0］∪[1，2］
三、解答题：本大题共5小题，共70分．
17．已知a,b,c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ)若a=b,求cosB;
（Ⅱ）设B=90°,且a=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（I)sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．
（II）利用（I)及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC,
由正弦定理可得:＞0,
代入可得（bk）2=2ak•ck,
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
(II）由(I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=2ac，解得a=c=．
==1．
∴S
△ABC
18．已知函数f （x）=的定义域集合是A，函数g（x）=lg[x2﹣（2a+1）x+a2+a］的定义域集合是B．
(1）求集合A，B．
（2）若A∪B=B,求实数a的取值范围．
【考点】函数的定义域及其求法；并集及其运算．
【分析】（1）被开方数≥0，求A,对数的真数＞0求出B．
（2)由题意A是B的子集，可解出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意所以A=｛x｜x≤﹣1或x＞2｝；
x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0 B={x|x＜a或x＞a+1｝;
（2）由A∪B=B得A⊆B,
因此
解得：﹣1＜a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣1，1］．
19．.已知二次函数f（x)满足f（x+2）=f（2﹣x），且f（x)=0的两根积为3，f（x）的图象过（0，3），求f（x）的解析式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】由二次函数f(x）满足f（x+2）=f(2﹣x）可知f（x）的对称轴为x=2，故设f（x）=a（x﹣2）2+b，再根据f(x)=0的两根积为3，且f（x）的图象过（0，3），可得,
求出a，b的值，从而得到函数的解析式．
【解答】解：∵二次函数f(x）满足f（x+2）=f（2﹣x）,
∴f（x）的对称轴方程为x=2，
故设f(x）=a（x﹣2）2+b=ax2﹣4ax+4a+b，
∵f（x)=0的两根积为3，且f（x）的图象过（0,3），
∴,得
故f（x）=x2﹣4x+3．
20．如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明:平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；
(Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，
则AC⊥平面BED,
∵AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解:（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=, ∵AE⊥EC,△EBG为直角三角形，
∴BE=x，
∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，
解得x=2，即AB=2，
∵∠ABC=120°，
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×=12,
即AC=，
在三个直角三角形EBA，EBG,EBC中，斜边AE=EC=ED,
∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形,
则AE2+EC2=AC2=12，
即2AE2=12，
∴AE2=6,
则AE=,
∴从而得AE=EC=ED=，
∴△EAC的面积S==3，
在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F,
则AE=，AF==，
则EF=，
∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==,
故该三棱锥的侧面积为3+2．
21．已知x,y∈R有f（x+y)=f（x）+f(y）
(1）判断f(x）的奇偶性；
（2)若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数；
（3）在条件（2)下，若f（1）=2，解不等式：f（x2+1）﹣f（2x+5）＜4．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】(1)利用条件x,y∈R有f（x+y)=f(x）+f(y)，分别赋值，令x=y=0，及y=﹣x，利用奇函数的定义可得结论；
（2）根据单调性的证题步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，即可证明；
（3)先计算f（2)=2f（1)=4，再将抽象函数不等式转化为具体不等式,解不等式，即可得出结论．
【解答】（1)解：∵x，y∈R，有f（x+y）=f（x)+f（y）
令x=y=0,得f（0)=0；又令y=﹣x得f（x）+f（﹣x)=f（x﹣x）=f（0）=0
所以f（﹣x)=﹣f（x）,因此f（x）是R上的奇函数;…
(2）证明：设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f(x2﹣x1）＞0 即f（x2)＞f（x1），因此f（x）在R上为增函数;…
（3)解：∵f（1)=2,∴f（2）=2f(1)=4…
由f（x2+1）﹣f（2x+5)＜4，可得f(x2+1）＜f（2x+5）+f（2）
∴f（x2+1)＜f（2x+7）
由（2）可得x2+1＜2x+7，即x2﹣2x﹣6＜0
解得…
请考生在22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4—1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．
【考点】圆的切线的判定定理的证明．
【分析】（Ⅰ)连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1,AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可
得所求角度．
【解答】解：(Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线;
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2，BE=，
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2=，即x4+x2﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中,直线C1：x=﹣2,圆C2：(x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ)求C1，C2的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R)，设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．
【解答】解:（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的
极坐标方程为ρcosθ=﹣2，
故C2：(x﹣1)2+(y﹣2）2=1的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R)代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2,ρ2=，
∴|MN｜=｜ρ1﹣ρ2|=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．
2016年11月25日。