泉州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析

泉州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．随机变量X 的分布列如右表，若7
()E X =
，则()D X =（ ）
A ．
12
B ．
36 C ．
6 D ．
6
【答案】B 【解析】
分析：根据题目条件中给出的分布列，可以知道a b 、和
16之间的关系，根据期望为()7
6
E X =，又可以得到一组关系，这样得到方程组，解方程组得到a b 、的值. 进而求得()D X . 详解：根据题意，11,6a b ++
=()17 0122,66E X a b a b =⨯+⨯+⨯=+= 解得3121
,,6263
a b ==== 则()2
2
2
17171717012.
66263636D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故选B.
点睛：本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，属基础题.
2．已知奇函数()f x 在R 上是单调函数，函数()f x '是其导函数，当0x >时，1
()ln ()f x x f x x
'<-，则使()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．(,0)-∞ B ．(1,0)-
C ．(0,1)
D ．(0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
将不等式变形，并构造函数()()ln g x f x x =⋅，利用导函数可判断在0x >时()f x 的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当0x <时()f x 的符号，进而得解. 【详解】
当0x >时，1
()ln ()f x x f x x '<-，即1()ln ()0f x x f x x
'+<； 令()()ln g x f x x =⋅， 则()()()1
ln g x f x x f x x
'='⋅+
，
由题意可知()0g x '<，即()()ln g x f x x =⋅在0x >时单调递减，且()()11ln10g f =⋅=， 所以当01x <<时，()()ln 0g x f x x =⋅>，由于此时ln 0x <，则()0f x <不合题意； 当1x >时，()()ln 0g x f x x =⋅<，由于此时ln 0x >，则()0f x <不合题意； 由以上可知0x >时()0f x <， 而()f x 是R 上的奇函数， 则当0x <时，()0f x >恒成立，
所以使()0f x >成立的x 的取值范围为(,0)-∞， 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.
3．已知i 为虚数单位，复数z 满足11i
z i
+=-，则复z =（ ） A ．1 B ．1-
C ．i
D ．i -
【答案】C 【解析】 【分析】
利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式． 【详解】 解：复数11i z i
+=-(1)(1)2(1)(1)2i i i
i i i ++===-+， 故选：C ． 【点睛】
本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，属于基础题． 4．
(2)(3)
1i i i
++=+（ ）
A ．5
B ．5i
C ．6
D ．6i
【答案】A 【解析】 【分析】
由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】
由题()()() 2351
5.
11
i i i
i i
+++
==
++
故选A
【点睛】
本题考查了复数的运算，属于基础题.
5．将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,则函数的单调增区间
为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出图象变换的函数解析式，再结合正弦函数的单调性可得出结论．
【详解】
由题意，
，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的单调性．解题时可结合正弦函数的单调性求单调区间．6．函数，若有8个不相等的实数根，则的取值范围是A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
方程有8个不相等的实数根指存在8个不同的值；根据函数的图象，可知方程
必存在2个大于1的不等实根.
【详解】
，函数为偶函数，利用导数可画出其函数图象（如图所示），
若有8个不相等的实数根关于的二次方程必有两个大于1的不等实根，
.
【点睛】
与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求的范围.
7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为
.
考点：三视图.
8．已知i是虚数单位,若复数z满足i1i
z=+,则2z=
A ．-2i
B ．2i
C ．-2
D ．2
【答案】A 【解析】
由i 1i z =+得22
(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.
【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i ；(2)
＝i,
＝－i.
9．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中x y +的值为（ ） A ．543 B ．425 C ．393 D ．275
【答案】C 【解析】
分析：根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．
详解：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x=53=243种，
当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（1
1354322C C C A ⋅⋅+221
5312
2
C C C A ⋅⋅）=25种，再排列有3
3A =6种，所以y=25×6=150种， 所以x+y= 1． 故选：C ．
点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏． 10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
16
3
B ．8
C ．6
D ．83
【答案】A 【解析】
分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是一个长宽分别为4,2的矩形，棱锥的高为2，利用棱锥的体积公式可得结果. 详解：根据三视图知：
由三视图可知，该几何体是一个四棱锥， 它的底面是个长宽分别为4,2的矩形， 棱锥的高为2，
116
42233
V ∴=⨯⨯⨯=，故选A.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
11．已知函数2sin(2)||2y x πφ⎛
⎫=+Φ< ⎪⎝⎭图象经过点，则该函数图象的一条对称轴方程为
（ ） A ．6
x π
=
B ．12
x π
=-
C ．12
x π
=
D ．6
x π
=-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先把点带入求出φ，再根据正弦函数的对称轴即可． 【详解】
把点带入2sin(2)y x =+Φ得sin φ=
，因为||2πφ<，所以3πφ=，所以
2sin(2)2sin 23y x x π⎛
⎫=+Φ=+ ⎪⎝
⎭，函数的对称轴为2,32122k x k x k z πππππ+=+⇒=+∈．当
012
k x π
=⇒=
，所以选择C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆常考三角函数的性质有：单调性、周期性、对称轴、对称中心、奇偶性等．属于中等题．
12．已知1x >，1y >，且lg lg 4x y +=，则lg lg x y ⋅的最大值是( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
14
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题中条件，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】
因为1x >，1y >，所以lg 0x >，lg 0>y ；
又lg lg 4x y +=，所以2
lg lg lg lg 42+⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭
x y x y ，
当且仅当lg lg 2==x y ，即100x y ==时，等号成立. 故选：A 【点睛】
本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于基础题型. 二、填空题：本题共4小题
13．若52345
012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则12345a a a a a ++++的
值是________ 【答案】2 【解析】 【分析】
利用赋值法,分别令0,1x x ==-代入式子即可求得12345a a a a a ++++的值. 【详解】
因为52345
012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++
令0x =,代入可得0123451a a a a a a =+++++ 令1x =-,代入可得01a -=
两式相减可得123452a a a a a =++++,即123452a a a a a ++++= 故答案为:2 【点睛】
本题考查了二项式定理的简单应用,赋值法求二项式系数的值是常用方法,属于基础题. 14．函数()f x 为R 上的奇函数，若对任意的()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，已知
()20f =，则不等式()20xf x -<的解集为______.
