第k小元素选择问题的实现
舍伍德（Sherwood）算法学习笔记
舍伍德（Sherwood）算法学习笔记⼀.概念引⼊设A是⼀个确定性算法，当它的输⼊实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。
设Xn 是算法A的输⼊规模为n的实例的全体，则当问题的输⼊规模为n时，算法A所需的平均时间为。
这显然不能排除存在x∈Xn使得的可能性。
希望获得⼀个随机化算法B，使得对问题的输⼊规模为n的每⼀个实例均有。
这就是舍伍德算法设计的基本思想。
当s(n)与tA(n)相⽐可忽略时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。
概率算法的⼀个特点是对同⼀实例多次运⽤同⼀概率算法结果可能同。
舍伍德算法(O(sqrt(n))，综合了线性表和线性链表的优点)总能求的问题的⼀个正确解，当⼀个确定性算法在最坏情况和平均情况下差别较⼤时可在这个确定性算法中引⼊随机性将之改造成⼀个舍伍德算法；引⼊随机性不是为了消除最坏，⽽是为了减少最坏和特定实例的关联性。
⽐如线性表a的查找若是找10(独⼀⽆⼆)，如果在a[0]则为O(1),若是最后⼀个则O(n)，可见时间与输⼊实例有关，此时可引⼊随机性将之改造成⼀个舍伍德算法。
有时候⽆法直接把确定性算法改造为舍伍德算法，这时候对输⼊洗牌。
下⾯是洗牌算法源代码：import java.util.Random;public class Shuffle {public static void main(String[] args) {int a[] = new int[]{1,2,4,5,8};/** Collections.shuffle(list)参数只能是list*/myShuffle(a);for(int i:a) {//犯了个低级错误，输出了a[i]，结果数组下标越界异常System.out.print(i+" ");}System.out.println();}private static void myShuffle(int[] a) {int len = a.length;for(int i=0; i<len; i++) {Random r = new Random();//直接Random.nextInt(len)提⽰静态⽅法⾥⽆法引⽤int j = r.nextInt(len);//Collections.swap(list,i,j)必须是list类型if(i!=j) {//原来没加这个条件int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}}}}⼆.舍伍德思想解决迅雷2010年校招--发牌问题描述：52张扑克牌分发给4⼈，每⼈13张，要求保证随机性。
线性时间选择算法实现
//主函数
int main()
{
int *a,cnt,i,k,result;
FILE *fp;
//clrscr();
printf("Input the count of elements:");
scanf("%d",&cnt);
printf("Choose the element :");
{
int i=p,j=r+1;
while(1)
{
while(a[++i]<x&&i<r);
while(a[--j]>x);
if(i>=j)
break;
swap(&a[i],&a[j]);
}
a[p]=a[j];
a[j]=x;
return j;
}
void sort(int *a,int p,int r)
}
for(i=0;i<cnt;i++)
{
a[i]=rand()%cnt+100;
fprintf(fp,"%4d\n",a[i]);
}
result=select(a,0,cnt-1,k);
printf("The result is:%d",result);
fclose(fp);
free(a);
return 0;
if(k<=j) //比较k和j来确定在数组哪一部分继续选择
return select(a,p,i,k);
else
快速选择算法线性时间选择第k小的元素
快速选择算法线性时间选择第k小的元素快速选择算法：线性时间选择第k小的元素快速选择算法是一种高效的算法，用于在未排序的数组中选择第k 小的元素。
该算法的时间复杂度为O(n)，在大规模数据处理和排序任务中具有广泛的应用。
1. 算法原理快速选择算法基于快速排序算法的分治思想，通过每次选择一个枢纽元素，并将数组中的元素分为左右两部分，来实现快速查找排序后的第k小元素。
具体步骤如下：- 选择枢纽元素：从未排序数组中选择一个元素作为枢纽元素，可以随机选择或选择固定位置的元素，比如选取数组的第一个元素。
- 划分数组：将数组分为两部分，左边的元素小于枢纽元素，右边的元素大于等于枢纽元素。
- 判断位置：比较枢纽元素的位置与k的大小关系，如果位置小于k，则递归在右半部分查找第k小元素；如果位置大于k，则递归在左半部分查找第k小元素；否则，返回该位置的元素即为第k小元素。
2. 算法步骤下面给出一种实现快速选择算法的伪代码：```function quickSelect(A, k, left, right):if left == right:return A[left]pivotIndex = partition(A, left, right)if k == pivotIndex:return A[k]else if k < pivotIndex:return quickSelect(A, k, left, pivotIndex - 1) else:return quickSelect(A, k, pivotIndex + 1, right) function partition(A, left, right):pivot = A[left]i = left + 1j = rightwhile i <= j:if A[i] < pivot and A[j] > pivot:swap A[i] and A[j]i = i + 1j = j - 1if A[i] >= pivot:i = i + 1if A[j] <= pivot:j = j - 1swap A[left] and A[j]return j```3. 算法性能分析快速选择算法通过每次划分数组来减小搜索范围，因此平均时间复杂度为O(n)，其中n为数组的长度。
