如何在雨水中行走淋雨最少

人体所扫过的总体积 V＝Vx＋Vy＋Vz……④ ＝ ＋ ＋ ④ 以上四式是下文计算淋雨量的直接依据。 以上四式是下文计算淋雨量的直接依据。 三、扫过体积的计算和讨论 在计算前先作一些必要的说明： 在计算前先作一些必要的说明： （i）雨水并非单纯竖直下落，它还在水平移动。不妨设其坚直 ）雨水并非单纯竖直下落，它还在水平移动。 下落速度V1(m·s -1 )，水平移动速度V2（m·s -1 ）。 下落速度 ，水平移动速度 （ （ii）人在不停地跑动时，其轨迹可视为一系列全等的抛物线， ）人在不停地跑动时，其轨迹可视为一系列全等的抛物线， 其中每小段都含有一个从起跳到落地的过程。 其中每小段都含有一个从起跳到落地的过程。不妨设这每一小段 的水平长度为Lo（ ）；起跳时， ）；起跳时 的水平长度为 （m）；起跳时， 竖直速度与水平速度分别为 u1（m·s -1 ）和u2（m·s -1 ）； （ （
在三维坐标系中,人体外表面相对于雨水的运动有三个方向（即x、y、 z 三向）,由物理学中的运动独立性原理可知，这三个方向上的运动 彼此独立、互不干扰，可以分而论之。不妨设人在这三个方向上相 对于雨水的速度为Vx、Vy、Vz （单位：m·s -1 ），并让体表分别 在垂直于这三个方向的三个平面上投影，投影面积分别为S3（x 向）、S2（y向）、S1（z向）（单位：m2）。通过等积变形， 将 这三者拼成长方体的三个相邻表面。 z y x 设人体（也就是那个长方体）在雨水中行进了t（s）时间。由上 文的等效原理可知，人体外表面在x 方向上扫过的空间体积Vx （m3）可等效为投影面S3所扫过的体积。 ∴Vx＝S3·vx·t ……① 同理可得Vy＝S2·vy·t……② Vz＝S1·vz·t……③
∴u2越大，淋雨越少。 ∴F(u2)是增函数。 F(u2)≥F(v2cosα). 当0＜u2＜v2cosα时，同理有F(u2)是增函数。 ∴F（u2）＞F（v2cosα） 。 ∴u2＝v2cosα淋雨最少。
四、讨论结果的实际意义 （一）综合讨论中的情况（1）当a∈[ ，π]时，由图可知，雨是从 前面或侧面打来的。此时，u2越大，也即跑得越快，淋雨越少。 （二）综合讨论中情况（2）的（i）（ii） 在（i）中，S3sinα≥S2cosα Qv2tS3sinα≥Qv2tS2cosα
由公式Ⅰ可知，淋雨量mz0＝Vz0·Q 记在总长L中，坚直方向上的淋雨量为m1（kg）由此可见m1＝f1 （u2）∝ ，与u1无关，且在（0，＋∞）是减函数。（二）前 （后）面与左（右）侧面的淋雨量 先定义一个角α:设由u2的方向 转向v2的方向所需转过的绝对值最小的角为α，显然α∈[0,π]。 （1）a∈[ ,π]
任取一个平面图形P，设其面积为Sp（ ） 再取一个平面α， 在 任取一个平面图形 ，设其面积为 （m2）；再取一个平面 ，P在 其上的射影为T，面积记为ST（ ） 沿垂直平面α的直线平 其上的射影为 ， 面积记为 （ m2）。 当 P沿垂直平面 的直线平 沿垂直平面 动 时 ， 若 通 过 的 距 离 为 d （ m ） ， 则 其 所 扫 过 的 体 积 V ＝ ST·d （m3）。 ） 证明：如图(2)所示分别以 所示分别以P和 为底垂直于平面 作两等高柱体Ⅰ 为底垂直于平面α作两等高柱体 证明：如图 所示分别以 和T为底垂直于平面 作两等高柱体Ⅰ和 且高均为d（ ） 所对应的另一底面记为 所对应的另一底面记为P'， Ⅱ，且高均为 （m）,P所对应的另一底面记为 ，同样再设出底面 T'，设面 上任意两点 、B1在面 上的射影为 、B2，并记平面 在面α上的射影为 ，设面P 上任意两点A1、 在面 上的射影为A2、 ， A1B1B2A2为平面 （ ∵ A1A2⊥α，B1B2⊥α，∴ A1A2∥B1B2，∴ 为平面β（ 为平面 ⊥ ， ⊥ ， ∥ ， 可以确定平面β） 可以确定平面 ）。 而 β 截 得 线 段 A1'B1' ， 截 得 线 段 A2'B2',∵ 柱 体 Ⅱ 中 面 T∥ 面 ∵ ∥ T',∴A2B2∥A2'B2'，又B2B2'∥A2A2',且B2B2'⊥平面 ， ∴ ∥ ， ∥ 且 ⊥平面α， 是一个矩形， ∴ A2B2B2‘A2’是一个矩形，其面积 ＝A2B2·A2A2‘A2B2·d 证毕 是一个矩形 其面积SI＝
