耦合电感元件和理想变压器

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5.1.3 同名端 线圈的同名端是这样规定的：具有磁耦合的 两线圈，当电流分别从两线圈各自的某端同时流 入（或流出）时，若两者产生的磁通相助，则这 两端叫作互感线圈的同名端，用黑点“·”或星号 “*”作标记。 例如，对图5-4 (a)，当i1、 i2分别由端纽a和d流入 （或流出）时，它们各 自产生的磁通相助，因 此a端和d端是同名端 （当然b端和c端也是同 名端）；a端与c端（或 b端与d端）称异名端。
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耦合系数K的大小与两线圈的结构、相互位 置以及周围磁介质有关。如图5-2(a)所示的两线 圈绕在一起，其K值可能接近1。相反，如图52(b)所示，两线圈相互垂直，其K值可能近似于 零。由此可见，改变或调整两线圈的相互位置， 可以改变耦合系数K的大小。
图 5-2
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5.1.2 耦合电感元件的电压、电流关系 耦合电感元件的电压、 当有互感的两线圈上都有电流时，交链每一线 圈的磁链不仅与该线圈本身的电流有关，也与另一 个线圈的电流有关。如果每个线圈的电压、电流为 关联参考方向，且每个线圈的电流与该电流产生的 磁通符合右手螺旋法则，而自感磁通又与互感磁通 方向一致，即磁通相助，如图5-1所示。这种情况 ，交链线圈1、2的磁链分耦合电感的T型等效 1、互感线圈的同名端连在一起 如图5-8所示，为三支路共一节点、其中有两 条支路存在互感。由图可知，L1的b端与L2的d端 是同名端且连接在一起，两线圈上的电压分别为
图 5-8 同名端相连的T型去耦等效电路
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di 1 di 2 +M u1 = L1 dt dt
di1 di L1 、 L2 2分别为线圈1、2的自感电压， 式中 dt dt di2 di1 M M dt 、 dt 分别为线圈1、2的互感电压。
如果自感磁通与互感磁通的方向相反，即磁通 相消，如图5-3所示，耦合电感的电压、电流关系 方程式为：
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dψ 1 di 1 di 2 u1= = L1 −M dt dt dt
同样将以上两式经数学变换，可得
di2 di2 di2 di1 di2 d (i1 + i2 ) u2 = L2 +M −M −M = (L2 + M ) −M dt dt dt dt dt dt
画得T型等效电路如图5-9(b) 所示，这里(b) 图中-M为一等效的负电感。 利用上述等效电路，可以得出如图5-10(a) 和 (c) 所示的耦合电感并联的去耦等效电路，分别 如图5-10 (b) 和 (d) 所示。由图 (b) (d)应用无互 感的电感串、并联关系，可以得到同名端、异 名端连接时耦合电感并联的等效电感为
2
dt
dt
当两线圈电流均从同名端流入（或流出）时，线 圈中磁通相助，互感电压与该线圈中的自感电压 同号。即自感电压取正号时互感电压亦取正号， 自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当 两线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线 圈中磁通相消，故互感电压与自感电压异号，即 自感电压取正号时互感电压取负号，反之亦然。
互感的作用可以在电路中用增添受控电压源来计 及，如图 5-11(b)所示。
图 5-11 空心变压器电路
由图5-11 (b) 所示的相量模型图可列出回路 方程为：
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(R1 + jωL1 ) I 1 + jωM I 2 = U S
•
•
•
•
jωM I 1 + (R2 + jωL2 + RL ) I 2 = 0
2
5.1 耦合电感元件
5.1.1 耦合电感的概念 两个相距很近的线圈（电感），当线圈1中通入 电流 i1时，在线圈1中就会产生自感磁通Φ11，而 其中一部分磁通Φ21 ，它不仅穿过线圈1，同时 也穿过线圈2，且Φ21≤Φ11。同样，若在线圈2中 通入电流 i2，它产生的自感磁通Φ22，其中也有 一部分磁通Φ12不仅穿过线圈2，同时也穿过线圈 1，且Φ12 ≤Φ22 。像这种一个线圈的磁通与另一 个线圈相交链的现象，称为磁耦合，即互感。 Φ21 和Φ12 称为耦合磁通或互感磁通。如下图5-1 所示。
