2019-2020学年河南省信阳市第九高级中学高三数学文月考试题含解析

2019-2020学年河南省信阳市第九高级中学高三数学文
月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设F1、F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则
△PF1F2的面积是
（A）2 （B）1 （C）（D）
参考答案：
B
考点：双曲线
因为设，则。

得
故答案为：B
2. 下列函数中，在上单调递减，并且是偶函数的是
A． B． C．D．
参考答案：
四个函数中，是偶函数的有，又在内单调递增，故选．
3. 若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）
A．2 B．﹣2 C．D．﹣
参考答案：
D
考点：简单线性规划．
专题：数形结合；不等式的解法及应用．
分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x 取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y ﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，
由kx﹣y+2=0，得x=，
∴B（﹣）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时，解得：k=﹣．
故选：D．
点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
4. 已知集合A={0，1，2}，B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B（）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{0，1} D．{1}
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：B={x|x（x﹣2）＜0}=（0，2），
∵A={0，1，2}，
∴A∩B={1}，
故选：D．
5. 是所在平面内一点，满足，则是
的
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
参考答案：
C
6. 复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
参考答案：
D
7. 若直线过圆的圆心, 则的最小值为( ) A．2 B．4 C．8 D．16
参考答案：
B
8. 已知函数，若对于任意，都有成立，则的最小值为( ).
A.
B. C.
D.
参考答案：
C
略
9. 已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=()
A. B. C. 2 D.
参考答案：
D
，|z|=，故选D.
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对
一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是；该班的平均成绩是．
参考答案：
4，42
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】利用方程组求出答对题a，题b，题c的人数，再计算答对一题的人数和平均成绩．
【解答】解：设x a、x b、x c分别表示答对题a，题b，题c的人数，
则有，
解得x a=17，x b=12，x c=8；
∴答对一题的人数为37﹣1×3﹣2×15=4，
全班人数为1+4+15=20；
平均成绩为×（17×20+12×25+8×25）=42．
故答案为：4，42．
12. 定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是 .
参考答案：
略
13. 已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，﹣3）
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】判断g（x）的单调性，求出g（x）的极值，根据零点个数列不等式组解出a的范围．
【解答】解：g（x）=，
当x≤0时，g（x）单调递增，且g（x）≤g（0）=1﹣a，
当x＞0时，g（x）的对称轴为直线x=﹣a﹣1，
（1）当﹣a﹣1≤0即a≥﹣1时，g（x）在（0，2）上单调递增，
∴g（x）不可能有3个零点，
（2）当﹣a﹣1＞0即a＜﹣1时，g（x）在（0，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，
+∞）上单调递增，
∴当x=﹣a﹣1时，g（x）取得极小值f（﹣a﹣1）=﹣a2﹣3a，
∵g（x）有3个零点，
∴，解得a＜﹣3．
综上，a＜﹣3，
故答案为（﹣∞，﹣3）．
14. 设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝．
参考答案：
－
略
15. 已知＝3，＝2．若＝－3，则与夹角的大小为．
参考答案：
16. 已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是__________________
参考答案：
答案：
解析：：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得，．
17. 在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1．设△ABC的外心为O，若=m+n，则
m+n= ．
参考答案：
﹣1
【考点】向量在几何中的应用．
【专题】探究型；转化思想；转化法；平面向量及应用．
【分析】设AB，AC中点分别为M，N，利用向量的三角形法则和三角形的外心的性质即可得出答案．
【解答】解：设AB，AC中点分别为M，N，
则=﹣=﹣（﹣n）=（）﹣，
=﹣=﹣（﹣n）=+（），
由外心O的定义知，⊥，⊥，
因此，?=0，?=0，
∴[（）﹣]?=0，[+（）]?=0，
即（）2﹣?=0…①，?+（）2=0…②，
∵=﹣，
∴2=2﹣2?+2，
∴?=（2+2﹣2）=1+…③，
将③代入①②得：，
解得：
∴m+n=﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】本题以向量在平面几何中的应用为载体，考查了向量的三角形法则和三角形的外心的性质，属于难题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知为实数，函数．
(Ⅰ) 若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围；
(Ⅱ) 若，求函数的单调区间；
参考答案：
解析：(Ⅰ)
∵，∴．∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解．
∴，∴．所求的取值范围是
．
(Ⅱ) ∵，∴即
.∴．
由，得或；由，得
．
因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．19. 已知函数.
（1）时，求函数的单调区间；
（2）设，使不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）已知函数定义域为，
，
已知，令，，，
当时，，，在上递减；
当时，，
∴在上递减，在上递增，在上递减，
当时，，
∴在上递减，在上递增，在上递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上递减，
当时，，
，
原问题等价于：对任意的，恒有成立，
即，
当时，取得最大值，
∴．
20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF // AB，∠BAF=90o，AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
参考答案：
（1）因为∠BAF=90o，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别
为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以，，，．
所以，，
所以，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为． -----------------------------5
分
（2）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为，在平面APC中，，，
所以平面APC的法向量为，
所以，
解得，或（舍）．所以． ---------------10分
21. （12分）设（且）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，证明：时，成立．
参考答案：
解：（Ⅰ）函数的定义域为，，
当时，，∴函数在上是增函数；
当时，，由得；由得，，
∴函数在上是增函数；在上是减函数．……………4分
（Ⅱ）当时，，要证时成立，由于，
∴只需证在时恒成立，
令，则，
设，，
∴在上单调递增，∴，即
∴在上单调递增，∴
∴当时，恒成立，即原命题得证．……………12分
略
22. （本题满分14分）
已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a 的取值范围．
参考答案：
所以2ln a ＞－2，即－2ln a ＜2，所以，－2－2ln a ＜0，-----------------13分 所以f(x)max ＜0，综上所述，a ＞ln 2－1. -----------------14分 【考点】导数的综合应用，分类讨论。