算法设计与分析第三版第四章课后习题答案
算法设计与分析第三版第四章课后习题答案4.1 线性时间选择问题习题4.1问题描述：给定一个长度为n的无序数组A和一个整数k，设计一个算法，找出数组A中第k小的元素。
算法思路：本题可以使用快速选择算法来解决。
快速选择算法是基于快速排序算法的思想，通过递归地划分数组来找到第k小的元素。
具体步骤如下： 1. 选择数组A的一个随机元素x作为枢纽元。
2. 使用x将数组划分为两个子数组A1和A2，其中A1中的元素小于等于x，A2中的元素大于x。
3. 如果k等于A1的长度，那么x就是第k小的元素，返回x。
4. 如果k小于A1的长度，那么第k小的元素在A1中，递归地在A1中寻找第k小的元素。
5. 如果k大于A1的长度，那么第k小的元素在A2中，递归地在A2中寻找第k-A1的长度小的元素。
6. 递归地重复上述步骤，直到找到第k小的元素。
算法实现：public class LinearTimeSelection {public static int select(int[] A, int k) { return selectHelper(A, 0, A.length - 1, k);}private static int selectHelper(int[] A, int left, int right, int k) {if (left == right) {return A[left];}int pivotIndex = partition(A, left, righ t);int length = pivotIndex - left + 1;if (k == length) {return A[pivotIndex];} else if (k < length) {return selectHelper(A, left, pivotInd ex - 1, k);} else {return selectHelper(A, pivotIndex + 1, right, k - length);}}private static int partition(int[] A, int lef t, int right) {int pivotIndex = left + (right - left) / 2;int pivotValue = A[pivotIndex];int i = left;int j = right;while (i <= j) {while (A[i] < pivotValue) {i++;}while (A[j] > pivotValue) {j--;}if (i <= j) {swap(A, i, j);i++;j--;}}return i - 1;}private static void swap(int[] A, int i, int j) {int temp = A[i];A[i] = A[j];A[j] = temp;}}算法分析：快速选择算法的平均复杂度为O(n)，最坏情况下的复杂度为O(n^2)。
第6章 随机化算法
第6章 随机化算法
使用拉斯维加斯算法不会得到不正确的解。即一 旦使用拉斯维加斯算法找到一个解，那么这个解 就一定是正确解。但是有时，在使用拉斯维加斯 算法时会找不到解。与蒙特卡罗算法相类似，拉 斯维加斯算法找到正确解的概率随着其所耗费的 计算时间的增加而提高。对于所求解问题的任一 实例，采用同一个拉斯维加斯算法反复对于该实 例求解足够多的次数，可以使得求解失效的概率 尽可能地变小。
第6章 随机化算法 随机化选择算法
在第二章中所叙述的选择算法，是从n个元素 中选择第k小的元素，它的运行时间是20cn， 因此，它的计算时间复杂度为(n) 如果加入随 机性的选择因素，就可以不断提高算法的性能。 假定输入的数据规模为n，可以证明，这个算 法的计算时间复杂度小于4n。以下就是这个算 法的一个具体描述：
第6章 随机化算法
算法6.2 随机化选择算法
输入：从数组A的第一个元素下标为low，最后 一个元素下标为high中，选择第k小的元素
输出：所选择的元素
• template<class Type>
• Type select_random(Type A[],int low,int high,int k)
第6章 随机化算法
6.2 谢伍德（Sherwood）算法
6.2.1 随机化快速排序算法
在第二章中所叙述的快速排序算法中，我们采用 的是将数组的第一个元素作为划分元素进行排 序，在平均情况下的计算时间复杂度为
(n*log n) 在最坏情况下，也就是说，数组中的 元素已经按照递增顺序或者递减顺序进行排列
数值随机化算法常用于数值问题到的求解。这类算法所 得到的解往往是近似解。并且近似解的精度随着计算时 间的增加并且近似解的精度随着计算时间的增加会不断 地提高。在许多情况下，由于要计算出问题的精确解是 不可能的或者是没有必要的，因此用数值随机化算法可 以获得相当满意的解。
实验二：查找k1-k2问题实验报告 2
实验二：用分治法查找k1-k2问题实验内容从包含n个整数的无序列表中输出第k1小到第k2小之间的所有整数，其中k1<=k2。
分析时间复杂度。
必须用分治法求解，但是不能简单地重复使用求第k小元素的分治法。
禁止使用排序算法求解给出复杂度分析过程算法思想在解决实验的过程中参考了快速排序中双向扫描的思想。
快速排序是一种基于分治技术的重要排序算法。
首先选择一个元素，接下来根据该元素的值来划分数组。
中轴之前的是小于中轴的数，之后的为大于中轴的数。
在这个问题中我们只需要在找到中轴位K1和K2时跳出快排，输出第K1到K2的元素，便得问题的解。
在寻找中轴的过程中如果遇到k2则不需要二次快排，否则再次查找中轴为k2。
