(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测卷(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
2．函数()2
1cos 6
f x x x =
-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3．设点P 是曲线()2
33
x
f x e x =-+
上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫
⋃⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭ C ．50,
,26πππ⎡⎫
⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
D ．5,26
ππ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭
4．①若直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；
②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；
③若'
0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线；
④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'
0()f x 必存在.
则以上论断正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．函数()2221sin cos 622
x x
f x x =
+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．22
1
(1)1
lim 1(1)1
n n n
→∞+--+的值为（ ） A ．0
B ．1
C ．
12
D ．不存在
7．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2 B ．－1
C ．1
D ．－2
8．曲线1
1
x y x +=
-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =- C ．21y x =-+
D ．21y x =+
9．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有
()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是
“上进”函数的个数是（ ） ①()x
x f x e =，②()f x x =，③()()ln 1x f x x
+=，④()21x
f x x =+． A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
11．已知点P 在曲线y=4
1
x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（ ）
A ．[0,
4
π) B ．[
,)42
ππ
C ．3(
,
]24ππ
D ．3[
,)4
ππ 12．下列导数运算正确的是
A ．()sin 'cos x x =-
B ．()
3'3x
x
=
C ．()21log 'ln2x x =
⋅ D ．211'x x
⎛⎫
= ⎪⎝⎭ 二、填空题
13．已知函数
为偶函数，若曲线
的一条切线的斜率为，则该切
点的横坐标等于______． 14．函数
在
处的切线与直线
垂直，则a 的值为______．
15．已知曲线方程为1
1y x =
-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 16．已知曲线()32ln 3x
f x x x
=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则
222sin cos 2sin cos cos αα
ααα
-+= ____________
17．已知函数1
()f x x x
=+
和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.
18．曲线ln(1)x y e x =++在(0,1)处的切线方程__________．
19．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．
20．已知函数3()2f x x x =-，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆
22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
三、解答题
21．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件. 22．已知二次函数f （x ）=ax 2+ax ﹣2b ，其图象过点（2，﹣4），且f′（1）=﹣3． （Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）设函数h （x ）=xlnx+f （x ），求曲线h （x ）在x=1处的切线方程．
23．已知1
2x =-是函数f (x )=ln (x +1)-x +2
a x 2的一个极值点.
（1）求a 的值；
（2）求曲线y =f (x )在点(1,(1))f 处的切线方程. 24．求下列函数的导函数. （1）()5
21y x =+ （2）1
log 32
a
y x =+ 25．已知函数()()2
21f x ax a x lnx =+--. （1）当1
2
a =
时，求函数()f x 在1x =点处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.
26．已知函数()()2ln f x x ax a a R =-+∈.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）讨论()f x 的单调性；
（3）设()()
11,A x f x 、()()
22,B x f x 为曲线()y f x =上的任意两点，并且12x x ≠，若
()0f x ≤恒成立，证明：
()()121212
2f x f x x x x -+<-.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据切线的定义得到()13f =，()'
11f =，相加得到答案.
【详解】
根据题意知：()1123f =+=，()'
11f =，故()()'
114f f +=.
故选：C. 【点睛】
本题考查了切线方程，属于简单题.
2．A
解析：A 【分析】 求导得到()1
'sin 3
f x x x =
+，根据函数为奇函数排除B ，证明()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立，排除CD ，得到答案.
【详解】
()21cos 6f x x x =
-，则()1'sin 3f x x x =+，()()1
'sin '3
f x x x f x -=--=-， 导函数()'f x 为奇函数，排除B ； 当()0,x π∈时，()1
'sin 03
f x x x =
+>； 当[),x π∈+∞时，()1
'sin 1sin 03
f x x x x =+>+≥， 故()0,x ∈+∞时，()1
'sin 03
f x x x =+>恒成立，排除CD. 故选：A. 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和
()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立是解题的关键. 3．B
解析：B 【分析】
先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】
由()23
x
f x e =-+
，所以()'=x
f x e
又P 是曲线()2
3
x
f x e =-+
上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，
所以点P 处的切线的斜率为tan α==-x k e 0x e >，所以tan α>
所以角α的取值范围为20,,23ππ
π⎡⎫⎛⎫
⋃⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 .
