2018-2019学年吉林省蛟河市第一中学校高二下学期第三次测试数学(文)试题 解析版

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吉林省蛟河市第一中学校2018-2019学年高二下学期第三次
测试数学（文)试题
一、单选题
1．已知集合{}
2
|9A x R x =∈≥，集合{}|26B x R x =∈≤<，则A
B =（ ）
A ．[]3,6-
B ．()3,6-
C ．(][),32,-∞-+∞
D ．(][),33,-∞-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】 算出A 后可求A B .
【详解】
{}|33A x R x x =∈<->或，()
[),32,A B =-∞-+∞，故选C.
【点睛】
本题考查集合的并，属于基础题.
2．若()
()2
62z m m m i =+-+-为纯虚数，则实数m 的值为（ ）
A ．-2
B ．2或-3
C ．3
D ．-3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的分类，列出方程组，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，复数()()2
62z m m m i =+-+-为纯虚数，则260
20
m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得3m =-，
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的分类，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+经过
直角坐标系下的伸缩变换12x x y y ⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）．
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．圆
【答案】D 【解析】 【分析】
先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x '
'，由此能求出结果． 【详解】
∵极坐标方程2
2212
3+4cos sin ρθθ
=
∴2
2
2
2
3cos 4sin 12ρθρθ+=
∴直角坐标方程为2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=
∴经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y
⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后得到的曲线方程为
22(2))143
x ''+=，即22
()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】
本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用． 4．下列函数中，在(0,)+∞内单调递减的是（ ） A ．22x y -= B ．1
1x y x
-=
+ C ．1
2
1log y x
= D ．22y x x a =-++
【答案】A 【解析】 【分析】
直接根据指数型函数的单调性判断出22x
y -=在R 上递减，求得结果.
【详解】
由题，22x y -=在R 上递减，所以在()0,+∞内单调递减， 故选A 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )
A ．3
B ．6-
C ．10
D ．15-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据循环结构的特征，先判断i 为奇数还是偶数，代入不同的处理框，依次算出S 的值，同时判断是否继续执行循环，即可求得S 的值 【详解】
由程序框图可知：
第一次循环：i=1为奇数，2011S =-=-，112i =+= 第二次循环：i=2为偶数，2123S =-+=，213i =+= 第三次循环，i=3为奇数，2336S =-=-，314i =+= 第四次循环，i=4为偶数，26410S =-+=，415i =+=
此时不满足5i <，退出循环，输出10S =，结束，故选C 。

【点睛】
本题考查循环结构的程序框图，按照要求逐步计算即可，属基础题。

6．若2
5
2log a =，30.4b =，ln3c =，则,,a b c 的大小关系是( )
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
利用指对函数的单调性即可比较大小. 【详解】 解：因为()()()322
log ,0,0.40,1,ln31,5
a b c =∈-∞=∈=∈+∞， 所以a b c <<， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了对数值的运算及比较大小，考查指数函数与对数函数的单调性，属简单题. 7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．两条直线
C ．圆
D ．一条直线
【答案】A 【解析】 【分析】
转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案． 【详解】
由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和
(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，
根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
8．设0a ≠，函数()()224log ,0
,0x x f x x ax x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩
，若()24f f -=⎡⎤⎣⎦ 则()f a 等于（ ） A ．8 B ．4
C ．2
D ．1
【答案】A 【解析】
由题意，得2
(4log 2,(2)424f f a ===+=，解得4a =-，所以
2()(4)4log 48f a f =-==；故选A.
9．设曲线C
的参数方程为5cos ()15sin x y θ
θθ⎧=⎪⎨
=-+⎪⎩为参数，直线l
的方程10y -+=，则曲线C 上到直线l 的距离为
5
2
的点的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与5
2
的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】
化曲线C
的参数方程为普通方程：(()2
2
125x y ++=，
圆心
)
1-
10y -+=的距离3115
522
d ++=
=<， 所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选：C 【点睛】
解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．
10．下面使用类比推理，得到的结论正确的是（ ）
A ．直线,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a c .类比推出:向量a →
，b →
，c →
，若a →∥b →，b →∥c →
，
则a →∥c →
.
B ．三角形的面积为()1
2
S a b c r =
++，其中a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，类比推出，可得出四面体的体积为()12341
3
V S S S S r =+++，（1S ，
2S ，3S ，4S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
C ．同一平面内，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则//a b .类比推出:空间中，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则//a b .