数据结构：顺序表算法1Quicksort(Sqlist &L,int low,int high,int k1,int k2,int &temp)//用Quicksort对子数组排序//快排到中轴为k1返回//输出：k1将数组分为k1前和k1后两部分if(low<high)//长度大于1{s=Partition(L,low,high);//分区过程if(s>k1)//如果k1小于中轴，对low到s-1部分快排{if(s==k2)temp=1;//中轴为k2记录temp为真Quicksort(L,low,s-1,k1,k2,temp);}else if(s<k1)//如果k1大于中轴，对s到high部分快排{Quicksort(L,s+1,high,k1,k2,temp);}else if(s=k1)//如果k1等于于中轴跳出递归将数组分为大于k1和小于k2两部分{return ;}Partition(Sqlist &L,int low,int high)//以L.elem[0]为限位器，以第一个元素为中轴，//输入：顺序表的子顺序表L.elem[low-high]//输出：顺序表的一个分区，分裂点的位置作为函数的返回值while(low<high){while(low<high && L.elem[high]>=pivotkey)// 从表的两端交替地向中间扫描--high;L.elem[low]=L.elem[high];//将比中轴小的记录交替到低端while(low<high && L.elem[low]<=pivotkey)++low;L.elem[high]=L.elem[low];//将比中轴大的记录交替到高端}L.elem[low]=L.elem[0];//中轴记录到位return low;实验过程1、源程序//**************************************************************************** //****从包含n个整数的无序列表中输出第K1小道第k2小之间的所有整数，其中******** //********k1<=k2,分析时间复杂度，在这里采用快排的思想分别找出中轴为k1 和k2*** //*********时输出k1和k2之间的数，便为所需************************************* //***************************************************************************88 #include<iostream>using namespace std;//***************结构体**********struct Sqlist{int *elem;//元素指针int length;//长度int listsize;//};//************构造一个空的线性顺序表************void InitList_Sq(Sqlist &L){L.elem=(int *)malloc(100*sizeof(int));//开辟空间L.length=0;L.listsize=100;//初始化}//***********快排的分区过程******************int Partition(Sqlist &L,int low,int high){int pivotkey;L.elem[0]=L.elem[low];//以L.elem[0]为限位器pivotkey=L.elem[low];//以第一个元素为中轴while(low<high)//从表的两端交替地向中间扫描{while(low<high && L.elem[high]>=pivotkey)--high;L.elem[low]=L.elem[high];//将比中轴小的记录交替到低端while(low<high && L.elem[low]<=pivotkey)++low;L.elem[high]=L.elem[low];//将比中轴大的记录交替到高端}L.elem[low]=L.elem[0];//中轴记录到位return low;//返回中轴位置}//**********用递归选择中轴，根据中轴调用函数int Partition(Sqlist &L,int low,int high)分区，//当中轴为K1时跳出递归***************************************************** void Quicksort(Sqlist &L,int low,int high,int k1,int k2,int &temp){int s;if(low<high)//长度大于1{s=Partition(L,low,high);//分区过程if(s>k1)//如果k1小于中轴，对low到s-1部分快排{if(s==k2)temp=1;Quicksort(L,low,s-1,k1,k2,temp);}else if(s<k1)//如果k1大于中轴，对s到high部分快排{Quicksort(L,s+1,high,k1,k2,temp);}else if(s=k1)//如果k1等于于中轴跳出递归将数组分为大于k1和小于k2两部分{return ;}}}//************打印第k1小到k2小的元素******************void Print(Sqlist L,int k1,int k2){for(int i=k1;i<=k2;i++)cout<<L.elem[i]<<" ";cout<<endl;}//**********主函数********************int main(){int n,k1,k2,temp=0;Sqlist List;InitList_Sq(List);//初始化顺序表cout<<"请输入无序数列中整数的个数："<<endl;//用户输入整数个数cin>>n;cout<<"请以空格键隔开输入无序数列："<<endl;//用户输入无序列表for(int i=1;i<=n;i++)cin>>List.elem[i];cout<<"您输入的无序数列为："<<endl;Print(List,1,n);//打印序列cout<<"请输入输出整数的范围：（如第4小到的8小：4 8 ）"<<endl;//用户输入k1和k2的值cin>>k1>>k2;Quicksort(List,1,n,k1,k2,temp);//**************一次快排cout<<"当找到中轴为k1后整数的排列情况"<<endl;Print(List,1,n);//*************************************一次快排后数组情况if(temp)//在找到中轴为k1前已经遇到k2为中轴{cout<<"在找到中轴为k1前已经遇到k2为中轴，所以第K1小到第k2小之间的所有整数为："<<endl;Print(List,k1,k2);}else//在遇到k1之前并未遇到k2所以再次快排分区{Quicksort(List,k1,n,k2,k1,temp);//**********二次快排cout<<"在找到中轴为k1前未遇到k2为中轴，通过找k2为中轴后整数的排列情况为："<<endl;Print(List,1,n);cout<<"第K1小到第k2小之间的所有整数为："<<endl;Print(List,k1,k2);}return 0;}实验结论1、运行截图快排是极不稳定的一种算法,而这个算法是快排的节俭化比不需要完全完成快排，只需要遇到k1和k2为中轴程序便可停止，用键值的比较次数来代表这个算法的效率：1、用n来表示输入规模2、基本操作为两个数得比较3、4、和5、当n>1时，最差：C（n）=C(n-1)+n=n*n,C(1)=0最好：只需要一次的对半排列C（n）=C(n/2)+n,C(1)=0,当n等于2的次幂时C（n）=nlog2(n)假设分区的分裂点s(0<s<=n)位于每个位置的概率都是1/n,平均：C（n）=1/2n∑(n+C(s)+C(n-1-s))=vlNn。
算法设计与分析(复习3)
作业题-算法分析题2-12
难点在于O(1)辅助空间。
将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素与a[p+i]交换位置;
复杂度分析
T(n)=O(n)
//找中位数的中位数，r-p-4即上面所说的n-5 Type x = Select(a, p, p+(r-p-4)/5, (r-p-4)/10); 上述算法将每一组的大小定为5，并选取75作为是否作递归 int i=Partition(a,p,r, x), j=i-p+1; 调用的分界点。这2点保证了T(n)的递归式中2个自变量之和 if (k<=j) n/5+3n/4=19n/20=εn，0<ε<1。这是使T(n)=O(n)的关键之 return Select(a,p,i,k); 处。当然，除了5和75之外，还有其他选择。 else return Select(a,i+1,r,k-j); }
线性时间选择
下图是上述划分策略的示意图，其中n个元素 用小圆点来表示，空心小圆点为每组元素的中 位数。中位数中的中位数x在图中标出。图中 所画箭头是由较大元素指向较小元素的。
设所有元素互不相同。在这种情况下， 找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素 大，因为在每一组中有2个元素小于 本组的中位数，而n/5个中位数中又 有(n-5)/10个小于基准x。同理，基准 x也至少比3(n-5)/10个元素小。而当 n≥75时，3(n-5)/10≥n/4所以按此基 准划分所得的2个子数组的长度都至 少缩短1/4。
线性求找出这n个 元素中第k小的元素
template<class Type> Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k) { if (p==r) return a[p]; int i=RandomizedPartition(a,p,r), j=i-p+1; if (k<=j) return RandomizedSelect(a,p,i,k); else return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j); }
数学中的排列和组合计算方法
数学中的排列和组合计算方法在数学中，排列和组合是一些重要的计算方法，广泛应用于概率统计、组合数学、组合优化等领域。
排列和组合可以用于计算不同的排列顺序和选择组合方式的数量，为解决实际问题提供了数学工具和方法。
一、排列计算方法排列是指从一组元素中取出一部分元素按照一定的顺序进行排列。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的排列顺序会得到不同的结果。
下面介绍几种常见的排列计算方法。
1. 直接计算法：直接计算法是一种比较常见且直观的排列计算方法。
对于n个元素的排列，取出第一个元素有n种选择，取出第二个元素有n-1种选择，依此类推，取出第k个元素有n-k+1种选择，直到取完所有的元素。
因此，n个元素的排列数为n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1，即n的阶乘（n!）。
2. 公式计算法：当排列元素的个数n较大时，直接计算法会产生大量的中间结果，计算量较大。
这时可以使用排列的计算公式来简化计算过程。
对于从n 个元素中取出k个元素的排列，公式可以表示为P(n,k) = n! / (n-k)!。
3. 递归计算法：排列问题可以使用递归来求解。
递归的思想是将大问题逐渐分解为小问题，然后将小问题的解合并起来得到大问题的解。
对于排列问题，可以递归地将问题分解为取一个元素和取其他元素的排列问题。
具体实现时，可以选择一个元素作为第一个元素，然后递归求解剩余元素的排列，最后合并所有的排列结果。
二、组合计算方法组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的排列顺序。
在组合中，元素的顺序是不重要的，不同的组合顺序得到的结果是一样的。
下面介绍几种常见的组合计算方法。
1. 直接计算法：直接计算法是一种比较简单的组合计算方法。
对于n个元素的组合，如果选择了其中的k个元素，则还剩下n-k个元素没有选择。
因此，n个元素的组合数可以表示为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!）。
2. 公式计算法：组合的计算公式可以用于快速计算组合数。
迭代与递推