4．B
解析：B 【分析】
根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】
对于①中，根据函数在点A 处的切线定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A ，这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线. 直线0y =与曲线
22(0)y px p =>有且只有一个公共点，但直线0y =不是切线．注：曲线的切线与曲线的
公共点不一定只有一个，例1y =是正弦曲线sin y x =的切线，但切线1y =与曲线
sin y x =有无数多个公共点，所以不正确； 对于②中，根据导数的定义：
（1）导数：'
0()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆，
（2）左导数：'
0()()()lim x f x x f x f x x
--∆→+∆-=∆，
（3）右导数：'
0()()()lim x f x x f x f x x
++∆→+∆-=∆，
函数()f x 在点0x x =处可导当且仅当函数()f x 在点0x x =处的左导数和右导数都存在，
且相等. 例如三次函数3
y x =在0x =处的切线0y =，所以不正确；
对于③中，切线与导数的关系：
（1）函数()f x 在0x x =处可导，则函数()f x 在0x x =处切线一定存在，切线方程为
'000()()()y f x f x x x -=-
（2）函数()f x 在0x x =处不可导，函数()f x 在0x x =处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；
对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则
'0()f x 必存在，所以是正确的.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
5．C
解析：C 【分析】
将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1
sin 3
f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像. 【详解】 因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =
+-=-，()1
sin 3
f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1
sin 03
f x x x '=+>； 当3x >时，
113x >，1sin 1x -≤≤，则()1
sin 03
f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1
sin 03
f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C. 【点睛】
本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．A
解析：A 【分析】 化简得到221
lim 221
n n n n →∞+-+，利用极限公式得到答案.
【详解】
22
222112(1)121lim lim lim 0112221(1)12
n n n n n n n n n n n n
→∞→∞→∞+-++===-+-+-+ 故选：A 【点睛】
本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，直线2y kx =+与曲线3
2y x ax b =++相切于点(1,4)，
则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =， 又由曲线()3
2f x x ax b =++，则()2
32f x x a '=+，
所以()2
13122f a '=⨯+=，解得12
a =-
，即()3
f x x x b =-+， 把点(1,4)代入()3
f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，
所以144()422
a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．A
解析：A 【分析】
求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】 由1
1
x y x +=
-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，
所以0'|2x y ==-， 所以曲线1
1
x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意
义，直线的方程，属于简单题目.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】
由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()
()()()12
1211x f x x f x f λλλλ+-+-，
等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数），
①()x x f x e =
的导数()1'x x f x e -=，()2''x
x
f x e
-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②(
)f x (
)'f x =，(
)1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x
+=
的导数()()()()
21ln 11x x x f x x x ++'-=
+，
()()()
()
22
33221ln 11x x x x f x x x --+++=
+''
当21,3x ⎛
⎫∈--
⎪⎝⎭
时，2
320x x --<，()()21ln 10x x ++<， ()2
30,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；
④()21
x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()
33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．
故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
10．C
解析：C 【分析】
设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；
()()
22
a c
b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为
求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案． 【详解】
设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；
()()
22
a c
b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求
导得1
y x
'=
，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10
，， 该点到直线l 的距离为22
101 =21(1)-++-． 因此，()()22a c b d -+-的最小值为()2
22＝． 故选C ．
【点睛】
本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．
11．D
解析：D 【详解】 试题分析：因为
，所以
34
π
απ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.
12．C
解析：C 【分析】
根据基本导数公式判断即可． 【详解】
()sin 'cos x x =，()
3'3ln 3x
x
= ，()21log 'ln2x x =⋅，'
2
11
x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
故选C. 【点睛】
本题考查了基本导数公式，属于基础题
二、填空题
13．ln3【解析】【分析】函数f(x)=ex+ae-x为偶函数利用f(-x)=f(x)可得：
a=1f(x)=ex+e-x利用导数的几何意义即可得出【详解】∵函数f(x)=ex+ae-x为偶函数∴f(-x
解析：
【解析】
【分析】
函数为偶函数，利用，可得：，利用导数的几何意义即可得出．
【详解】
函数为偶函数，
，即，
可得：．
，
，
设该切点的横坐标等于，则，
令，可得，化为：，解得．
，解得．
则该切点的横坐标等于．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex在
x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+
解析：
【解析】
【分析】
求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果.
【详解】
因为函数在处的切线与直线垂直，
所以函数在处的切线斜率，
因为，所以，解得，
故答案是0. 【点睛】
该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.
15．【解析】【分析】根据导数定义以及几何意义得切线斜率再根据点斜式求切线方程【详解】设是点P 附近的一点则当无限趋于0时无限趋于常数1∴曲线在点P 处有切线且切线的斜率为1故所求切线方程为【点睛】本题考查导 解析：30x y --=
【解析】 【分析】
根据导数定义以及几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程. 【详解】
设()12,12Q x x ⎛⎫+∆ ⎪ ⎪-+∆⎝⎭
是点P 附近的一点， 则
()
()1
1
12111PQ x x k x
x x x
+-+∆-∆=
=
=
∆∆--∆+∆．
当x ∆无限趋于0时，PQ k 无限趋于常数1，
∴曲线1
1y x
=-在点P 处有切线，且切线的斜率为1， 故所求切线方程为30x y --=．
【点睛】
本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.
