【易错题】高三数学下期末第一次模拟试卷(带答案)(1)

【易错题】高三数学下期末第一次模拟试卷(带答案)(1)
一、选择题
1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆
的实
线部分上运动，且
总是平行于轴，则
周长的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知在ABC V 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）
A ．1
4-
B ．
14 C ．23
-
D ．
23
3．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与
c 所成的角的大小为（ ）
A ．120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
4．在二项式4
2n
x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．
1
6
B ．
14
C ．
512
D ．
13
5．已知π
,4
αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．4 6．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A 2
B 3
C ．22
D ．327．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．
14
B ．
12
C ．
22
D 2
8．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x
y a -=与log a y x =-的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是
X
a 1 P
13 13
13
则当a 在（0，1）内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小
D ．()D X 先减小后增大
10．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．
2 B ．1 C ．2
D ．2
11．设集合(){
}
2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）
A ．{}22x x -≤<
B ．{}2x x ≥-
C ．{}2x x <
D ．{}
12x x ≤<
12．sin 47sin17cos30cos17-o o o
o
A ．3-
B ．12
-
C ．
12
D ．
3 二、填空题
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北
的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北
的方向上，仰角为
，则此山的高度
________ m.
14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．
16．若9
()a x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
17．函数2()log 1f x x =-的定义域为________．
18．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为
3
3
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线2
2(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两
次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．
20．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．
三、解答题
21．已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；
(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点为
(
)
5,0，离心率为53
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
23．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
21x tcos y tsin α
α=+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，
1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段
BM 的长．
25．定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.
（1）求(1)(1)f f -、的值； （2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；
（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合. 26．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,
3
AC BC B C ACB π
==∠=
（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜y B ＜3，即可得出． 【详解】
抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，
∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,
则()()()222
3241
cos 2324
k k k C k k
+-=
=-⨯⨯ ，选A.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c r r
分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量
的关系，即可求解. 【详解】
设直线,b c 的方向向量,b c r r
，,b c αβ⊥⊥， 所以,b c r r
分别是平面,αβ的法向量，
二面角l αβ--的大小为60°，
,b c r r
的夹角为060或0120，
因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以b 与c 所成的角为060. 故选:C. 【点睛】
本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】
因为n
前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 1634
18
118,0,1,2,82
r
r r r n n T C x r -
+>∴=∴=⋅=Q L ，
当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为63679
95
12
A A A =,选C. 【点睛】
本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 由4
π
αβ+=
，得到1tan
αβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值． 【详解】 由由4
π
αβ+=
，得到1tan
αβ+=（）， 所以11tan tan tan
tan tan αβ
αβαβ
++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-，
则
1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ． 【点睛】
本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】
因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4
，圆心到公共弦的距离为d =，
所以公共弦长为：l ==. 故选：C 【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】
由题得(1)111122222
i i i i z i z i -+=
===+∴==
+. 故选C. 8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】
由于1a >，所以1x
x
a y a -=⎛⎫
= ⎪⎝⎭
为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用方差公式结合二次函数的单调性可得结论； 【详解】
解：1111
()013333a E X a +=⨯+⨯+⨯=，
222111111()(
)()(1)333333
a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯ 2222212211[(1)(21)(2)](1)()279926
a a a a a a =
++-+-=-+=-+ 01a <<Q ，()D X ∴先减小后增大 故选：D ． 【点睛】
本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】
根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =
则该双曲线的离心率为 e c
a
==， 故选C ． 【点睛】
理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】
(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q {}2M N x x ∴⋃=≥-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由(
)
sin 473017sin θ=+o
o o
，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可. 【详解】
0000
sin 47sin17cos30cos17
-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒
=︒ sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒=
︒
1
302sin =︒=．故选C ．
【点睛】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
二、填空题
13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用
解析：
【解析】
试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由
正弦定理可得,解之得,又因为,所以
,应填
.
考点：正弦定理及运用．
14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)
【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得
44
33
b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知4013
4343b b -⎧
≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩
，解得57b <<
15．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的 6
【解析】 【分析】
将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】
过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，
1122,23BC C D BD ===16
cos 422223
C B
D ∠=
=⨯⨯.
【点睛】
本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
16．1【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的项的系数再根据的系数是列方程求解即可【详解】展开式的的通项为令的展开式中的系数为故答案为1【点睛】本题主要考查二 解析：1 【解析】 【分析】
先求出二项式9
()a x x
-的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 的值，即可求得
展开式中3x 的项的系数，再根据3x 的系数是84-列方程求解即可. 【详解】
9()a x x -展开式的的通项为()992199r
r r r r r
r a T C x C x a x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令9233r r -=⇒=，
9()a x x
-的展开式中3x 的系数为()339841C a a -=-⇒=，
故答案为1. 【点睛】
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考
查二项展开式的通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）
（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
17．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
解析：[2，+∞） 【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为
[2,)+∞.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
18．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB 则CH ⊥AB ∠CHO 为二面角C−AB−D 的平面角CH=3√OH=CHcos ∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为
解析：
1
6
【解析】 【分析】 【详解】
设AB =2,作CO ⊥面ABDE
OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角， CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，
结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，
3,11(),22
12
AN EM CH AN
AC AB EM AC AE
AN EM ====+=-∴⋅=
u u u r
u u u
r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 故EM ,AN 1
126
33=⋅，
19．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =
【解析】
【分析】
先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】
由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2
p
F ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2
p
y k x =-
，1122(,),(,)P x
y Q x y ， 由2()22p y k x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩得：222()24p k x px px -+=，整理得
2222244)0(8k x k p p x k p -++=，
所以21222k p p x x k ++=，2
124p x x =，
所以2122
22
2k PQ x x p p p k +=++=>；
当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；
因此min 24PQ p ==，所求方程为2
4y x =.
