2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第4章 三角函数、解三角形 课时作业16

课时作业16 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、选择题
1.(2019年宁夏平罗中学高一考试)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1
2(弦×矢＋矢2)，弧田(如图1)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π
3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 ( )
图1
A ．6平方米
B ．9平方米
C ．12平方米
D ．15平方米
解析：如图2，由题意可得∠AOB ＝2π
3，OA ＝4，
在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π
6，OD ＝12AO ＝1
2×4＝2，
图2
可得矢＝4－2＝2， 由AD ＝AO·sin π
3 ＝4×3
2＝23，
可得弦＝2AD ＝2×23＝43，
所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2
)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米)．故选B .
答案：B
2．(2019年四川省新津中学高一考试)已知α是第一象限角，那么α
2是 ( )
A ．第一象限角
B ．第一或第三象限角
C ．第二象限角
D ．第一或第二象限角
解析：∵α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，π
2＋2k π(k ∈Z)，
∴α2的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π，π
4＋k π(k ∈Z)，
①当k ＝2i ＋1 (其中i ∈Z)时，α
2的取值范围是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π＋2i π，5π4＋2i π，即α2属于第三象限角； ②当k ＝2i(其中i ∈Z)时，α2的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫2i π，π
4＋2i π，即α2
属于第一象限角．
故选B . 答案：B
3．(2019年广西南宁市第二中学高二月考)集合
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π
2，k ∈Z 中角表示的范围(阴影部分)是
( )
解析：集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π
2，k ∈Z ，
当k 为偶数时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π
2，k ∈Z 与
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
α⎪⎪⎪π4
≤α≤π2表示相同的角，位于第一象限；
当k 为奇数时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π
2，k ∈Z 与
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
α⎪⎪⎪5π4
≤α≤3π2表示相同的角，位于第三象限． 所以集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π
2，k ∈Z 表示的角的范围为
选项C ，故选C.
答案：C
4．(2019年甘肃省银川二中高一质检)下列各对角中，终边相同的角是 ( )
A.20π3和87π9 B ．－π3和22π
3 C.3π2和－3π2 D ．－7π9和－25π9
解析：对于A ，20π3＝6π＋2π3，87π9＝10π－π
3，终边不相同；
对于B ，与－π3终边相同的角为－π3＋8π＝23π
3， 故－π3和22π
3终边不相同； 对于C ，3π2和－3π
2终边不相同；
对于D ，与－7π9终边相同的角为－7π9－2π＝－25π
9， 故－7π9和－25π
9终边相同． 故选D. 答案：D
5．(2019年新疆兵团第二师华山中学高一考试)终边落在第二象限的角组成的集合为 ( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π
2＋2k π，k ∈Z
B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＜α＜π
2＋k π，k ∈Z
C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
α⎪⎪⎪π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪π2＋k π＜α＜π＋k π，k ∈Z 解析：∵终边落在y 轴正半轴的角的集合为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π
2＋2k π，k ∈Z ，
终边落在x 轴负半轴的角的集合为{α|α＝π＋2kπ，k ∈Z }， ∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
α⎪⎪⎪π2＋2k π＜α＜π＋2kπ，k ∈Z .
故选C. 答案：C
6．(2019年广西河池市高级中学高一月考)若sin α·cos α＜0，则角α的终边位于 ( )
A ．第一、二象限
B ．第二、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，
cos α＜0，此时α的终边位于第二象限，
或者⎩⎪⎨⎪⎧sin α＜0，
cos α＞0，
此时α的终边位于第四象限，
综上可得，角α的终边位于第二、四象限． 本题选择C 选项． 答案：C
7．(2019年福建省漳州市高一检测)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为 ( )
A.55 B ．－255 C ．－2 D ．－1
2
解析：根据三角函数的定义可知tan α＝y x ＝－2
1＝－2，故选C. 答案：C
8．(2019年江西省南昌十中考试)已知角x 的终边上一点坐标为
⎝
⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为 ( ) A.5π6 B.5π
3
C.11π6
D.2π3
解析：因为sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π－π6＝sin π6＝12，
cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－3
2，
所以点⎝
⎛⎭⎪⎫
sin 5π6，cos 5π6在第四象限．
又因为tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫
2π－π3＝tan 5π3，
所以角α的最小正值为5π
3.故应选B. 答案：B
9．(2019年广西南宁市第三中学月考)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－4
5，则m 的值为 ( )
A.12 B ．－12 C ．－32 D.3
2
解析：因为角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，所以r ＝64m 2＋9，cos α＝－8m r ＝－45，解得m ＝1
2，故选A. 答案：A
10．(2019年河南省天一大联考高三测试)在平面直角坐标系xOy
中，角α的终边经过点P (3，4)，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α－2 017π2＝ ( ) A ．－45 B ．－3
5
C.35
D.45
解析：角α的终边经过点P (3，4)，根据三角函数的定义得到sin
α＝45，cos α＝3
5，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－2 017π2＝sin(α－1 008π－π2)＝sin(α－π2)＝－sin(π2－α)＝－cos α＝－3
5.
答案：B
11．(2019年陕西省宝鸡市金台区高一考试)给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于y 轴的正半轴上的角，故②是错误的；④中α与β的终边不一定相同，比如α＝π6，β＝5π
6；⑤中没有考虑x 轴的负半轴上的角．只有③是正确的．
答案：A 12.