16．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式
解析：8
7
【解析】 【分析】
根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222
sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18
=2tan 17
αα-=+. 【详解】
曲线()32ln 3x f x x x =
+，求导得到()221ln 2x f x x x
-=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222
sin cos 2sin cos cos ααααα-+2
tan 18
=2tan 17
αα-=+
故答案为：87
. 【点睛】
这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主
解析：2 【解析】
设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x
=+ ∴2
1()1f x x =-
' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ∴2
111PM k x =-
，221
1PN k x =-
∴直线PM 的方程为1121
1
(1)()y y x x x -=-
-，直线PN 的方程为2222
1
(1)()y y x x x -=-
-. ∵1111y x x =+，222
1y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+
=--，22222
11
0()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，2
22210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根.
∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率1212
1212
1212
11112
MN x x y y x x k x x x x x x +
---=
==-=--⋅.
故答案为2.
点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()
00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导
数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()
11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()
11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()
00,,A x f x 利用
()()()10010
f x f x k f x x x -'=
=-求解.
18．【解析】则曲线在处切线方程的斜率曲线在处的切线方程为即答案为 解析：21y x =+
【解析】
11x y e x =+
+' ，则曲线()ln 1x y e x =++在()0,1处切线方程的斜率0
12,01
k e =+
=+ 曲线()ln 1x
y e x =++在()0,1处的切线方程为()120y x -=-。

即答案为21y x =+.
19．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是
解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
，，
【解析】
由题意可得：[]
'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，
据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎭
，，. 20．【解析】结合函数的解析式可得：对函数求导可得：故切线的斜率为则切线方程为：即圆：的圆心为则： 解析：2-
【解析】
结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
22x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
三、解答题
21．（Ⅰ）1y =-；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据切线的几何意义得到切线的斜率()00k f ='=，()01f =-，所以切线方程为1y =-；（2）先证充分性再证必要性，含参讨论，函数图像和x 轴的交点情况。

（Ⅰ）依题意，()2,x
f x xe ax x R =+∈'
所以切线的斜率()00k f ='=
又因为()01f =-，所以切线方程为1y =-. （Ⅱ）先证不必要性.
当0a =时，()()1x
f x x e =-，令()0f x =，解得1x =.
此时，()f x 有且只有一个零点，故“()f x 有且只有一个零点则0a <”不成立. 再证充分性. 方法一：
当0a <时，()()
2x
f x x e a '=+.
令()0f x '=，解得()120,ln 2x x a ==-. （i ）当()ln 20a -=，即12
a =-时，()()
10x
f x x e -'=≥， 所以()f x 在R 上单调增. 又
()()2010,220f f e =-=-，
所以()f x 有且只有一个零点. （ii ）当()ln 20a -<，即1
02
a -
<<时， ()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:
当0x ≤时，10x e -<，20ax ≤，所以0f x < 又()2
2
2420f e a e =+>->
所以()f x 有且只有一个零点. （iii ）当()ln 20a ->，即1
2
a <-
时，()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:
因为010f =-<，所以,ln 2x a ⎤∈-∞-⎦时，0f x < 令01x a =-，则01x >. 下面证明当1x >时，2x e x >.
设()2
(1)x x g x x e =>，则()()2'x
x x g x e
-=. 当()1,2x ∈时，()()'0,g x g x >在1,2（）上单调递增；
当()2,+x ∈∞时，()()'0,g x g x <在2,+∞（）上单调递减.
所以当=2x 时，()g x 取得极大值()2
4
21g e =<. 所以当1x >时，()1g x <, 即2x x e <. 所以()(
)00
2
2
0000x
x f x ae ax a x e
=-+=->.
由零点存在定理，()f x 有且只有一个零点.
综上，0a <是函数()f x 有且只有一个零点的充分不必要条件. 方法二：
当0a <时，注意到0x ≤时，()10x
x e -<，20ax ≤，()0f x ∴<，
因此只需要考察()0,+∞上的函数零点. （i ）当()ln 20a -≤，即1
02
a -
≤<时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴单调递增.
又()()2
2
10,2420f a f e a e ==+≥-
()f x ∴有且只有一个零点.