【答案】()2,4 【解析】 【分析】
根据题意，可得函数在()0,∞+上的单调性，结合()20f =可得()f x 在()0,∞+上的符号，利用函数的奇偶性可得在(),2-∞-上，()0f x <，则()2,0-上，()0f x >，即可分析()20xf x -<的解，可得答案． 【详解】
根据题意，若对任意的1x ，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-，
则()f x 在()0,∞+上为增函数，
又由()20f =，则在()0,2上，()0f x <，则在()2,+∞上，()0f x >， 又由()f x 为奇函数，则在(),2-∞-上，()0f x <，则()2,0-上，()0f x >，
()()02020x xf x f x >⎧-<⇒⎨-<⎩或()0
20x f x <⎧⎨->⎩
，
即0022x x >⎧⎨
<-<⎩或0
22x x >⎧⎨-<-⎩或0220x x <⎧⎨-<-<⎩或022
x x <⎧⎨
->⎩ 解得：24x <<， 即不等式的解集为()2,4； 故答案为：()2,4 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
15．甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到 、、A B C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是______________． 【答案】1
6
【解析】 【分析】
可把甲乙看成一个整体，再分到三个社区，算出对应的方法种数，再由题意算出所有的分配种数，结合古典概型公式求解即可 【详解】
把甲乙看作一个整体，再与其他两人分到、、A B C 三个社区共有33A 种方法，而所有的分配方法有23
43
C A 种，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是3
323431
6
A P C A ==
故答案为：16
【点睛】
本题考查排列组合公式的应用，古典概型的求法，属于基础题
16．函数22,1
()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩
的值域为____________．
【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】
对x 的范围分类，即可求得：当1x <时，函数()f x 值域为：()0,2，当1x ≥时，函数()f x 值域为：
(],0-∞，再求它们的并集即可。

【详解】
当1x <时，()2x
f x =，其值域为：()0,2
当1x ≥时，()2log f x x =-，其值域为：(],0-∞
所以函数()22,1
log ,1
x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为：(]()(),00,2,2-∞⋃=-∞
【点睛】
本题主要考查了分段函数的值域及分类思想，还考查了指数函数及对数函数的性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,0,3,0A B -，动点M 满足1MA MB ⋅=，记动点M 的轨迹为
C .
（1）求C 的方程；
（2）若直线:4l y kx =+与C 交于,P Q 两点，且6PQ =，求k 的值. 【答案】（1）2
2
10x y +=（2
）k = 【解析】
分析：（1）设点M 的坐标为(),x y ，由平面向量数量积的坐标运算法则结合题意可得C 的方程为
2210x y +=.
（2）由（1）知C 为圆心是()0,0的圆，利用点到直线距离公式结合圆的弦长公式可得
1=，解得k =.
详解：（1）设点M 的坐标为(),x y ， 则()()3,,3,MA x y MB x y =---=--， 所以2291MA MB x y ⋅=-+=，即2
2
10x y +=， 所以C 的方程为2
2
10x y +=.
（2）由（1）知C 为圆心是()0,0的圆， 设()0,0到直线l 的距离为d ，则
d =
因为6PQ ==， 所以1d =，
1=，
解得k =点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
18．已知函数223f x x x =+--（
）. （I ）解不等式：2f x >（
）； （II ）若函数f x （）的最大值为m ，正实数a b ，满足2a b m +=，证明：
218
5
a b +≥ 【答案】（I ）（2，6）；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】
（I ）按零点分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，即可得绝对值不等式的解集；
（II ）由函数223f x x x =+--（），求得其最大值max 5f x =（），
得到2155
a b
+=，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】
（I ）当3x ≥时，22322682f x x x x x x =+--=+-+=-+>（
）， 解得6x <，36x ∴≤<；
当23x -≤<时，223226342f x x x x x x =+--=++-=->（
）， 解得2x >，23x ∴<<；
当2x <-时，22322682f x x x x x x （
）=+--=--+-=->， 解得10x >，无解.