迭代与递推1）迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。
迭代算法一般用于数值计算。
迭代法应该是我们早已熟悉的算法策略，程序设计语言课程中所学的累加、累乘都是迭代算法策略的基础应用。
例如：斐波那契数列例子：兔子繁殖问题一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔子。
小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。
假若兔子只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每个月各有多少只兔子。
•问题分析因为一对兔子从出生后第三个月开始每月生产一对小兔子，则每月新下生的小兔子的对儿数显然由前两个月的小兔子的对儿数决定。
则繁殖过程如下：一月二月三月四月五月六月……1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 ……•数学建模（斐波那契数列）y1=y2=1，yn=yn-1+yn-2，n=3，4，5，……2）倒推法的概念•倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的，从后向前推解问题的方法。
例如，在不知前提条件的情况下，由结果倒过来推解它的前提条件，从而求解问题。
又如，由于存储的要求，而必须从后向前进行推算。
另外，在对一些问题进行分析或建立数学模型时，从前向后分析问题感到比较棘手，而采用倒推法，则问题容易理解和解决。
例子：穿越沙漠问题用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。
吉普车的总装油量为500加仑，耗油率为1加仑/公里。
由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。
该吉普车以最少的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮油量。
•问题分析贮油点问题要求要以最少的耗油量穿越沙漠，即到达终点时，沙漠中的各临时油库和车的装油量均为0。
这样只能从终点开始向前倒着推解贮油点和贮油量。
•数学模型根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段讨论。
第一段长度为500公里且第一个加油点贮油为500加仑。
第二段中为了贮备油，吉普车在这段的行程必须有往返。
下面讨论怎样走效率高：1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。
第3章穷举法汇总
change(b,n);
//b表示的二进制数增1
}
printf("\n");
}
解法2：采用增量穷举法求解1～n的幂集，当n=3时的求 解过程如图3.3所示，先产生一个空子集{}，在此基础上添加1 构成一个子集{1}，然后在{}和{1}各子集中添加2产生子集{2}、 {1,2}，再在前面所有子集中添加3产生子集{3}、{1,2}、{2,3}、 {1,2,3}，从而生成{1,2,3}的所有子集。
{} 初始值 {1} 添加 1
{2} {1 2} 添加 2
{3} {1 3} {2 3} {1 2 3} 添加 3
得到 1～3 的所有幂集 {} {1} {2} {1 2} {3} {1 3} {2 3} {1 2 3}
这种思路也是穷举法方法，即穷举1～n的所有子集。先 建立一个空子集，对于i（1≤i≤n），每次都是在前面已建立 的子集上添加元素i而构成若干个子集，对应的过程如下：
}
【例3.4】有n（n≥4）个正整数，存放在数组a中，设计 一个算法从中选出3个正整数组成周长最长的三角形，输出 该最长三角形的周长，若无法组成三角形则输出0。
解：采用穷举法，用i、j、k三重循环，让i<j<k避免正 整数被重复选中，设选中的三个正整数a[i]、a[j]和a[k]之和 为len，其中最大正整数为ma，能组成三角形的条件是两边 之和大于第三边，即ma<len-ma。
6=1+2+3 28=1+2+4+7+14
解：先考虑对于一个整数m，如何判断它是否为完全数。 从数学知识可知：一个数m的除该数本身外的所有因子都在 1～m/2之间。算法中要取得因子之和，只要在1～m/2之间 找到所有整除m的数，将其累加起来即可。如果累加和与m 本身相等，则表示m是一个完全数，可以将m输出。其循环
算法设计与分析习题解答(第2版)
第1章算法引论11.1 算法与程序11.2 表达算法的抽象机制11.3 描述算法31.4 算法复杂性分析13小结16习题17第2章递归与分治策略192.1 递归的概念192.2 分治法的基本思想262.3 二分搜索技术272.4 大整数的乘法282.5 Strassen矩阵乘法302.6 棋盘覆盖322.7 合并排序342.8 快速排序372.9 线性时间选择392.10 最接近点对问题432.11 循环赛日程表53小结54习题54第3章动态规划613.1 矩阵连乘问题62目录算法设计与分析(第2版)3.2 动态规划算法的基本要素67 3.3 最长公共子序列713.4 凸多边形最优三角剖分753.5 多边形游戏793.6 图像压缩823.7 电路布线853.8 流水作业调度883.9 0-1背包问题923.10 最优二叉搜索树98小结101习题102第4章贪心算法1074.1 活动安排问题1074.2 贪心算法的基本要素1104.2.1 贪心选择性质1114.2.2 最优子结构性质1114.2.3 贪心算法与动态规划算法的差异1114.3 最优装载1144.4 哈夫曼编码1164.4.1 前缀码1174.4.2 构造哈夫曼编码1174.4.3 哈夫曼算法的正确性1194.5 单源最短路径1214.5.1 算法基本思想1214.5.2 算法的正确性和计算复杂性123 4.6 最小生成树1254.6.1 最小生成树性质1254.6.2 Prim算法1264.6.3 Kruskal算法1284.7 多机调度问题1304.8 贪心算法的理论基础1334.8.1 拟阵1334.8.2 带权拟阵的贪心算法1344.8.3 