（ii ）当()ln 20a ->，即1
2
a <-
时，以下同方法一. 点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 22．（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）2x+y ﹣2=0． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意可得f （2）=﹣4，代入f （x ）解析式，求出f （x ）的导数，代入x=1，解方程可得a=b=﹣1；
（Ⅱ）求出h （x ）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方
程．
解：（Ⅰ）由题意可得f （2）=﹣4， 即为4a+2a ﹣2b=﹣4，
又f′（x ）=2ax+a ，可得f′（1）=3a=﹣3， 解方程可得a=b=﹣1； （Ⅱ）函数h （x ）=xlnx+f （x ） =xlnx ﹣x 2﹣x+2，
导数h′（x ）=lnx+1﹣2x ﹣1=lnx ﹣2x ，
即有曲线h （x ）在x=1处的切线斜率为ln1﹣2=﹣2， 切点为（1，0），
则曲线h （x ）在x=1处的切线方程为y ﹣0=﹣2（x ﹣1）， 即为2x+y ﹣2=0．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算． 23．（1）2；（2）33ln 222
y x =+-. 【分析】
（1）根据函数的极值点可知1
()02
f '-=，求解即可； （2）根据导数的几何意义求斜率，即可求出切线方程. 【详解】
（1）2
()ln(1)2
a f x x x x =+-+， ∴1
()11
f x ax x '=
-++， 由于1
2
x =-是函数f (x )的一个极值点.
∴1()2f '-=0，即2-1-
2
a
=0，故a =2, 经检验，当2a =时，1
2
x =-是函数f (x )的一个极值点,符合题意.
（2）由（1）知1
()121
f x x x '=
-++， 从而曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率3(1)2
k f '==
， 又f (1)=ln 2，故曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为33ln 222
y x =+-. 【点睛】
本题主要考查了函数的极值点，导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 24．（1）410(21)y x '=+；（2）3
(32)ln y x a
'=-
+
【分析】
根据复合函数求导法则计算． 【详解】
（1）44
5(21)210(21)y x x '=+⨯=+；
（2）log (32)a y x =-+，13
3(32)ln (32)ln y x a x a
'=-⨯=-++．
【点睛】
本题考查复合函数求导法则，掌握复合函数的求导运算法则是解题基础． 25．（1）1
2
y =（2）答案不唯一，具体见解析 【分析】
（1）代入a 的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； 【详解】 解：（1）当12
a =
时，2
1()2f x x lnx =-，
1
()f x x x
∴'=-，()10k f ='=，
又()112
f =
， 故切线方程为12
y =； （2）
()()221f x ax a x lnx =+--，函数的定义域是(0,)+∞，
()()212112(21)1()2(21)x ax ax a x f x ax a x x x
+-+--∴'=+--==， 令2()2(21)1g x ax a x =+--， 当0a 时，()0<g x ，即()0f x '<， 则()f x 在(0,)+∞单调递减， 当0a >时，()g x 的图象如图所示：
，
则在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0<g x ，在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上()0>g x ，
则()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，
综上，0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递减，
当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增．
【点睛】
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，属于基础题．
26．（1）1y x =-；（2）若0a ≤， ()f x 在()0,∞+上递增；若0a >，20,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
时，()f x 单调递增；2,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，()f x 单调递减；（3）证明见解析.
【分析】
（1）将1a =代入可得函数解析式,求得导数并代入1x =求得切线的斜率.将1x =代入函数可得切点坐标,由点斜式即可求得切线方程.
（2）先求得导函数,对a 分类讨论,根据导函数的符号即可判断单调性.
（3）根据()0f x ≤恒成立及（2）中函数单调性的讨论,可求得2a =.代入函数并结合不等式即可得ln 1x x ≤-.利用定义作差,得()()2121
f x f x x x --,化简后即可证明.
【详解】
（1）当1a =时,()2ln 1f x x x =-+, 对函数()f x 求导得()2
'1f x x
=-, ∴()'11f =,又()10f =,
∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：1y x =-； （2）求导得()()22'0ax f x a x x x
-=
-=>, 若0a ≤,()'0f x >,()f x 在()0,∞+上递增； 若0a >,当20,
x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()'0f x >,()f x 单调递增； 当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时,()'0f x <,()f x 单调递减. （3）由（2）知,若0a ≤,()f x 在()0,∞+上递增, 又()10f =,故()0f x ≤不恒成立. 若2a >,当2,1x a ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时,()f x 递减,()()10f x f >=,不合题意.
若02a <<,当21,
x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()f x 递增,()()10f x f >=,不合题意. 若2a =,()f x 在()0,1上递增,在()1,+∞上递减,()()10f x f ≤=,合题意. 故2a =,且ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时取“=”）. 设
120x x <<,()()()2
21211
2ln
2x f x f x x x x -=--()()2212111121221x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴
()()212111
12
212f x f x x x x x -⎛⎫<-=- ⎪-⎝⎭, 因此,1
2
2AB k x +<
即
()()12121
2
2f x f x x x x -+<- 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的切线方程,利用导数讨论函数的单调性,不等式的证明,属于中档题.。