河北省邢台市第一中学2016-2017学年高二下学期第二次

邢台一中2016—2017学年下学期第二次月考
高二年级数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分） 1.n
(2x
的展开式中各项二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ） A ．-120 B ．120 C ．-60 D ．60 2.
2
41
dx x --⎰等于（ ）
A ．21n2-
B ．21n2
C ．1n2-
D ．1n2 3.若随机变量2X
N(u,σ)(σ0)>，则有如下结论（ ）
P(u X u )0.6826σσ-<≤+=， P(u 2X u 2)0.9544σσ-<≤+=，
P(u 3X u 3)0.9974σσ-<≤+=，一班有60名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，
平均分110，方差为100，理论上说在120分到130分之间的人数约为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4.已知随机变量X,Y 满足X+Y=8，若X
B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是（ ）
A ．6和2.4
B ．2和2.4 C.2和5.6 D ．6和5.6
5.若3
3
a 2
(x+x )dx -=⎰
，则在a
的展开式中，x 的幂函数不是整数的项共有（ ） A ．13项 B ．14项 C.15项 D ．16项 6.随机变量X 的分布列为()(1)c P X k k k ==+，1,2,3,4k =．c 为常数，则25
()
32
P X <<的值为（ ）
A ．45
B ．56 C.23 D ．3
4
7.把二项式8
的展开式中所有的项重新排成一列，其中有理项都互不相邻的概率
为（ ） A ．
16 B ．14 C.13 D ．512
8.函数(3)1y x x x =-+（ ）
A ．极大值为(2)5f =，极小值为(0)1f =
B ．极大值为(2)5f =，极小值为(3)1f = C. 极大值为(2)5f =，极小值为(0)(3)1f f == D ．极大值为(2)5f =，极小值为(3)1f =，(1)3f -=- 9.已知函数2
1f(x)x sinx+xcosx 2
=
，则其导函数f'(x)的图象大致是（ ） A ． B ． C.
D ．
10.已知函数1f(x)=1nx x+
x -，若1
a=f()3
-，b=f(π)，c=f(5)，则（ ） A ．c<b<a B ．c<a<b C. b<c<a D ．a<c<b 11.已知32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数，那么b c +（ ） A ．有最大值
152 B ．有最大值152- C.有最小值15
2
D ．有最小值15
2
-
12.设函数f(x)在R 上存在导数f '(x)，x R ∀∈，有2
f (x )f (x )=x -+，在(
0,)+∞上f '(x)<x ，若f(4m)f(m)84m --≥-，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．[)2,+∞
B ．[]2,2- C. [)0,+∞ D ．(][)22+-∞-∞，
，
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.点P 在曲线:1C y x =+上移动，若曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ．
14.已知函数1
()1
ax f x x +=+（a 为常数），在(1,1)-内为增函数，求实数a 的取值范围是 ．
15.已知0a >，6x)
展开式的常数项为15，则a
a
sin 2x)dx=-⎰ ．
16.已知实数a,b 满足1n(b+1)+a 3b=0-，实数c,d 满足2d 0-=，则22(a c)+(b d)--的最小值为 ． 三、解答题
17.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，
已知直线l 的参数方程为sin 2cos x t y t ϕ
ϕ=⎧⎨=+⎩
（t 为参数，0ϕπ<<），曲线C 的极坐标方程为
2cos 8sin ρθθ=．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当ϕ变化时，求AB 的最小值． 18.已知函数32f(x)=x 3x 9x 3+--
（Ⅰ）若函数f(x)在点00(x ,f(x ))处的切线l 与直线x 9y+1=0-垂直，求切线l 的方程； （Ⅱ）求函数f(x)的极值．
19.为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图是测量数据的茎叶图：
规定：当产品中的此种元素含量不小于16毫克时，该产品为优等品．
（1）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ζ的分布列及其数学期望E(ζ)；
（2）从甲厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．
20.为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过
100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有5人，不超过100km/h 的有15人．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关；
（Ⅱ ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h 的车辆数为ζ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ζ的分布列和数学期望．
参考公式：2
2
n(ad bc)k =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
-，其中n=a+b+c+d ．
参考数据：
21.设函数2
()1n (0)2
f x x x mx m =
+-> （1）求()f x 的单调区间；
（2）证明：曲线()y f x =不存在经过原点的切线． 22.已知函数32()28f x x ax =-+．
（1）若()0f x <对[]1,2x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在整数a ，使得函数223()()41238g x f x ax a x a =+-+-在区间(0,2)上存在极小值，若存在，求出所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．
试卷答案
一、选择题
1-5:DCCBC 6-10:BDBCA 11、12：BA 二、填空题 13.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫
⎪⎢⎥
⎢⎣⎦⎣⎭
14.a>1 15. π2 16.1 三、解答题 17.【解析】（1）由sin 2cos x t y t ϕ
ϕ
=⎧⎨
=+⎩消去t 得： cos sin 2sin 0x y ϕϕϕ-+=，
所以直线l 的普通方程为cos sin 2sin 0x y ϕϕϕ-+=，
由2cos 8sin ρθθ=，得()2
cos 8sin
ρθρθ=，把cos x ρϕ=， sin y ρϕ=代入上式，得28x y =，
所以曲线C 的直角坐标方程为28x y =.