人体所扫过的总体积 V＝Vx＋Vy＋Vz……④ 以上四式是下文计算淋雨量的直接依据。
设人体（也就是那个长方体）在雨水中行进了 （ ）时间。 设人体（也就是那个长方体）在雨水中行进了t（s）时间。由上 文的等效原理可知，人体外表面在x 方向上扫过的空间体积Vx 文的等效原理可知，人体外表面在 方向上扫过的空间体积 所扫过的体积。 （m3）可等效为投影面 所扫过的体积。 ）可等效为投影面S3所扫过的体积 ∴Vx＝S3·vx·t ……① ＝ ① 同理可得Vy＝ 同理可得 ＝S2·vy·t……② ② Vz＝S1·vz·t……③ ＝ ③
从起跳至落地历时t0（ ）。由物理学中斜抛运动公式， ）。由物理学中斜抛运动公式 从起跳至落地历时 （s）。由物理学中斜抛运动公式，我们可得 t0＝2u1／g, ＝ ／ L0＝u2t0＝2u1u2／g。 ＝ ＝ ／ 。
（iii）人在雨中跑动时，不可能无目的地，不妨设它与人距离为 ， ）人在雨中跑动时，不可能无目的地，不妨设它与人距离为L， 因为L往往远大于 往往远大于L0，所以可认为L中正好包含整数个 中正好包含整数个L0， 因为 往往远大于 ，所以可认为 中正好包含整数个 ，从而忽 边缘效应”产生的误差。 略“边缘效应”产生的误差。 除此之外，等效人体的三表面积 、 、 也有用 也有用。 除此之外，等效人体的三表面积S1、S2、S3也有用。 （一）人在竖直方向上的淋雨量（即头顶和肩上淋到的雨） 人在竖直方向上的淋雨量（即头顶和肩上淋到的雨） 由③式可知Vz＝vztS1。这里的 是人相对于雨水在竖直方向上的 式可知 ＝ 。这里的Vz是人相对于雨水在竖直方向上的 速度。 在长度为L0的运动过程中 的运动过程中， 按 ＝ ＋ － 的规律变化 速度。 在长度为 的运动过程中，vz按vz＝u1＋v1－gt的规律变化 ），这其间 （t∈[0,t0]），这其间 扫过的雨水体积 ∈ ），这其间S1扫过的雨水体积
人跑完全程历时t＝ 。设在这段时间内，S2面上的淋雨量为m2， 则由 ②式和Ⅰ式可得m1＝vyS2t·Q。 由右边矢量图可知，相对速度vy＝u2－v2cosα∵－v2cosα≥0, LQSv2sinα＞0， ∴m2+m+3＝f2(u2)在（0，∞）上是关于u2的减函数。（ 2） a∈[0, ）通过上述类似的分析可得
（三）综合讨论 由（1）（2）可知，m1、m2、m3均是u2（水平速度）的函数与u1 （坚直起跳速度）无关。看来在躲雨方向，“跳高的”强不过“跑 步的”。 （1） 当α∈[ ，π]时总淋雨量m＝f1（u2）＋f2（u2）。 由（一）和（二）（1）的讨论可知f1(u2)与f2(u2)在（0, ＋∞）均 是减函数，即u2越大，淋雨越少。记为F（u2）。该函数增减性分 以下3种情况： （i）S3·sinα≥S2·cosα当u2≥v2cosα时，F(u2) ∵v2（S3sinα- S2cosα） ＞0， ∴F（u2）是减函数。F（u2）≤（v2cosa）。当0＜u2＜ v2cosα时，F(u2)同理F（u2）也是减函数，F（v2cosα）＜F（u2）。 由此可得F（u2）在（0，＋∞）上是减函数。 u2越大，淋雨越少。同（1）的分区间讨论可得F（u2）在（0， ＋∞）上单调递减。
（三）综合讨论中情形(2)中的（iii） 在（iii）中v2＞，也即人站立在雨中时，后背淋到的雨，比其它部 位淋到的总和还要多。此时，当u2＝v2osα时淋到的雨最少。而u2 ＝v2cosα m2＝0。所以在这种情况下，奔跑时尽量使体前与体后 均不淋雨为最好。由此，我们就可以总结出逃雨的三原则： ①若雨是从前方或侧面打来的，那么跑得越快越好。 ②若雨是从后方或侧面打来的，且速度较小，以致人站在雨中时， 后背淋雨还不及其它部分那么多，那么奔跑时也是身体其它部分 还要多，那么奔跑时应使后背恰好不淋雨为最好。 以上便是文章开头所提及的三原则。