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对于已标定同名端的耦合电感，可根据u、i 的参考方向以及同名端的位置写出其u-i关系方程。 也可以将耦合电感的特性用电感元件和受控电 压源来模拟，例如图5-5 (b)、(c) 电路可分别用 (d)、(e) 电路来代替。可以看出：受控电压源（ 互感电压）的极性与产生它的变化电流的参考方 向对同名端是一致的。 这样，将互感电压模拟成受控电压源后，可直 接由图5-5(d)、 (e)写出两线圈上的电压，使用这 种方法，在列写互感线圈u—i关系方程时，会感 到非常方便。
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两线圈的互感系数小于等于两线圈自感系数的几 何平均值，即
M ≤ L1 L2
上式仅说明互感M比 能说明M比 定义为 则
L1 L2 L1 L2
小（或相等），但并不
小到什么程度。为此，工程上常
用耦合系数K来表示两线圈的耦合松紧程度，其
M = K L1 L2
K= M L 1 L2
可知，0≤K≤1，K值越大，说明两个线圈之间耦 合越紧，当K=1时，称全耦合，当K=0时，说明两 线圈没有耦合。
耦合电感的另一种串联方式是反接串联。反接串 联是同名端相接，如图5-7(a)所示，把互感电压 看作受控电压源后得电路如图5-7(b)所示，由图 (b)图可得 :
其中
L=L1+L2-2M
由此可知，反 接串联的耦合 电感可以用一 个等效电感L代 替，等效电感L 的值由上式来 定。
图 5-7 耦合电感的反接串联
di 2 di1 u 2 = L2 +M dt dt
图5-5（b）
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如果像图5-5(c)所示， 设i1仍从a端流入，而i2从 d端流出，可以判定磁通 相消，那么两线圈上的 电压分别为
图5-5（c）
di2 di1 u 2 = L2 −M dt dt
di1 di 2 −M u1 = L1 dt dt
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假定穿过线圈每一匝的磁通都相等，则交链线 圈1的自感磁链与互感磁链分别为ψ11 =N1Φ11， ψ12=N1Φ12；交链线圈2的自感磁链与互感磁链分 别为ψ22=N2Φ22，ψ21=N2Φ21 。
图 5-1 磁通互助的耦合电感
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类似于自感系数的定义，互感系数的定义为：
M 21 =
ψ 21
i1
M 12 =
图 5-10 两个耦和电感的并联
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5.3 空芯变压器电路的分析 变压器是利用电磁感应原理传输电能或电信号 的器件。通常有一个初级线圈和一个次级线圈， 初级线圈接电源，次级线圈接负载，能量可以通 过磁场的耦合，由电源传递给负载。 常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压 器两种类型。所谓空芯变压器是由两个绕在非铁 磁材料制成的芯子上并且具有互感的线圈组成的， 其耦合系数较小，属于松耦合。 因变压器是利用电磁感应原理而制成的，故 可以用耦合电感来构成它的模型。这一模型常用 于分析空芯变压器电路。 设空芯变压器电路如图5-11(a) 所示，其中R!、 R2分别为变压器初、次级绕组的电阻，RL为负载 25 电阻，设uS为正弦输入电压。
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。
•
US 0 I1 = Z11 Z 21
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图 5-5 (b) (d) 磁通相助； (c) (e) 磁通相消 16
5.2 耦合电感的去耦等效
5.2.1 耦合电感的串联等效 耦合电感的串联有两种方式——顺接和反接。 顺接就是异名端相接，如图5-6（a）所示。
图 5-6 耦合电感顺接串联
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把互感电压看作受控电压源后得电路如图5-6(b) 所示，由该图可得
或写为
•
Z 11 I 1 + Z 12 I 2 = U S Z 21 I 1 + Z 22 I 2 = 0
• •
•
•
•
式中 Z11= R1 +jωL1 称为初级回路自阻抗； Z22=R2 +jωL2 +RL 称为次级回路自阻抗； Z12=Z21=jωM 称为初次级回路互阻抗 可求得图5-11(b)所示耦合电感的初级、次 级电流相量分别为 ：
di2 di1 u 2 = L2 +M dt dt 将以上两式经数学变换，可得
di1 di1 di1 di 2 di1 d (i1 + i2 ) u1 = L1 −M +M +M = (L1 − M ) + M dt dt dt dt dt dt
