2011年中考专题复习经典因式分解_讲义.

第三讲：因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；
(2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；
(3 ) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；
(4 ) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；
例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：ay ax y x ++-22
例4、分解因式：2222c b ab a -+-
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---
综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22
（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-
（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--
（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a
（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .
例5、分解因式：652++x x 例6、分解因式：672+-x x
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=
分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式：101132+-x x
练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x
（3）317102+-x x （4）101162++-y y
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：221288b ab a --
练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x
练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a
综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --
（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a
（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m
（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++
（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++
思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222
五、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(200522---x x （2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
练习13、分解因式（1）)(4)(22222y x xy y xy x +-++
（2）90)384)(23(22+++++x x x x （3）222222)3(4)5()1(+-+++a a a
例14、分解因式（1）262234+---x x x x （2）144234+++-x x x x
练习14、（1）673676234+--+x x x x （2）)(2122234x x x x x +++++
六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）4323+-x x （2）3369-++x x x
练习15、分解因式
（1）893+-x x （2）4224)1()1()1(-+-++x x x
（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++
（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++
七、待定系数法。

例16、分解因式613622-++-+y x y xy x
例17、（1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

练习17、（1）2910322-++--y x y xy x （2）6752322+++++y x y xy x
（3） 已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因
式。

（4） k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题 1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式： m 3-4m= .
3.分解因式： x 2-4y 2= __ _____.
4、分解因式：244x x ---=___________ ______。

5.将x n
-y n 分解因式的结果为(x 2+y 2)(x+y)(x-y)，则n 的值为 .
6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。

二、选择题
7、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( )
A 、5mn
B 、225m n
C 、25m n
D 、25mn
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A 、()()2339a a a +-=-
B 、()()22a b a b a b -=+-
C 、()2
4545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分解因式的是（ ）
(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2-4x+4
11．把（x －y ）2
－（y －x ）分解因式为（ ）
A ．（x －y ）（x －y －1）
B ．（y －x ）（x －y －1）
C ．（y －x ）（y －x －1）
D ．（y －x ）（y －x ＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（ ）
A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2＋3c ）
B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）
C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）
D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）
13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）
A.2
B.4
C.2y 2
D.4y 2
三、把下列各式分解因式：
14、nx ny - 15、2294n m -
16、
()()m m n n n m -+- 17、3222a a b ab -+
18、
()222416x x +- 19、22)(16)(9n m n m --+；
五、解答题 20、如图，在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm 的正方形。

求纸片剩余部分的面积。

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

()()
()()()
()()()()
()()()()()
24284216842(1) 111(2) 1111(3) 11111(4) 111111(5) _________________________________________________x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+--=++--=+++--=++++-
经典二：
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式xx xx x 54321
-+-+-
2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式x x 3234
+-
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333
中考点拨
例1.在∆A B C
中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b
+=2
例2. 已知：x x x x +=+=
1
2133，则__________
题型展示
1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。

2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。

实战模拟
1. 分解因式：
（）（）131083108
233315543222x x x x x a a a a ---+++-++-()()
2. 已知：x y x y x y +==-+6133，，求：的值。

3. 矩形的周长是28cm ，两边x,y 使x x y x y y 32230
+--=，求矩形的面积。

4. 求证：n n 35+是6的倍数。

（其中n 为整数）
5. 已知：a 、b 、c 是非零实数，且ab c a b c b c a c a b
2221111111
3++=+++++=-，()()()，求a+b+c 的值。

6. 已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较a b c a b 222224+-和的大小。

经典三：因式分解练习题精选
一、填空：1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____
3、232y x 与y x 612的公因式是＿
4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式2353515y y y ∙=中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _____________________。

6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x
8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x
9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。

10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x
11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。

13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。

14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。

15、方程042=+x x ，的解是________。

二、选择题：
1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）
A 、－a 、
B 、))((b x x a a ---
C 、)(x a a -
D 、)(a x a --
2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）
A 、m=—2，k=6，
B 、m=2，k=12，
C 、m=—4，k=—12、
D m=4，k=12、
3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个
4、计算)1011)(911()311)(211(2
232---- 的值是（ ） A 、21 B 、20
11.,101.,201D C 三、分解因式：
1 、234352x x x --
2 、 2633x x -
3 、 22)2(4)2(25x y y x ---
4、22414y xy x +--
5、x x -5
6、13-x
7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、811824+-x x 9 、24369y x -
四、代数式求值
1、已知3
12=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

2、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值
3、已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值
五、计算：
（1） 0.7566.24366.3⨯-⨯ （2） 200020012121⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛- （3）
2244222568562⨯+⨯⨯+⨯
六、试说明：
1、对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算
1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。

（结果保留两位有效数字）
2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。