任务时间表问题137小结141习题141第5章回溯法1465.1 回溯法的算法框架1465.1.1 问题的解空间1465.1.2 回溯法的基本思想1475.1.3 递归回溯1495.1.4 迭代回溯1505.1.5 子集树与排列树1515.2 装载问题1525.3 批处理作业调度1605.4 符号三角形问题1625.5 n后问题1655.6 0\|1背包问题1685.7 最大团问题1715.8 图的m着色问题1745.9 旅行售货员问题1775.10 圆排列问题1795.11 电路板排列问题1815.12 连续邮资问题1855.13 回溯法的效率分析187小结190习题191第6章分支限界法1956.1 分支限界法的基本思想1956.2 单源最短路径问题1986.3 装载问题2026.4 布线问题2116.5 0\|1背包问题2166.6 最大团问题2226.7 旅行售货员问题2256.8 电路板排列问题2296.9 批处理作业调度232小结237习题238第7章概率算法2407.1 随机数2417.2 数值概率算法2447.2.1 用随机投点法计算π值2447.2.2 计算定积分2457.2.3 解非线性方程组2477.3 舍伍德算法2507.3.1 线性时间选择算法2507.3.2 跳跃表2527.4 拉斯维加斯算法2597.4.1 n 后问题2607.4.2 整数因子分解2647.5 蒙特卡罗算法2667.5.1 蒙特卡罗算法的基本思想2667.5.2 主元素问题2687.5.3 素数测试270小结273习题273第8章 NP完全性理论2788.1 计算模型2798.1.1 随机存取机RAM2798.1.2 随机存取存储程序机RASP2878.1.3 RAM模型的变形与简化2918.1.4 图灵机2958.1.5 图灵机模型与RAM模型的关系297 8.1.6 问题变换与计算复杂性归约299 8.2 P类与NP类问题3018.2.1 非确定性图灵机3018.2.2 P类与NP类语言3028.2.3 多项式时间验证3048.3 NP完全问题3058.3.1 多项式时间变换3058.3.2 Cook定理3078.4 一些典型的NP完全问题3108.4.1 合取范式的可满足性问题3118.4.2 3元合取范式的可满足性问题312 8.4.3 团问题3138.4.4 顶点覆盖问题3148.4.5 子集和问题3158.4.6 哈密顿回路问题3178.4.7 旅行售货员问题322小结323习题323第9章近似算法3269.1 近似算法的性能3279.2 顶点覆盖问题的近似算法3289.3 旅行售货员问题近似算法3299.3.1 具有三角不等式性质的旅行售货员问题330 9.3.2 一般的旅行售货员问题3319.4 集合覆盖问题的近似算法3339.5 子集和问题的近似算法3369.5.1 子集和问题的指数时间算法3369.5.2 子集和问题的完全多项式时间近似格式337 小结340习题340第10章算法优化策略34510.1 算法设计策略的比较与选择34510.1.1 最大子段和问题的简单算法34510.1.2 最大子段和问题的分治算法34610.1.3 最大子段和问题的动态规划算法34810.1.4 最大子段和问题与动态规划算法的推广349 10.2 动态规划加速原理35210.2.1 货物储运问题35210.2.2 算法及其优化35310.3 问题的算法特征35710.3.1 贪心策略35710.3.2 对贪心策略的改进35710.3.3 算法三部曲35910.3.4 算法实现36010.3.5 算法复杂性36610.4 优化数据结构36610.4.1 带权区间最短路问题36610.4.2 算法设计思想36710.4.3 算法实现方案36910.4.4 并查集37310.4.5 可并优先队列37610.5 优化搜索策略380小结388习题388第11章在线算法设计39111.1 在线算法设计的基本概念39111.2 页调度问题39311.3 势函数分析39511.4 k 服务问题39711.4.1 竞争比的下界39711.4.2 平衡算法39911.4.3 对称移动算法39911.5 Steiner树问题40311.6 在线任务调度40511.7 负载平衡406小结407习题407词汇索引409参考文献415习题1-1 实参交换1习题1-2 方法头签名1习题1-3 数组排序判定1习题1-4 函数的渐近表达式2习题1-5 O(1) 和 O(2) 的区别2习题1-7 按渐近阶排列表达式2习题1-8 算法效率2习题1-9 硬件效率3习题1-10 函数渐近阶3习题1-11 n !的阶4习题1-12 平均情况下的计算时间复杂性4算法实现题1-1 统计数字问题4算法实现题1-2 字典序问题5算法实现题1-3 最多约数问题6算法实现题1-4 金币阵列问题8算法实现题1-5 最大间隙问题11第2章递归与分治策略14 习题2-1 Hanoi 塔问题的非递归算法14习题2-2 7个二分搜索算法15习题2-3 改写二分搜索算法18习题2-4 大整数乘法的 O(nm log(3/2))算法19习题2-5 5次 n /3位整数的乘法19习题2-6 矩阵乘法21习题2-7 多项式乘积21习题2-8 不动点问题的 O( log n) 时间算法22习题2-9 主元素问题的线性时间算法22习题2-10 无序集主元素问题的线性时间算法22习题2-11 O (1)空间子数组换位算法23习题2-12 O (1)空间合并算法25习题2-13 n 段合并排序算法32习题2-14 自然合并排序算法32习题2-15 最大值和最小值问题的最优算法35习题2-16 最大值和次大值问题的最优算法35习题2-17 整数集合排序35习题2-18 第 k 小元素问题的计算时间下界36习题2-19 非增序快速排序算法37习题2-20 随机化算法37习题2-21 随机化快速排序算法38习题2-22 随机排列算法38习题2-23 算法qSort中的尾递归38习题2-24 用栈模拟递归38习题2-25 算法select中的元素划分39习题2-26 O(n log n) 时间快速排序算法40习题2-27 最接近中位数的 k 个数40习题2-28 X和Y 的中位数40习题2-29 