山东省德州市2019年中考数学题型专题复习题型5探索延伸与应用问题课件

解：(1)如图1，∵EC∥MN，∴∠CPN＝∠DNM. ∴tan∠CPN＝tan∠DNM. ∵∠DMN＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝ ＝ 故答案为：2.
(2)如图2，取格点D，连接CD，DM. ∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM. ∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM＝∠D＝45°. ∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝ .
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 (－ 3 ，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边 △ABC.当C点在第一象限内，且B(2，0)时，求C点的坐标．
图1
图2
图3
解：(1)BE＝CE. (2)BE＝ED. 证明：如图2，连接EP， 由(1)结论可知，△CPA为等边三角形． ∴∠CAP＝60°，CA＝PA. ∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE.
2013
运用三角形全等探索一个三角形向外 作等边三角形、正方形具有的一般性 结论，然后运用其结论解决新问题
黄金矩形背景下的折叠实践问题，根 据已知判定四边形为菱形，判断折叠 四边形为黄金矩形，并求出设计的黄 金矩形的长与宽 以折叠矩形纸片为背景，判定菱形； 附加动点条件，求菱形BFEP的边长， 探索动点移动的最大距离 探索中点四边形的形状，并证明
规范解答：(1)如图1，∵HI∥AD.∴ AD ＝ . CD 9 4 ∴ ＝ .∴CD＝6.∴ID＝CD－CI＝2. CD 2 ∴正方形的边长为2..………………………(4分) (2)如图2，设点G落在PC上时对应的点为G′， 点F对应的点为F′. ∵CA＝CP，CD⊥PA， ∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P. ∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P. ∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′. ∴IH＝IG′＝DF′＝3.…………………………(6分) ∵IG∥DB， ∴
满分技法►解答探索、延伸与应用类题目时，解答好第(1)问 是基础，往往前面第(1)问中的方法思路为第(2)问的解决提 供解题方向；解答后续的“延伸”时，要特别注意运用类比、 数形结合、分类讨论等数学思想；对于应用环节，就是把实 际问题的背景，抽象成已探索出结论或规律的几何模型．
【满分必练】
1．[2018· 扬州]问题呈现 如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C， DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值． 方法归纳 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直 角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常 常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N， 可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变 换到Rt△DMN中． 问题解决 (1)直接写出图1中tan∠CPN的值为________； (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求 cos∠CPN的值； 思维拓展 (3)如图3，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延 长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述 方法构造网格求∠CPN的度数．
题型5 探索、延伸与应用问题
考查类型 年份 2015 与三角形 有关的探 索、延伸 与应用 考查形式 运用三角形相似探索一个四边形从特 殊到一般所具有的通性结论，然后运 用结论进行实际应用 运用三角形全等探索关于四边形的一 般性结论，然后运用结论进行实际应 用 题型 解答 分值 10分
2014
解答
10分
解答
10分
与四边形 有关的探 索、延伸 与应用
2018
解答
12分
2017 2016
解答 解答
10分 10分
类型①与三角形有关的探索、延伸与应用 例1►[2018· 永州]如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在 AB上，顶点G，H分别在BC，AC上，CD是边AB上的高，CD 9 交GH于点I.若CI＝4，HI＝3，AD＝ .矩形DFGI恰好为正方 2 形． (1)求正方形DFGI的边长； (2)如图2，延长AB至P，使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方 向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与 △CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？ (3)如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的 角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG，DB相 交于点M，N，求△MNG′的周长．
HI
CI
∴DB＝3.∴DB＝DF′＝3. ∴点B与点F′重合． ∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′. ∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．(8分)
IG DB
CI ＝ CD
.∴Байду номын сангаас
2 DB
＝
4 6
，
(3)如图3，将△DMI′绕点D顺时针旋转90°得到 △DF′R，此时N，F′，R共线． ∵∠MDN＝∠NDF′＋∠MDI′＝∠NDF′＋ ∠FD′R＝∠NDR＝45°， 又∵DN＝DN，DM＝DR， ∴△NDM≌△NDR. ∴MN＝NR＝NF′＋RF′＝NF′＋MI′. ∴△MNG′的周长＝MN＋MG′＋NG′＝MG′＋MI′ ＋NG′＋NF′＝2I′G′＝4.……………………(12分)
＝2.
(3)如图，取格点O，连接AO，NO. ∵PC∥ON，∴∠CPN＝∠ANO. ∵AO＝ON，∠AON＝90°， ∴∠ANO＝∠OAN＝45°. ∴∠CPN＝45°.
2．[2018· 日照]问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角 形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中， 1 ∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则：AC＝ AB. 2 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图1，连接AB边上中线CE，由于CE＝AB，易得结论：① △ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为________； (2)如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE， 且点E在∠ACB的内部，连接BE，试探究线段BE与DE之间的数 量关系，写出你的猜想并加以证明； (3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线 段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ________．