从上述的观点出发可以发现人的淋雨量mkg即为v的乘积在这里v即人体外表相对于雨水的凝固体所扫过的空间体积更确切地说是体表相对于运动的雨水所扫过的雨水体积
一、怎样计算淋雨量 雨水可以看成为以一定速度运动且在空间中分布均匀的流体， 雨水可以看成为以一定速度运动且在空间中分布均匀的流体， 不妨设其质量分布系数为Q( 不妨设其质量分布系数为 kg )。−3 ⋅。当人淋雨时，普通人而言 m 当人淋雨时， 看到的只是雨水纷纷而下。如果换一个角度， 看到的只是雨水纷纷而下。如果换一个角度，把雨水视为静止不 那人就在相对雨水而运动了。形象的讲， 动，那人就在相对雨水而运动了。形象的讲，当雨水被视为静止 在静止的雨水中“穿梭” 显然这种“穿梭” 时，在静止的雨水中“穿梭”。显然这种“穿梭”是相对于雨水 的静止而言的。而且在“穿梭”过程中， 的静止而言的。而且在“穿梭”过程中，外面还不断的扫过一定 的空间，这空间中的水就附着在人体表面。人便淋到了雨。从上 的空间，这空间中的水就附着在人体表面。人便淋到了雨。 述的观点出发，可以发现，人的淋雨量m(kg）即为 m 3 )与Q 述的观点出发，可以发现，人的淋雨量 ）即为V( 与 kg ⋅ m −3）的乘积，在这里 即人体外表相对于“雨水的凝固体” 的乘积，在这里V即人体外表相对于 雨水的凝固体” 即人体外表相对于“ （ 所扫过的空间体积，更确切地说， 所扫过的空间体积，更确切地说，是体表相对于运动的雨水所扫 过的雨水体积。通过以上的解释，可以得到公式： 过的雨水体积。通过以上的解释，可以得到公式： m=V*Q 这里我们将它看作一个公式。其中 是常量 是常量， 这里我们将它看作一个公式。其中Q是常量， 要使m小 就得小。 就成为关键所在。 要使 小，V就得小。所以求 就成为关键所在。 就得小 所以求V就成为关键所在
QS3（v2sinα）t≥QS2（v2cosα）·t…（＊） 由图可知，当人在雨中站立不动时，v2sinα即是雨打向S3的 速度，也即S3相对于雨水移动的速度vx. 同理v2cosα＝vy。∴（＊）式 QS3vxt≥QS2vyt m3≥m2……① 同理（ii）中，v2≤ ② ①式中m3≥m2是指体侧淋到的雨比后背多 （或相等）， ②式中m2≤m1＋m3指后背淋雨比其它部位淋到的雨要少（或相等）。 在这两种情况下均是u2越大，淋得越少。此时，雨从侧面或后面袭 来。
在这过程中是沿着垂直于平面α的直线平动的 ∵面P在这过程中是沿着垂直于平面 的直线平动的， ∴面P∥P’ ， 在这过程中是沿着垂直于平面 的直线平动的， ∥ 同理有A1B1 ∥A1’B1‘,又∵B1B1’∥A1A1‘,∴ A1B1B1’A1‘是一个平 同理有 又 ∥ ∴ 是一个平 行四边形， 即是边A1A1'与边 与边B1B1'的距离。 的距离。 行四边形，其面积 ＝dh，这h即是边 ， 即是边 与边 的距离 显然h＝ 显然 ＝A2B2。∴SII＝A2B2·d＝SI。 。 ＝ ＝ 。 点是任意的， 平面β也是任意的 也是任意的。 ∵当初选取A1、B1点是任意的，∴平面 也是任意的。由祖日桓原 当初选取 、 点是任意的 理有VI= VII。 理有 。 若把面T等 若把面 等（面）积变形为一矩形，则VII（m3）不会改变。 积变形为一矩形， （ ）不会改变。 由上述推理可知：任一平面图形在平动中所扫过的空间体积， 由上述推理可知：任一平面图形在平动中所扫过的空间体积， 均可表示为一矩形面积S与移动距离 之积。 与移动距离d之积 均可表示为一矩形面积 与移动距离 之积。其等效变形的原则已如 前所述。 前所述。 上面的这种投影等积变形方法， 上面的这种投影等积变形方法，即可用于计算平动平面所扫过的 空间体积，也可用于计算平动曲面所扫过的空间体积。 空间体积，也可用于计算平动曲面所扫过的空间体积。因为曲面可 看作由无数微小的平面拼成，每个小平面适用， 看作由无数微小的平面拼成，每个小平面适用，整个大曲面也同样 适用。 适用。