综上所述，原不等式的解集为（2，6）.
（II ）证明：223f x x x =+--（）=max 823423583x x x x f x x x -<-⎧⎪
--≤<∴=⎨⎪-+≥⎩
，，
，，（），，，
即25a b +=，
2155
a b
∴+=
2122424855555555
a b a b a b b a ∴++=+++≥+=（）（）（当且仅当2a b =时，等号成立）.
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值号是解答含绝对值不等式的关键，同时注意基本不等式在不等式证明中的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求
11
||||
MA MB -的值. 【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y --=，C 的普通方程2
2
9x y +=；（2
. 【解析】 【分析】
（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用22cos sin 1θθ+=将曲线C 的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得M 点的坐标，写出直线l 的参数方程并代入C 的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值. 【详解】
解：（1）因为直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=. 因为曲线C 的参数方程为33x cos y sin θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），所以曲线C 的普通方程22
9x y +=.
（2）由题可知()0,1M -，
所以直线l 的参数方程为2
21x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，（t 为参数），
代入2
2
9x y +=，得2280t t --=. 设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ， 则122t t +=，128t t =-.
11MA MB -= 12122
MB MA t t MA MB t t -+==. 【点睛】
本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.
20．已知函数，其中
．
Ⅰ当时，求曲线在点
处的切线方程；
Ⅱ当时，若在区间上的最小值为，求a 的取值范围；
Ⅲ若，
，且
，
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（I ）；（II ）
；（III ）
.
【解析】 【分析】 Ⅰ 求出,由
的值可得切点坐标，求出
的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程；Ⅱ确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，
利用单调性求得函数在区间
上的最小值为
，即可求的取值范围；Ⅲ设
，
则，对任意，
，
，且
恒成立，等价
于
在
上单调递增，由此可求的取值范围．
【详解】 Ⅰ当
时，
，
因为，，所以切线方程为
Ⅱ函数
的定义域为
．
当时，，
令，即，所以或
当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
；
当
时，
在
上的最小值是
，不合题意；
当时，在上单调递减，
所以在上的最小值是，不合题意
综上可得
Ⅲ设
，则
，对任意，，，且
恒成立，等价于
在
上单调递增.
而，
当时，，此时在单调递增；
当时，只需在恒成立，因为
，只要，则需要，
对于函数，过定点
，对称轴
，只需
，即
综上可得
【点睛】
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
21． (1)设集合{
}
2
560A x x x =-+=}，{}
10A x mx =+=，且B A ⊆，求实数m 的值.
(2)设1z ，2z 是两个复数，已知11z i =+，2z =1z ·2z 是实数，求2z . 【答案】 (1) 12m =-或1
3
m =-或0m = (2) 222z i =-或222z i =-+ 【解析】 【分析】
（1）解方程2560x x -+=得到集合A ，再分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果； （2）先设2z a bi =+，根据题中条件，得到228a b +=，0a b +=，即可求出结果. 【详解】
解：(1)由2560x x -+=
解得：2x =或3x =∴{}2,3A =， 又∵B A ⊆
∴当B =∅时，此时0m =符合题意. 当B ≠∅时，则0m ≠.由10+=mx 得，1
x m
=-
所以12m -
=或1
3m
-= 解得：12m =-或1
3
m =-
综上所述：12m =-或1
3
m =-或0m =
(2)设2z a bi =+，∵2z =
= 即228a b += ①
又12(1)()()()z z i a bi a b a b i =++=-++，且1z ，2z 是实数， ∴0a b += ②
由①②得，2a =，2b =-或2a =-，2b = ∴222z i =-或222z i =-+ 【点睛】
本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，以及复数的运算，熟记子集的概念，以及复数的运算法则即可，属于常考题型.
22．已知函数2(3)f x x ax =++，()1g x x x a =++-. （1）若()1g x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（2）已知1a >，若(1,1)x ∃∈-使()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）0a ≥或2a ≤-；（2）2a ≥ 【解析】
分析：（1）由()11g x x x a a =++-≥+，可得若()1g x ≥恒成立，只需11a +≥，从而可得结果；
（2）()1,1x ∃∈-使()()f x g x ≤成立等价于()1,1x ∃∈-，221x a x +≥-成立，利用基本不等式求出
221x x
+-
的最小值为2，从而可得结果.
详解：（1）∵()11g x x x a a =++-≥+，若()1g x ≥恒成立，需11a +≥， 即11a +≥或11a +≤-， 解得0a ≥或2a ≤-.
（2）∵1a >，∴当()1,1x ∈-时，()1g x a =+，
∴2
31x ax a ++≤+，即()1,1x ∃∈-，22
1x a x
+≥-成立，
由()2231211x x x x
+=-+---，
∵012x <-<，∴()3
11x x
-+≥-1x =-，
∴2a ≥.
又知1a >，∴a 的取值范围是2a ≥.
点睛：本题主要考基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得a 的最大值.。