网络开关设计41习题2-32 带权中位数问题42习题2-34 构造Gray码的分治算法43习题2-35 网球循环赛日程表44目录算法设计与分析习题解答（第2版）算法实现题2-1 输油管道问题（习题2-30) 49算法实现题2-2 众数问题（习题2-31) 50算法实现题2-3 邮局选址问题（习题2-32) 51算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题（习题2-33) 51算法实现题2-5 半数集问题60算法实现题2-6 半数单集问题62算法实现题2-7 士兵站队问题63算法实现题2-8 有重复元素的排列问题63算法实现题2-9 排列的字典序问题65算法实现题2-10 集合划分问题（一）67算法实现题2-11 集合划分问题（二）68算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题69算法实现题2-13 标准二维表问题71算法实现题2-14 整数因子分解问题72算法实现题2-15 有向直线2中值问题72第3章动态规划76习题3-1 最长单调递增子序列76习题3-2 最长单调递增子序列的 O(n log n) 算法77习题3-7 漂亮打印78习题3-11 整数线性规划问题79习题3-12 二维背包问题80习题3-14 Ackermann函数81习题3-17 最短行驶路线83习题3-19 最优旅行路线83算法实现题3-1 独立任务最优调度问题（习题3-3) 83算法实现题3-2 最少硬币问题（习题3-4) 85算法实现题3-3 序关系计数问题（习题3-5) 86算法实现题3-4 多重幂计数问题（习题3-6) 87算法实现题3-5 编辑距离问题（习题3-8) 87算法实现题3-6 石子合并问题（习题3-9) 89算法实现题3-7 数字三角形问题（习题3-10) 91算法实现题3-8 乘法表问题（习题3-13) 92算法实现题3-9 租用游艇问题（习题3-15) 93算法实现题3-10 汽车加油行驶问题（习题3-16) 95算法实现题3-11 圈乘运算问题（习题3-18) 96算法实现题3-12 最少费用购物（习题3-20) 102算法实现题3-13 最大长方体问题（习题3-21) 104算法实现题3-14 正则表达式匹配问题（习题3-22) 105算法实现题3-15 双调旅行售货员问题（习题3-23) 110算法实现题3-16 最大 k 乘积问题（习题5-24) 111算法实现题3-17 最小 m 段和问题113算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题115第4章贪心算法123 习题4-2 活动安排问题的贪心选择123习题4-3 背包问题的贪心选择性质123习题4-4 特殊的0-1背包问题124习题4-10 程序最优存储问题124习题4-13 最优装载问题的贪心算法125习题4-18 Fibonacci序列的Huffman编码125习题4-19 最优前缀码的编码序列125习题4-21 任务集独立性问题126习题4-22 矩阵拟阵126习题4-23 最小权最大独立子集拟阵126习题4-27 整数边权Prim算法126习题4-28 最大权最小生成树127习题4-29 最短路径的负边权127习题4-30 整数边权Dijkstra算法127算法实现题4-1 会场安排问题（习题4-1) 128算法实现题4-2 最优合并问题（习题4-5) 129算法实现题4-3 磁带最优存储问题（习题4-6) 130算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题（习题4-7) 131算法实现题4-5 程序存储问题（习题4-8) 132算法实现题4-6 最优服务次序问题（习题4-11) 133算法实现题4-7 多处最优服务次序问题（习题4-12) 134算法实现题4-8 d 森林问题（习题4-14) 135算法实现题4-9 汽车加油问题（习题4-16) 137算法实现题4-10 区间覆盖问题（习题4-17) 138算法实现题4-11 硬币找钱问题（习题4-24) 138算法实现题4-12 删数问题（习题4-25) 139算法实现题4-13 数列极差问题（习题4-26) 140算法实现题4-14 嵌套箱问题（习题4-31) 140算法实现题4-15 套汇问题（习题4-32) 142算法实现题4-16 信号增强装置问题（习题5-17) 143算法实现题4-17 磁带最大利用率问题（习题4-9) 144算法实现题4-18 非单位时间任务安排问题（习题4-15) 145算法实现题4-19 多元Huffman编码问题（习题4-20) 147算法实现题4-20 多元Huffman编码变形149算法实现题4-21 区间相交问题151算法实现题4-22 任务时间表问题151第5章回溯法153习题5\|1 装载问题改进回溯法（一）153习题5\|2 装载问题改进回溯法（二）154习题5\|4 0-1背包问题的最优解155习题5\|5 最大团问题的迭代回溯法156习题5\|7 旅行售货员问题的费用上界157习题5\|8 旅行售货员问题的上界函数158算法实现题5-1 子集和问题（习题5-3) 159算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题（习题5-9) 160算法实现题5-3 最小重量机器设计问题（习题5-10) 163算法实现题5-4 运动员最佳匹配问题（习题5-11) 164算法实现题5-5 无分隔符字典问题（习题5-12) 165算法实现题5-6 无和集问题（习题5-13) 167算法实现题5-7 n 色方柱问题（习题5-14) 168算法实现题5-8 整数变换问题（习题5-15) 173算法实现题5-9 拉丁矩阵问题（习题5-16) 175算法实现题5-10 排列宝石问题（习题5-16) 176算法实现题5-11 重复拉丁矩阵问题（习题5-16) 179算法实现题5-12 罗密欧与朱丽叶的迷宫问题181算法实现题5-13 工作分配问题（习题5-18) 183算法实现题5-14 独立钻石跳棋问题（习题5-19) 184算法实现题5-15 智力拼图问题（习题5-20) 