故答案为2
4y x = 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.
20．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3
解析：3 【解析】 【分析】 【详解】
如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．
三、解答题
21．(1) ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减.
（2）()0,1. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由()1
f x a x
'=
-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭因此
122ln 10f a a a a ⎛⎫
>-⇔+-< ⎪⎝⎭
.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.
试题解析：
（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1
f x a x
'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,
x a ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 在1
x a
=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-=-+-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此122ln 10f a a a a ⎛⎫
>-⇔+-< ⎪⎝⎭
.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是
()0,1.
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
22．（1）22194
x y +=；（2）22
013x y +=. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、
b 、
c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、
2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为
()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用
0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程. （1）由题意知
553a =⇒=，且有2235b -=2b =，
因此椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=；
（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-， 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-， 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得
()()()2
2
2000094189360k
x k y kx x y kx ++-+--=，
()(
)
()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦
， 化简得()2
2
00
940y kx k ---=，即()()2
2
20
00
9240x k kx y y --+-=，
则1k 、2
k 是关于k 的一元二次方程()()22
20
00
9240x k kx y y --+-=的两根，则
201220419
y k k x -==--，
化简得22
0013x y +=；
②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆
2213x y +=上.
综上所述，点P 的轨迹方程为2
2
13x y +=.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
23．（1）()2
239x y -+=（2）27 【解析】
分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出
PA PB +．
详解：
（1）由2
6cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为2
2
6x y x +=， 即()2
239x y -+=
（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()2
2cos sin 70t t αα+--=
因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()
12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩
所以
又因为（2，1）为直线所过定点，
1212
PA PB t t t t ∴+=+=-=
=≥=
所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题． 24．（
Ⅰ）3
；（Ⅱ）7
；（Ⅲ）4
【解析】 【分析】
（Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异
面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B u u u r u u u u r ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉u u u r u u u u r 计算即
可；
（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m u r 与平面111B AC 的法向量n r
，再利用向量的夹角公式
算得cos ,m n 〈〉u r r
即可；
（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得11110
MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长. 【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，
由题意，
111(0,0,0),B A C A B C ，
（Ⅰ
）11((AC A B ==-u u u r u u u u r ，
所以11
11
11
cos,
3
||||
AC A B
AC A B
AC A B
⋅
〈〉===
u u u r u u u u r
u u u r u u u u r
u u u r u u u u r，设异面直线AC与11
A B所成角为α，
则cosα
=
11
|cos,|
3
AC A B
〈〉=
u u u r u u u u r
，
所以异面直线AC与11
A B
所成角的余弦值为
3
.
（Ⅱ
）易知
111
(
AA AC
==
u u u r u u u u r
，
设平面
11
AA C的法向量(,,)
m x y z
=，
则11
1
m AC
m AA
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u u v
v
u u u v
v
，即
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
令x=
z=
，所以m=
u r
，
同理，设平面111
B AC的法向量(,,)
n x y z
=
r
，
则11
11
n A C
n A B
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u u v
v
u u u u v
v
，即
⎧-+=
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，
令y=
z=
n=
r
，
所以
2
cos,
7
||||
m n
m n
m n
⋅
〈〉===
⋅
u r r
u r r，
设二面角111
A AC B
--的大小为θ，
则sin
7
θ==，
所以二面角111
A AC B
--
的正弦值为
7
.
（Ⅲ）由N为棱11
B C
的中点，得,
22
N
⎛
⎝⎭
，设(,,0)
M a b
，则MN a b
=--
⎝⎭
u u u u r
，
由MN⊥平面111
A B C，得11
11
MN A B
MN A C
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u u v u u u u v
u u u u v u u u u v，即
2
(22)022325(2)(2)50222a a b ⎧⎛
⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎩，
解得222
4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故22,,024M ⎛⎫
⎪⎝⎭，因此22,,024BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以线段BM 的长为10
||BM =
u u u u r
.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
25．(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1{|}2
x x ≤ 【解析】 试题分析：
(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=； (2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；
(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2
x x ≤. 试题解析：
（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；
（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0，
()f x ∴是偶函数；
（3）又()f x 是偶函数，()()f x f
x ∴=，当0x >时，()f x 递增，由
()()12f x f x +≤-，得()()1
2,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是
1
{|}2
x x ≤.
26．（1）详见解析；（2）431
. 【解析】 【分析】
（1）连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ，则四边形11A ACC 是正方形，点M 是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ 是平行四边形，从而11B Q C M P ，由此能证明1B Q P 平面
11A ACC ．
（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值． 【详解】
证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ． 因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点， 又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC P ，且1
2
MQ BC =
， 又因为11B C BC ∥，且112BC B C =，所以11MQ B C P ，且11MQ B C =， 所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M P ， 因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ， 故1B Q P 平面11A ACC ．
（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，
则)
3,1,0A
-，)
13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ， 所以()
113,2,0B A =-u u u u r ，()10,1,2B B =-u u u r
．
设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =u r
，
则111·0·0m B A m B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u v v 即32020
x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取4x =，则(4,23,3m =u r
平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =r ，所以431cos ,3131m n m n m n
===u r r
u r r g u r r g ． 故二面角11A BB C --的平面角的余弦值为
431
31
．
【点睛】
线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.。