u 2 = L2 di2 di di di di d (i + i ) − M 2 + M 2 + M 1 = (L 2 − M ) 2 + M 1 2 dt dt dt dt dt dt
第5章 耦合电感元件和理想变压器 章
5.1
耦合电 感元 件
5.2 耦合电感的去耦等效 5.3 空心变压器电路的分析 5.4 理 想 变 压 器
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学 习 目 标
理解互感线圈、互感系数、耦合系数的含义。 理解互感电压和互感线圈的同名端。 掌握互感线圈串联、并联去耦等效及T型去耦 等效方法。 掌握空芯变压器电路在正弦稳态下的分析方法 —回路分析法。 理解理想变压器的含义。熟练掌握理想变压 器变换电压、电流及阻抗的关系式。
画出两式T型等效电路如图5-8(b)所示。在图 （b）中因有3个电感相互间无互感，它们的自感 系数分别为L1-M、L2-M和M，又连接成T型结构 形式，所以称之为互感线圈的T型去耦等效电路。
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2、互感线圈的异名端连接在一起 图5-9(a) 与图5-8(a) 两电路相比较结构一样， 只是具有互感的两支路 的异名端连接在一起，， 两线圈上的电压分别为
dψ 2 di2 di1 = L2 −M u2 = dt dt dt
图5-3 磁通相消的耦和电感
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对以上磁通相助、相消两种情况进行归纳总结， 可以得出：自感电压 L1 di1 、L2 di2 取正还是取负，
dt
dt
取决于本电感的u、i的参考方向是否关联，若关 联，自感电压取正；反之取负。 而互感电压M di1 和 M di 的符号这样确定：
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L=M
(L1 − M )(L2 − M ) = + (L 1 − M ) + (L 2 − M )
L1 L 2 − M 2 L 1 + L 2 −2 M
(L1 − M )(L2 − M ) L1 L2 − M 2 L = −M + = (L1 − M ) + (L2 − M ) L1 + L 2 +2M
ψ 1 = ψ 11 + ψ 12 = L1i1 + Mi2
ψ 2 = ψ 22 + ψ 21 = L2 i2 + Mi1
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由电磁感应定律，当通过线圈的电流变化时， 线圈两端会产生感应电压
dψ 2 di2 di 1 u2 = = L2 +M dt dt dt
dψ 1 di1 di 2 u1 = = L1 +M dt dt dt
di di di di u = L1 + M + L2 + M dt dt dt dt di di = (L1 + L 2 +2 M ) = L dt dt
其中
L=L1+L2+2M
可知，顺接串联的耦合电感可以用一个等效 电感L来代替，等效电感L的值由式上式来定。
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di di di di u1 = L1 − M + L2 − M dt dt dt dt
ψ 12
i2
上式表明线圈1对线圈2的互感系数M21，等于穿 越线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的 电流之比。 同时表明线圈2对线圈1的互感系数 M12，等于穿越线圈1的互感磁链与激发该磁链 的线圈2中的电流之比。可以证明。 M21=M12=M 所以，我们一律用M表示两线圈的互感系数， 简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利 （H）。 因为Φ21≤Φ11 ，Φ12≤Φ22 ，所以可以得出
图 5-4 同 名 端
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有了同名端规定后，像图5-4(a)所示的互感线 圈在电路中可以用图5-5(b)所示的模型表示， 在图5-5(b)中，设电流i1、i2分别从a、d端流入， 磁通相助，如果再设各线圈的 u、i为关联参 考方向，那么两线圈上的电压分别为
di1 di 2 u1 = L1 +M dt dt
di1 di 2 u1 = L1 −M dt dt di 2 di 1 u 2 = L2 −M dt dt
图5-9 异名端相连的T型去耦等效电路
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di 1 di 1 di1 di 2 di1 d (i1 + i2 ) u1 = L1 +M −M −M = (L1 + M ) −M dt dt dt dt dt dt