（2）将直线l 的参数方程代入28x y =，得22sin 8cos 160t t ϕϕ--=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1228cos sin t t ϕϕ+=
， 12
216
sin t t ϕ
=-，
所以12AB t t =-=
28
sin ϕ
=
=，
当2
π
ϕ=
时， AB 的最小值为8．
18.试题解析：（Ⅰ）2f'(x)=3x +6x 9-
根据题意得2
000f'(x )=3x +6x 9=9--；∴0x =0或-2；
∴①当0x =0时，0f(x )3=-；∴切线方程为y=9x 3--； ②当0x 2=-时，0f(x )19=；切线方程为y 9x 1=-+；
综上切线l 方程为9x+y+3=0或9x+y 1=0-
（Ⅱ）f'(x)=3(x+3)(x 1)-；令f'(x)>0则x>1或x<3-，令f'(x)<0则3x 1-<< ∴f(x)的极大值为f(3)=24-，f(x)的极小值为f (1)8=-． 19.（1）由题意知，ζ的值为0，1，2，3，
0355310C C 1P(ζ=0)=C 12=，1255
310C C 5P(ζ=1)=C 12=，21
55310C C 5P(ζ=2)=C 12=，35310C 1P(ζ=3)=C 12
=，
∴ζ的分布列为
E ζ=0123121212122
⨯
+⨯+⨯+⨯=． （2）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63
105
=， 乙厂抽取的样本中有5件，优等品率为
51102
=， 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，
即A= “抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”， B= “抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，
2200333321127P(A)=C ()()C ()()5522500⨯=，
3312
33
31181P(B)=C ()C ()()5221000
⨯=， ∴抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率：278127
P=P(A)+P(B)5001000200
=
+=．
20. 解：（Ⅰ）
∵22
50(2015105)K 30202525
⨯-⨯=
⨯⨯⨯25
8.3337.8793=≈>， ∴所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关.
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km/h 的车辆的概率为153
5010
=. ∴ζ的可能取值为0，1，2，3，且3
ζ
B(3,
)10
， ∴003337343P(ζ=0)=C ()()=10101000，1
12337441P(ζ=1)=C ()()=10101000
，
221337189P(ζ=2)=C ()()=10101000，3
30
33727P(ζ=3)=C ()()=10101000
，
分布列为：
E(ζ)=0110001000⨯
+⨯+230.91000100010⨯+⨯==. 或E(ζ)=np=30.910
⨯=. 21. 试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'
11
()x mx f x x m x x
-+=+-=.
令'()0f x =，得210x mx -+=，
当240m ∆=-≤，即02m <≤时，'()0f x ≥，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增， 当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得
1x =
2x =12
0x x <<， 在区间()10,x 及()2,x +∞内，'()0f x >，在12(,)x x 内，'()0f x <， ∴()f x 在区间()10,x 及()2,x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减. （2）假设曲线()y f x =在点(,())x f x (0)x >处的切线经过原点，
则有'
()()f x f x x
=，即2
1ln 12x x mx x m x x
+-=+-， 化简得：2
1ln 10(0)2
x x x -+=> （*）
记21()ln 12g x x x =-+(0)x >，则2'
11()x g x x x x
-=-=，
令'()0g x =，解得1x =.
当01x <<时，'()0g x <，当1x >时，'()0g x >， ∴3(1)2g =
是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122
x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线.
22. 试题解析：（1）由()0f x <得322
288
2x a x x x
+>=+， 设()282h x x x =+
，则()3
16
2h x x =-′， 因为]2,1[∈x ，∴()0h x ≤′，则()h x 在[]1,2上是减函数， ∴()()max 110h x h ==，
()0f x <对[]1,2x ∀∈恒成立，即28
2a x x
>+
对[]1,2x ∀∈恒成立， ∴10a >，则实数a 的取值范围为()10,+∞. （2）
()322323123g x x ax a x a =+-+，
∴()()()2
2
661262g x x ax a x a x a =+-=-+′， ①当0a =时，()0g x ≥′，()g x 单调递增，无极值.
