高一数学《平面向量小结与复习》教案

城东蜊市阳光实验学校郯城第三中学高一数学平面向量小结与复习〔1〕
教案
教学目的：
1理解本章知识网络构造；2进一步熟悉根本概念及运算律；
3理解重要定理、公式并能纯熟应用；
4加强数学应用意识，进步分析问题，解决问题的才能
5认识事物之间的互相转化；6培养学生的数学应用意识
教学重点：突出本章重、难点内容
教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学方法:自学辅导法
在给出本章的知识网络构造后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对根本概念、
根本运算律、重要定理、公式的熟悉程度
教学过程：
一、引入
前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方
法这一节，我们开始对本章进展小结与复习
二本章知识
1本章知识网络构造
2本章重点及难点
(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；
(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法那么的理解和运用，两边和其中一边的对角解斜三角形等；
(3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用
3向量的概念
(1)向量的根本要素：大小和方向
(2)向量的表示：
几
何
表
示
法
AB
，
a
；坐标表示法
(,)
a xi yj x y =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a
｜
(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a
｜＝0
向量0a 为单位向量⇔｜0a
｜＝1
(5)相等的向量：大小相等，方向一样
),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2
12
1y y x x
(6)平行向量(一一共线向量)：方向一样或者者相反的向量，称为平行向量记作a ∥b
由于向量可以进
展任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为一一共线向量 4向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕及其各运算的坐标表示和性质
运
算
类
型
几何方法坐标方法运算性质向
量的加法1平行四边形法那么
2三角形法那么)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x
b
a
+
+
=
+
a
b
b
a
+
=
+
)
(
)
(c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
AB BC AC
+=
向量
的减法三角形法那么
)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x
b
a
-
-
=
-
)
(b
a
b
a
-
+
=
-
AB BA
=-
OB OA AB
-=
向量的乘法
a
λ是一个向量,满足:
λ>0时,a
λ与a
同向;
λ<0时,a
λ与a
异向;
λ=0时,a
λ=0
)
,
(y
x
aλ
λ
λ=
a
a
)
(
)
(λμ
μ
λ=
a
a
a
μ
λ
μ
λ+
=
+)
(b
a
b
a
λ
λ
λ+
=
+)
(
a
∥b
a
b
λ
=
⇔
向量的数量积
b
a
•是一个数
10
=
a或者者0
=
b
时,b
a
•=0
20
≠
a且0
≠
b时,
>
<
=
•b
a
b
a
b
a
,
cos
|
||
|
2
1
2
1
y
y
x
x
b
a
+
=
•
a
b
b
a
•
=
•
)
(
)
(
)
(b
a
b
a
b
a
•
=
•
=
•λ
λ
λ
c
b
c
a
c
b
a
•
+
•
=
•
+)
(
2
2|
|a
a
=,2
2
|
|y
x
a+
=
|
||
||
|b
a
b
a
≤
•
5重要定理、公式：
(1)平面向量根本定理
2
1
,e
e
是同一平面内两个不一一共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数2
1
,λ
λ，使
2
2
1
1
e
e
a
λ
λ+
=
(2)两个向量平行的充要条件
a
∥b
⇔a
＝λb
⇔0
1
2
2
1
=
-y
x
y
x
(3)两个向量垂直的充要条件
a ⊥
b ⇔a ·b
＝O ⇔0
2121=+y y x x
三、讲解范例：
例1在四边形ABCD 中，AB ·BC ＝BC ·CD ＝CD ·DA ＝DA ·AB ，试证明四边形ABCD
是矩形
分析：要证明四边形ABCD 是矩形，可以先证四边形ABCD 为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进展考虑
证明：设AB ＝a
，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d ，那么
∵a ＋b
＋c ＋d ＝O ∴a ＋b
＝－〔c ＋d )
两边平方得
｜a ｜2＋2a ·b
＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋2c ·d ＋｜d ｜2，
又a ·b
＝c ·d
∴｜a
｜2＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋｜d ｜2〔1〕 同理｜a
｜＋｜d ｜2＝｜b ｜2＋｜c ｜2〔2〕 由(1)(2)得｜a
｜2＝｜c ｜2，｜d ｜2＝｜b ｜2， ∴a
＝c ，d ＝b ，
即AB ＝CD ，BC ＝DA ∴四边形ABCD 是平行四边形
于是
AB ＝－CD ，即a
＝－c ，
又a ·b ＝b ·c ，故a ·b ＝b ·〔－a
〕 ∴a ·b
＝O
∴
AB ⊥BC
∴四边形ABCD 为矩形
评述：向量具有二重性，一方面具有“形〞的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会
例2设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i ，
j
分别是坐标平面上x 轴，y 轴正方向的单位向量，假设向
量
AB ＝i
－2
j ，BC ＝i ＋ｍj
，那么是否存在实数ｍ，使A 、B 、C 三点一一共线
分析：可以假设满足条件的ｍ存在，由A 、B 、C 三点一一共线⇔AB ∥BC ⇔存在实数λ，
使AB ＝λBC ，从而建立方程来探究
解法一：假设满足条件的ｍ存在，由A 、B 、C 三点一一共线，即AB ∥BC ，
∴存在实数λ，使
AB ＝λBC ，
i
－2
j ＝λ〔i ＋ｍ
j
〕，
⎩⎨
⎧-==2
1
m λλ∴ｍ＝－2 ∴当ｍ＝－2时，A 、B 、C 三点一一共线
解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：i ＝〔1，O 〕，
j
＝〔O ，1〕
∴
AB ＝〔1，O 〕－2〔O ，1〕＝〔1，－2〕
， BC ＝〔1，O 〕＋ｍ〔O ，1〕＝〔1，ｍ〕，
由A 、B 、C 三点一一共线，即
AB ∥BC ，
故1·ｍ－1·〔－2〕＝O 解得ｍ＝－2
∴当ｍ＝－2时，A 、B 、C 三点一一共线
四、课堂练习：
五、小结：纯熟定理、公式应用，并加强数学应用意识，进步分析问题、解决问题的才能
六、课后作业：
七、板书设计〔略〕
八、课后记。