图3
(2019年贵州省凯里市高二月考)圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图3所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为 ( )
A ．720sin1°
B ．720sin0.5°
C ．720sin0.25°
D ．720sin0.125°
解析：设圆的半径为1，正多边形的边所对的圆心角为360°
720＝0.5°，边长为1＋1－2cos0.5°＝2（1－cos0.5°）＝2sin0.25°，所以720×2sin0.25°＝2π，即π＝720sin0.25°.
故选C. 答案：C 二、填空题
13．(2019年甘肃省银川二中度高一考试)已知x 满足－1
2≤sin x ≤3
2，则角x 的取值范围为________．
解析：先观察一个周期[－π，π]，
图4
易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0， ∴角x 的取值范围⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2π3，7π6，
又y ＝sin x 的最小正周期为2π，
∴角x 的取值范围为{x |2π3＋2k π≤x ≤7π6＋2k π或－π
6＋2k π≤x ≤π
3＋2k π，k ∈Z }．
故答案为{x |2π3＋2k π≤x ≤7π6＋2k π或－π6＋2k π≤x ≤π
3＋2k π，k ∈Z }．
答案：{x |2π3＋2k π≤x ≤7π6＋2k π或－π6＋2k π≤x ≤π
3＋2k π，k ∈Z }
14．(2019年山东省师范大学附属中学高一考试)已知扇形的周长为6，当扇形面积最大时，扇形的圆心角________．
解析：设扇形半径为r ，弧长l ＝r ·α， 周长2r ＋r ·α＝6，r ＝62＋α
，
S 扇＝12lr ＝12r 2·α＝12·36（2＋α）2
·α＝184α
＋α＋4
≤182
4
α
·α＋4＝188＝94，
当且仅当4
α
＝α，即α＝2时取等号，则当扇形面积最大时，扇形
的圆心角α＝2.
答案：2
15．(2019年浙江省高中联盟高一联考)如图5，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为________．
图5
解析：设正方形的边长为a ，
由已知可得a 2－14πa 2＝1
2αa 2⇒α＝2－π2. 答案：2－π
2
16．(2019年浙江余姚中学高一质检)已知某扇形的面积为4 cm 2，周长为8 cm ，则此扇形圆心角的弧度数是________；若点(a ，9)在函数y ＝3x
的图象上，则不等式sin ax ≥3
2的解集为________．
解析：由题设可得⎩⎨⎧12lr ＝4，l ＋2r ＝8，
解之得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4，由弧长公式可知扇
形圆心角的弧度数是θ＝l
r ＝2.由题设3a ＝9，则a ＝2，所以不等式即为sin2x ≥3
2，借助单位圆中三角函数线可得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，即k π＋π6≤x ≤k π＋π
3，故应填答案2；
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪π6＋k π≤x ≤π
3＋k π，k ∈Z .
答案：2 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪π6＋k π≤x ≤π
3＋k π，k ∈Z
三、解答题
17．(2019年广东清远三中高一月考)已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .
(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝π
3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积． 解：(1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π
3 cm. (2)由已知得，l ＋2R ＝20， 所以S ＝12lR ＝1
2(20－2R )R ＝10R －R 2 ＝－(R －5)2＋25.
所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2 rad.
(3)设弓形面积为S 弓，由题知l ＝2π
3 cm ， S 弓＝S 扇形－S 三角形＝12×2π3×2－12×22
×sin π3
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－3cm 2. 18．(2019年上海市黄浦区高三模拟)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图6所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知OA ＝10米，OB ＝x 米(0＜x ＜10)，线段BA 、CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．
图6
(1)求θ关于x 的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值．
解：(1)根据题意，可算得弧BC ＝x ·θ(m)， 弧AD ＝10θ(m)．
又BA ＋CD ＋BC ︵＋AD ︵
＝30， 于是10－x ＋10－x ＋x ·θ＋10θ＝30， 所以θ＝
2x ＋10
x ＋10
(0＜x ＜10)． (2)依据题意，可知y ＝S 扇OAD －S 扇OBC
＝12θ×102
－12θx 2
化简，得y ＝－x 2＋5x ＋50 ＝－⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －522＋2254.
当x ＝52(满足条件0＜x ＜10)时，y max ＝2254(m 2
)．
所以当x ＝52米时铭牌的面积最大，且最大面积为225
4平方米． 19．(2019年海南省万宁市高三高考适应性考试)如图7, 单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交与点A ，与钝角α的终边OB 交于点B (x B ，y B )，设∠BAO ＝β.
图7
(1)用β表示α；
(2)如果sin β＝4
5，求点B (x B ，y B )的坐标； (3)求x B －y B 的最小值．
解：(1)∵∠AOB ＝α－π2＝π－2β，∴α＝3π
2－2β.
(2)由sin α＝y B
r ，又r ＝1，得y B ＝sin α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－2β
＝－cos2β＝2sin 2
β－1＝2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫452－1＝725. 由钝角α，知x B ＝cos α＝－1－sin 2
α＝－24
25，
∴B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2425，725.
(3)法一：x B －y B ＝cos α－sin α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，
又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋π4∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4，5π4，
cos(α＋π4)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－1，－22，
∴x B －y B 的最小值为－ 2.
法二：α为钝角，∴x B ＜0，y B ＞0，x 2
B ＋y 2B ＝1，
x B －y B ＝－(－x B ＋y B )，
(－x B ＋y B )2≤2(x 2B ＋y 2B )＝2，∴x B －y B ≥－2，
∴x B －y B 的最小值为－ 2.。