06年四川初赛

2006年全国高中数学联赛(四川初赛) 9月24日上午8：30——10：30
一、选择题（每小题5分，共计30分)每个小题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后括号内。

每小题选对的5分，不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1、不定方程2(x ＋y )＝xy ＋7的正整数解得个数是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
2、若α是第二象限的角，则－α
2是
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第一、二象限角
D 、第二、四象限角 3、已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＜0}，B ＝{x |x 2－ax ＋5＝0}，若A ∩B ≠Φ，则实数a 的取值范围是
A 、[25，143)
B 、[25，92)
C 、(92，143)
D 、(－14
3，－25]
4、x 为实数，函数f (x )＝4cos 3x －3cos 2x －6cosx ＋5的最大值是
A 、7
B 、274
C 、25
4
D 、5
5、在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中使相邻两数互质的排
列方式共有 A 、288 B 、576 C 、864 D 、1152
6、三个半径为1的球互相外切，且每个球同时与另外两个半径为r 的球外切，如果这两个半径为r 的球也互相外切，则r 等于
A 、1
B 、12
C 、13
D 、1
6
二、填空题(每小题5分，6个小题共计30分)将答案直接写在题中横线上.
7、函数y ＝x 2＋2x ＋2＋x 2－2x ＋2的最小值是________________.
8、已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝9·3
a n (n ≥1)，则lim n →∞
a n ＝_________________.
9、若(2x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7
＋……＋a 1x ＋a 0，则a 8＋a 6＋a 4＋a 2＝_________________.
10、设关于x 的三个方程x 2＋2sinA 1x ＋sinA 2＝0，x 2＋2sinA 2x ＋sinA 3＝0，x 2＋2sinA 3x ＋sinA 1
＝0，均有实数根，A 1，A 2，A 3为凸4n ＋2边形A 1A 2A 3……A 4n ＋2的三个内角，且所有内角均为30°的倍数，则这个凸4n ＋2边形的内角和为___________________.
11、若△ABC 中，BC ＝12，BC 边上的高h a ＝8，h b ，h c 分别为CA ，AB 边上的高，则乘积h b h c 的最大值为__________________.
12、已知椭圆x 24＋y 2＝1和双曲线x 2－y 2
2＝1，其中F 1，F 2为椭圆的焦点，且P 是椭圆与双曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2＝_______________________.
三、解答题(每小题20分，4个小题共计80分)
13、如图，在△ABC 内取一点P ，使∠PBA ＝∠PCA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M .
14、已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2
＝1的左支交于A 、B 两点，若另有一直线l 经过点P (－2，0)及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围.
15、已知数列{a k }定义如下：a k ＝12·3
4·……·2k －32(k －1)·2k －12k (k ＝1，2，……)
求证：(1)a n ＋1＜
1
2n ＋3
； (2)对任意的正整数n ，都有∑n k ＝1
a k ＜2(n ＋1)－1成立.
16、如图是一个由3×4个单位方格组成的街道地图，线条为道路。