②当0a >时，若2x a <-，或x a >，则()0g x >′；若2a x a -<<，则()0g x <′. ∴当x a =时，有极小值.
()g x 在()0,2上有极小值，∴02a <<.∴存在整数1a =.
③当0a <时，若x a <或2x a >-，则()0g x >′；若2a x a <<-，则()0g x <′. ∴当2x a =-时，()g x 有极小值.
()g x 在()0,2上有极小值，
∴022a <-<，得10a -<<.
由①②③得，存在整数1a =，使得函数()g x 在区间()0,2上存在极小值.
答案 一、选择题
1—5 DCCBC 6—10 BDBCA 11—12 BA 二、填空题
13. π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫
⎪⎢⎥
⎢⎣⎦⎣⎭
14. a>1 15. 16. 1 三、解答题
17. 【解析】（1）由{
2x tsin y tcos ϕϕ
==+消去t 得： cos sin 2sin 0x y ϕϕϕ-+=，
所以直线l 的普通方程为cos sin 2sin 0x y ϕϕϕ-+=，
由2cos 8sin ρθθ=，得()2
cos 8sin ρθρθ=，把cos x ρϕ=， sin y ρϕ=代入上式，得28x y =，
所以曲线C 的直角坐标方程为28x y =.
（2）将直线l 的参数方程代入28x y =，得22sin 8cos 160t t ϕϕ--=， 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1228cos sin t t ϕϕ+=
， 122
16sin t t ϕ
=-，
所以1228
sin AB t t ϕ
=-===
， 当2
π
ϕ=
时， AB 的最小值为8．
18. 试题解析：（Ⅰ） 根据题意得；∴
；
∴①当
时，；∴切线方程为
； ②当
时，
；切线方程为
；
综上切线方程为或
（Ⅱ）；令则或，令则
∴的极大值为，的极小值为．
19. （1）由题意知，的值为0,1,2,3，
，，，，
∴的分布列为
．
（2）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为，
乙厂抽取的样本中有5件，优等品率为，
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，
即“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，
，
，
∴抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率：．
20. 解：（Ⅰ）
，
所以有
的把握认为平均车速超过
与性别有关.
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶
员为女性且车速不超过的车辆的概率为.
的可能取值为，且，
，
，
分布列为：
. 或
.
21. 试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'
11
()x mx f x x m x x
-+=+-=.
令'()0f x =，得2
10x mx -+=，
当2
40m ∆=-≤，即02m <≤时，'()0f x ≥，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增， 当2
40m ∆=->，即2m >时，由2
10x mx -+=解得
1x =
2x =120x x <<， 在区间()10,x 及()2,x +∞内，'()0f x >，在12(,)x x 内，'()0f x <， ∴()f x 在区间()10,x 及()2,x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减. （2）假设曲线()y f x =在点(,())x f x (0)x >处的切线经过原点，
则有'
()()f x f x x =，即2
1ln 12x x mx x m x x +-=+-， 化简得：2
1ln 10(0)2
x x x -+=> （*）
记21()ln 12g x x x =-+(0)x >，则2'
11()x g x x x x
-=-=，
令'()0g x =，解得1x =.
当01x <<时，'()0g x <，当1x >时，'()0g x >， ∴3(1)2g =
是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122
x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线.
22. 试题解析：（1）由()0f x <得322
288
2x a x x x +>=+， 设()282h x x x =+
，则()3
16
2h x x =-′， 因为]2,1[∈x ，∴()0h x ≤′，则()h x 在[]1,2上是减函数， ∴()()max 110h x h ==，
()0f x <对[]1,2x ∀∈恒成立，即2
8
2a x x >+
对[]1,2x ∀∈恒成立， ∴10a >，则实数a 的取值范围为()10,+∞. （2）
()322323123g x x ax a x a =+-+，
∴()()()22661262g x x ax a x a x a =+-=-+′， ①当0a =时，()0g x ≥′，()g x 单调递增，无极值.
②当0a >时，若2x a <-，或x a >，则()0g x >′；若2a x a -<<，则()0g x <′. ∴当x a =时，有极小值.
()g x 在()0,2上有极小值，∴02a <<.∴存在整数1a =.
③当0a <时，若x a <或2x a >-，则()0g x >′；若2a x a <<-，则()0g x <′. ∴当2x a =-时，()g x 有极小值.
()g x 在()0,2上有极小值，
∴022a <-<，得10a -<<.
由①②③得，存在整数1a =，使得函数()g x 在区间()0,2上存在极小值.。