最新中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题-（-含答案）资料

最新中考复习专题⼆次函数经典分类讲解复习以及练习题-（-含答案）资料
1、⼆次函数的定义
定义： y=ax 2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）定义要点：①a ≠ 0 ②最⾼次数为2 ③代数式⼀定是整式
练习：1、y=-x 2，y=2x 2-2/x ，y=100-5 x 2，y=3 x 2-2x 3+5,其中是⼆次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是⼆次函数？
2、⼆次函数的图像及性质
例2：已知⼆次函数
（1）求抛物线开⼝⽅向，对称轴和顶点M 的坐标。

（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。

（3）x 为何值时，y 随的增⼤⽽减少，x 为何值时，y 有最⼤（⼩）值，这个最⼤（⼩）值是多少？（4）x 为何值
时，y<0？x 为何值时，y>0？
抛物线顶点坐标对称轴位置开⼝⽅向增减性最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax 2+bx+c (a<0)
由a,b 和c 的符号确定
由a,b 和c 的符号确定 a>0,开⼝向上
a<0,开⼝向下
在对称轴的左侧,y 随着x 的增⼤⽽减⼩. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增⼤⽽增⼤.
在对称轴的左侧,y 随着x 的增⼤⽽增⼤. 在
对称轴的右侧, y 随着x 的增⼤⽽减⼩.
??--a b ac a b 44,22???
--a b ac a b 44,22a
b
x 2-
=直线a
b
x 2-
=直线a
b a
c y a b x 44,22
--=最⼩值为
时当a
b a
c y a b x 44,22
--=最⼤值为
时当x
y
x
y
m
m -223212-+=x x y
3、求抛物线解析式的三种⽅法
1、⼀般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为⼀般形式.
y=a(x-h)2+k(a≠0)
3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为⼀般形式.y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0)
练习：根据下列条件，求⼆次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最⾼点的纵坐标是3 。

例1已知⼆次函数y=ax2+bx+c的最⼤值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。

求a、b、c。

解：∵⼆次函数的最⼤值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
⼜∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设⼆次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
⼜∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴⼆次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开⼝⽅向确定
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.
（3）b的符号：由对称轴的位置确定
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。

当x=1时，y>0,则a+b+c>0
当x=1时，y<0，则a+b+c<0
当x=1时，y=0，则a+b+c=0
(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。

当x=-1，y>0,则a-b+c>0当x=-1，y<0,则a-b+c<0
当x=-1，y=0,则a-b+c=0
练习
１、⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所⽰，则a、b、c的符号为（）
A、a<0,b>0,c>0
B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0
D、a<0,b<0,c<0
2、⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所⽰，则a、b、c的符号为（）
A、a>0,b>0,c=0
B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0
D、a>0,b<0,c=0
3、⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所⽰，则a、b、c 、△的符号为（）
A、a>0,b=0,c>0,△>0
B、a<0,b>0,c<0,△=0
C、a>0,b=0,c<0,△>0
D、a<0,b=0,c<0,△<0
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和⼆、三、四象限，
判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，
则a、b、c满⾜的条件是：a 0,b 0,c 0.
6.⼆次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个⼆次函数
图象的顶点必在第象限
先根据题⽬的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
7.已知⼆次函数的图像如图所⽰，下列结论。

⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶
abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开⼝⽅向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x 轴、y 轴的交点的位置，注意运⽤数形结合的思想。

5、抛物线的平移
左加右减，上加下减
练习
⑴⼆次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2x2-3的图象；⼆次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2(x-3)2的图象。

⑵⼆次函数y=2x2的图象先向平移个单位，再向平移个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
（3）由⼆次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6
6⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系
⼀元⼆次⽅程根的情况与b 2-4ac 的关系
我们知道:代数式b2-4ac 对于⽅程的根起着关键的作⽤.
⼆次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c=0的解。

⼆次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: (1)有两个交点b2 – 4ac > 0 (2)有⼀个交点b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点,则b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x 的⼀元⼆次⽅程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿＿＿＿个交点.
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.
(3)⼀元⼆次⽅程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么⼆次函数y= 3 x2+x-10与x 轴的交点坐标是＿＿＿＿. 41)25(2--=x y=x
2 41
)25(2--=x y ()有两个不相等的实数根⽅程时当00,0422≠=++>-a c bx ax ac b .2422,1a ac
b b x -±-=∴():00,0422有两个相等的实数根⽅程时当≠=++=-a
c bx ax ac b .22,1a b x -=∴()没有实数根⽅程时当00,0422
≠=++<-a c bx ax ac b
判别式： b2-4ac
⼆次函数 y=ax2+bx+c （a ≠0）
图象
⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0 （a ≠0）的根 b2-4ac ＞0
与x 轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）
有两个不同的解x=x1，x=x2
b2-4ac=0
与x 轴有唯⼀个交点
有两个相等的解 x1=x2=
b2-4ac ＜0
与x 轴没有交点
没有实数根
7⼆次函数的综合运⽤
1.已知抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满⾜此条件的抛物线的解析式.
解:Θ抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同∴ a=1或-1
⼜Θ顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5, ∴顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成⼀般式即可.
2.若a+b+c=0,a ≠0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位, )
0,2(a
b -x y
x y
O
x
y O a
b 2-
再向上平移4个单位即得原抛物线
练习题
1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（）
（A ）k ＜
31 （B ）3
1
＜k ＜1 （C ）k ＞1 （D ）k ＞1或k ＜1 【提⽰】由-=-=k x y x y 13，解得
-=-=.
2312
1k y k x 因点在第四象限，故21k -＞0，
231k -＜0．
∴ 3
1
＜k ＜1．
【答案】B ．
【点评】本题应⽤了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等． 2．⼆次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成⽴的个数是…………（）
（1）abc ＜0；（2）a ＋b ＋c ＜0；（3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜－
2
b ．
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【提⽰】由图象知a ＜0，－a
b
2＞0，故b ＞0，⽽c ＞0，则abc ＜0．当x ＝1时，y ＞0，即a ＋c －b ＞0；当x ＝－1时，y ＜0，即a ＋c －b ＜0．【答案】B ．
【点评】本题要综合运⽤抛物线性质与解析式系数间的关系．因a ＜0，把（4）a ＜－
2b 两边同除以a ，得1＞－a b 2，即－a
b 2＜1，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x ＝1的左侧，判断出－a b 2＜1，两边同时乘a ，得a ＜－2
b
，知（4）是正确
的．
3．若⼀元⼆次⽅程x 2－2 x －m ＝0⽆实数根，则⼀次函数y ＝（m ＋1）x ＋m －1的图象不经
过…………………………………………………………………………………（）（A ）第⼀象限（B ）第⼆象限（C ）第三象限（D ）第四象限
【提⽰】由? ＝4＋4 m ＜0，得m ＋1＜0，则m －1＜0，直线过第⼆、三、四象限．【答案】A ．
【点评】本题综合运⽤了⼀元⼆次⽅程根的判别式及⼀次函数图象的性质．注意，题中问的是⼀次函数图象不经过的象限．。