甲从A (0，0)点出发按最短路程走向B (4，3)，乙从B 点按最短路程走向A 点，如果他们同时出发，并且以相同的速度前进，那么，甲和乙在路上相遇的概率是多少？ A B M
C
P D
E A (0，0)
3)
2006年全国高中数学联赛(四川初赛)
试题参考答案及评分标准
一、BDABCD
二、7、22； 8、27； 9、3280； 10、4π； 11、230425； 12、－1
3
三、
13、如图，设L 、N 分别是PB 、PC 的中点， 连结MD ，ME ，ML ，MN ，DL 和EN
则ML ∥PC ，且ML ＝12PC ；MN ∥PB ，且MN ＝1
2PB
又由∠PDB ＝∠PEC ＝90°知DL ＝12PB ，EN ＝1
2
PC
因此DL ＝MN ① ML ＝EN ②
并且PLMN 为平行四边形 ……10分
于是∠PLM ＝∠PNM
∠DLP ＝2∠PBA ＝2∠PCA ＝∠ENP
故∠DLM ＝∠DLP ＋∠PLM ＝∠ENP ＋∠PNM ＝∠ENM ③ 因而由①②③知△DML ≌△MEN
故DM ＝EM ，从而BC 的中点M 在DE 的垂直平分线上 即DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M . ……20分 14、设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
由题意建立方程组：⎩⎨⎧y ＝kx －1
x 2－y 2＝1
消去y 得：(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0 ……5分 由已知直线与双曲线左支交于A 、B 两点，于是
⎩
⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0
△＝(2k)2＋8(1－k 2)＞0
x 1＋x 2＝－2k
1－k 2
＜0x 1x 2＝－2
1－k 2
＞0
，解得：－2＜k ＜－1 ……10分 因为Q 为线段AB 的中点，Q 点的横坐标为x 1＋x 22＝k
k 2－1
故纵坐标为y 1＋y 22＝1
k 2－1
直线l 的斜率为k 1＝1
k 2
－1－0k k 2－1
＋2＝1
2k 2＋k －2
故直线l 的方程为y ＝
1
2k 2
＋k －2
(x ＋2)
令x ＝0，则直线l 在y 轴上的截距为b ＝22k 2＋k －2
＝2
2(k ＋14)2－
178
……15分
A
B M
C
P
D
E N
L
又因为－2＜k ＜－1，故二次函数u ＝2(k ＋14)2－17
8的取值范围是－1＜u ＜2－ 2
即2u ＜－2或2
u
＞2＋ 2 所以，b ＝2
u 的取值范围是(－∞，－2)∪(2＋2，＋∞) ……20分
15、证明：(1)令A ＝12·3
4·……·2n －12n ·2n ＋12(n ＋1)(n ＝1，2，……)
再设B ＝23·45·……·2n 2n ＋1·2(n ＋1)
2n ＋3(n ＝1，2，……)
则A ＜B ，从而A 2＜AB ＝1
2n ＋3
∴A ＜
12n ＋3，即a n ＋1＜1
2n ＋3
……5分 (2)由a k ＝12·3
4·……·2k －32(k －1)·2k －12k 知a k ＋1＝2k ＋12(k ＋1)a k
……10分
即2(k ＋1)a k ＋1＝(2k ＋1)a k
故a k ＝2(k ＋1)a k ＋1－2ka k ……15分 所以∑n
k ＝1
a k ＝∑n
k ＝1
[2(k ＋1)a k ＋1－2ka k ]＝2(n ＋1)a n ＋1－2a 1＝2(n ＋1)a n ＋1－1
＜2(n ＋1)
12n ＋3－1＜2(n ＋1)1
2n ＋2
－1＜2(n ＋1)－1 ……20分 16、设甲乙经过一个单位长的线段需要时间T ＝1
如图不难算出，甲从A 出发，当T ＝3时，到达点P 1(0，3)，P 3(1，2)，P 5(2，1)，P 7(3，
0)的概率分别为18，38，38，1
8. ……5分
同理，乙从B 点出发，当T ＝3时，到达点P 2(1，3)，P 4(2，2)，P 6(3，1)，P 8(4，0)的概
率分别为18，38，38，1
8
. ……10分
甲和乙在路段P 1P 2
上相遇的概率是：
甲经过P 1P 2的概率×乙经过P 1P 2的概率 ＝18×(18×12)＝1128
……15分 同理，甲和乙在路段P 2P 3上相遇的概率为3
256
甲和乙在路段P 3P 4上相遇的概率为9
256
甲和乙在路段P 4P 5上相遇的概率为9
256
甲和乙在路段P 5P 6上相遇的概率为9
256
甲和乙在路段P 6P 7上相遇的概率为3
256
A (0，0)
3) P 1
7
8
甲和乙在路段P7P8上相遇的概率为1
128综上所述，甲和乙在路上相遇的概率为
1 128＋
3
256＋
9
256＋
9
256＋
9
256＋
3
256＋
1
128＝
37
256. ……20分
注：能够正确求出到某一点P i的概率均可给5分.。