D ．实数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥.类比推出:复数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥. 【答案】B 【解析】 【分析】
A 中，由0和任意向量都平行，可得是错误的；
B 中，根据锥体的体积公式和内切球的性质，即可得到是正确的；
C 中，由空间中存在异面垂直，可得是错误的；
D 中，复数
,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥是不正确的．
【详解】
对于A 中，因为0和任意向量都平行，所以若0b =时，则无法得到//a c ，所以是错误的；
对于B 中，若四面体D ABC -的四个面的面积为1234,,,S S S S ，四面体D ABC -的表面积为1234S S S S S =+++，若内切球的半径为r ，其体积为
12341
()3
V S S S S r =+++，所以是正确的；
对于C 中，在空间中存在异面垂直，所以空间中，直线,,a b c ，若,a c b c ⊥⊥，则直线,a b 可以是任意夹角，所以是错误的；
对于D 中，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥，但在复数方程
2(1)0x ix i ++-±=有实根，但不满足24a b ≥，所以类比：复数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥是不正确的，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理是依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对应的性质类比到另一类数学对象上却，其一般步骤：（1）找出两类事物的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得很一个明确的结论，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
11
．已知直线:2x l y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，
则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ） A
．4 B
．2(2 C
．4(2+ D
．8+
【答案】C 【解析】 【分析】
先写出直线的标准参数方程，再代入y 2
＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解.
【详解】
将直线l
参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2
＋4(2
＋16＝0，
设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2
)， t 1′t 2′＝16>0.
由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2
． 故答案为：C 【点睛】
(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程
00x x tcos y y tsin α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答. 12．已知函数
的定义域为.当
时，
；当
时，
；
当时，.则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以
,故选D．
考点：函数的周期性和奇偶性．
视频
第II 卷（非选择题)
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二、填空题
13．点(),M x y 为此曲线()2
234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．
【答案】 【解析】
分析：设x=32cos α-+，y=2 sin α，则x y +=-（α+4
π
），利用正弦型函数的图象与性质求最值即可.
详解：设x=32cos α-+，y=2 sin α，则
x+y=32cos α2?sin α-++=-sin （α+4
π），
∴sin （α+
4
π
）=1时，x +y 的最大值为．
故答案为：．
点睛：本题重点考查了圆的参数方程的应用，把一次型mx ny +函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.
14．在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点．若
AOB ∆是等边三角形，则a 的值为___________．
【答案】3．
【解析】试题分析：圆的方程为()2
224x y +-=，直线为y a =．
AOB ∆是等边
三角形，∴其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得．
考点：直线和圆的极坐标方程．
视频
15．观察下列各式：223344551,3,4,7,11,
a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=，则
1010a b +=______
【答案】123 【解析】
试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，
每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a
10
＋b 10
＝123
考点：归纳推理
16．已知不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数x y 、、z 都成立，则实数a 的取值范围为______ 【答案】42a a 或≥≤- 【解析】
试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立，只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max ，利用柯西不等
式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2
求出x+2y+2z 的最大值，再解关于a
的绝对值不等式即可．
解：由柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2
即x+2y+2z≤3，当且仅当
即，，时，x+2y+2z 取得最大值3．
∵不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z ，对满足x 2+y 2+z 2=1的一切实数x ，y ，z 恒成立， 只需|a ﹣1|≥3，解得a ﹣1≥3或a ﹣1≤﹣3，∴a≥4或∴a≤﹣2． 即实数的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）． 故答案为：a≥4或a≤﹣2．
点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力．
17． 7log 234log lg25lg47log 2+-+ 【答案】2 【解析】 【分析】
根据对数的运算性质，化简、运算，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据对数的运算性质，可得7log 2
34log lg25lg47
log 2+-+
3411log 27(lg 25lg 4)2log 422=++-+31
22222
=+-+=． 【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的
关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
三、解答题
18．直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2()1x y ααα
⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数；以o 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3()4
R p
q r =?，曲线2:4sin C ρθ=．
（1）求曲线1C 的普通方程和极坐标方程；
（2）已知直线l 与曲线1C 和曲线2C 分别交于M 和N 两点（均异于点o ），求线段MN 的长．
【答案】（1）1C
的普通方程为2
2
(2)(1)5x y -+-=，1C 的极坐标方程为
4cos 2sin ρθθ=+；（2）【解析】 【分析】
（Ⅰ）消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；
（Ⅱ）设M ，N 的极坐标并分别代入1C ，2
C 可得1ρ，2
ρ，再利用12MN ρρ=+可得． 【详解】
（Ⅰ）因为曲线1C 的参数方程为21x y αα
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），
所以1C 的普通方程为()()2
2
215x y -+-=①， 在极坐标系中，将x cos y sin ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入①得2
4cos 2sin 0p p θρθ--=，
化简得，1C 的极坐标方程为：4cos 2sin ρθθ=+②． （Ⅱ）因为直线l 的极坐标方程为34
π
θ=
（R ρ∈）， 且直线l 与曲线1C 和和曲线2C 分别交于M ，N ，可设13,
4
M P π⎛⎫ ⎪⎝
⎭，23,
4N P π
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，
将13,4M P π⎛⎫
⎪⎝⎭代入②得1334cos 2sin 424422ππρ⎛=+=⨯-+⨯= ⎝⎭
将23,
4
N P π⎛⎫ ⎪⎝
⎭代入曲线2C :4sin ρθ=得234sin
442
πρ==⨯=．
所以12MN ρρ=+=+= 【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，熟记参数方程与普通方程的互化方法、以及极坐标与直角坐标的互化公式即可，属于常考题型．
19．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的
比赛成绩（满分为100分）分为6组：
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）记A 表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计A 的概率；
（Ⅲ）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
参考公式及数据：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．
【答案】（Ⅰ）0.025a =（Ⅱ）0.35 （Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用频率分布直方图小长方形的面积之和是1可得； （Ⅱ）由题意利用频率近似概率可得；
（Ⅲ）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论. 【详解】
（Ⅰ）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， 解得0.025a =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知0.025a =，
则比赛成绩不低于80分的频率为()0.0250.010100.35+⨯=，
故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分的概率约为0.35．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有1000.3535⨯=人， 由此可得完整的22⨯列联表：
所以2K 的观测值()2
10010252540900
9.89010.82835655050
91
k ⨯⨯-⨯=
=
≈<⨯⨯⨯， 所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”． 【点睛】
本题考查了频率分布直方图和独立性检验的应用问题，考查学生分析和解决问题的能力，是基础题。

20．已知函数()22f x x =-+.
（1）解不等式()(1)(7)f x f x f ++>；
（2）设()223g x x a x =-++，若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（I ）{|0x x <或3}x >；（II ）(,5][1,)-∞-⋃-+∞ 【解析】 【分析】
（I ）利用零点分段讨论可得不等式的解.
（II ）由题设可得{|()}{|()}y y g x y y f x =⊆=，求出两个函数的值域后可得实数a 的取值范围. 【详解】
（I ）不等式()(1)(7)f x f x f ++>等价于|2||1|3x x -+->， ①当2x >时，原不等式即为233x ->，解得3x >，所以3x >； ②当12x <≤时，原不等式即为13>，解得x ∈∅，所以x ∈∅； ③当1x ≤时，原不等式即为233x -+>，解得0x <，所以0x <； 所以不等式()(1)(7)f x f x f ++>的解集为{|0x x <或3}x >. （II ）对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12g x f x =成立，则
{|()}{|()}y y g x y y f x =⊆=.
因为()|2||23|g x x a x =-++≥|(2)(23)|x a x --+=|3|a +， 当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，又()|2|22f x x =-+≥，
所以32a +≥从而1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围(,5][1,)-∞-⋃-+∞. 【点睛】
解绝对值不等式的基本方法是零点分段讨论，必要时可结合函数的图像或数轴来讨论.等式的有解或恒成立问题，注意转化为函数值域的包含关系来处理. 21．已知()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，当[]1,0x ∈-时，函数解析式为
1()()42x x
b
f x b R =
-∈. （1）求b 的值，并求出()f x 在(]0,1上的解析式；
（2）若对任意的(]0,1x ∈，总有()f x a ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(]
()24(0,1)x
x
f x x =-∈；（2）2a ≤-
【解析】 【分析】
(1)由奇函数的性质求得b 的值，然后求解函数的解析式即可；
(2)首先利用换元法求得函数的最小值，然后结合恒成立的条件确定实数a 的取值范围即可. 【详解】
（1）因为函数()f x 为定义在[]
1,1-上的奇函数， 当[]
1,0x ∈-时，函数解析式为()()142x x
b
f x b R =-∈. 所以()00
10=1042b
f b =
--=，解得1b =， 即当[]1,0x ∈-时的解析式()11
42
x x f x =-，
当01]x ∈
（，时，[)1,0x -∈-，所以()11
4242
x x x x f x ---=-=- 又因为()()=f x f x -- ，所以()24,0,1]x
x
f x x =-∈
（. （2）由（1）得：当01]x ∈
（，时，()24x
x
f x =-， 令(]()2
1,2x
t t =∈，则22
4=x
x t t --，
令(]()2
=1,2y t t
t -∈，则易得出当=2t 时， y 有最小值2-，
即()f x 在
01]（，上的最小值为2-， 因为对任意的01]x ∈
（，，总有()f x a ≥， 所以2a ≤-. 【点睛】
本题主要考查奇函数的性质，由函数的奇偶性确定参数的方法，换元的数学思想等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。