191算法实现题5-16 布线问题（习题5-21) 198算法实现题5-17 最佳调度问题（习题5-22) 200算法实现题5-18 无优先级运算问题（习题5-23) 201算法实现题5-19 世界名画陈列馆问题（习题5-25) 203算法实现题5-20 世界名画陈列馆问题（不重复监视）（习题5-26) 207 算法实现题5-21 部落卫队问题（习题5-6) 209算法实现题5-22 虫蚀算式问题211算法实现题5-23 完备环序列问题214算法实现题5-24 离散01串问题217算法实现题5-25 喷漆机器人问题218算法实现题5-26 n 2-1谜问题221第6章分支限界法229习题6-1 0-1背包问题的栈式分支限界法229习题6-2 用最大堆存储活结点的优先队列式分支限界法231习题6-3 团顶点数的上界234习题6-4 团顶点数改进的上界235习题6-5 修改解旅行售货员问题的分支限界法235习题6-6 解旅行售货员问题的分支限界法中保存已产生的排列树237 习题6-7 电路板排列问题的队列式分支限界法239算法实现题6-1 最小长度电路板排列问题一（习题6-8) 241算法实现题6-2 最小长度电路板排列问题二（习题6-9) 244算法实现题6-3 最小权顶点覆盖问题（习题6-10) 247算法实现题6-4 无向图的最大割问题（习题6-11) 250算法实现题6-5 最小重量机器设计问题（习题6-12) 253算法实现题6-6 运动员最佳匹配问题（习题6-13) 256算法实现题6-7 n 后问题（习题6-15) 259算法实现题6-8 圆排列问题（习题6-16) 260算法实现题6-9 布线问题（习题6-17) 263算法实现题6-10 最佳调度问题（习题6-18) 265算法实现题6-11 无优先级运算问题（习题6-19) 268算法实现题6-12 世界名画陈列馆问题（习题6-21) 271算法实现题6-13 骑士征途问题274算法实现题6-14 推箱子问题275算法实现题6-15 图形变换问题281算法实现题6-16 行列变换问题284算法实现题6-17 重排 n 2宫问题285算法实现题6-18 最长距离问题290第7章概率算法296习题7-1 模拟正态分布随机变量296习题7-2 随机抽样算法297习题7-3 随机产生 m 个整数297习题7-4 集合大小的概率算法298习题7-5 生日问题299习题7-6 易验证问题的拉斯维加斯算法300习题7-7 用数组模拟有序链表300习题7-8 O(n 3/2)舍伍德型排序算法300习题7-9 n 后问题解的存在性301习题7-11 整数因子分解算法302习题7-12 非蒙特卡罗算法的例子302习题7-13 重复3次的蒙特卡罗算法303习题7-14 集合随机元素算法304习题7-15 由蒙特卡罗算法构造拉斯维加斯算法305习题7-16 产生素数算法306习题7-18 矩阵方程问题306算法实现题7-1 模平方根问题（习题7-10) 307算法实现题7-2 集合相等问题（习题7-17) 309算法实现题7-3 逆矩阵问题（习题7-19) 309算法实现题7-4 多项式乘积问题（习题7-20) 310算法实现题7-5 皇后控制问题311算法实现题7-6 3-SAT问题314算法实现题7-7 战车问题315算法实现题7-8 圆排列问题317算法实现题7-9 骑士控制问题319算法实现题7-10 骑士对攻问题320第8章NP完全性理论322 习题8-1 RAM和RASP程序322习题8-2 RAM和RASP程序的复杂性322习题8-3 计算 n n 的RAM程序322习题8-4 没有MULT和DIV指令的RAM程序324习题8-5 MULT和DIV指令的计算能力324习题8-6 RAM和RASP的空间复杂性325习题8-7 行列式的直线式程序325习题8-8 求和的3带图灵机325习题8-9 模拟RAM指令325习题8-10 计算2 2 n 的RAM程序325习题8-11 计算 g(m,n)的程序 326习题8-12 图灵机模拟RAM的时间上界326习题8-13 图的同构问题326习题8-14 哈密顿回路327习题8-15 P类语言的封闭性327习题8-16 NP类语言的封闭性328习题8-17 语言的2 O (n k) 时间判定算法328习题8-18 P CO -NP329习题8-19 NP≠CO -NP329习题8-20 重言布尔表达式329习题8-21 关系∝ p的传递性329习题8-22 L ∝ p 330习题8-23 语言的完全性330习题8-24 的CO-NP完全性330习题8-25 判定重言式的CO-NP完全性331习题8-26 析取范式的可满足性331习题8-27 2-SAT问题的线性时间算法331习题8-28 整数规划问题332习题8-29 划分问题333习题8-30 最长简单回路问题334第9章近似算法336习题9-1 平面图着色问题的绝对近似算法336习题9-2 最优程序存储问题336习题9-4 树的最优顶点覆盖337习题9-5 顶点覆盖算法的性能比339习题9-6 团的常数性能比近似算法339习题9-9 售货员问题的常数性能比近似算法340习题9-10 瓶颈旅行售货员问题340习题9-11 最优旅行售货员回路不自相交342习题9-14 集合覆盖问题的实例342习题9-16 多机调度问题的近似算法343习题9-17 LPT算法的最坏情况实例345习题9-18 多机调度问题的多项式时间近似算法345算法实现题9-1 旅行售货员问题的近似算法（习题9-9) 346 算法实现题9-2 可满足问题的近似算法（习题9-20) 348算法实现题9-3 最大可满足问题的近似算法（习题9-21) 349 算法实现题9-4 子集和问题的近似算法（习题9-15) 351算法实现题9-5 子集和问题的完全多项式时间近似算法352算法实现题9-6 实现算法greedySetCover（习题9-13) 352算法实现题9-7 装箱问题的近似算法First Fit（习题9-19) 356算法实现题9-8 装箱问题的近似算法Best Fit（习题9-19) 358算法实现题9-9 装箱问题的近似算法First Fit Decreasing（习题9-19) 360算法实现题9-10 装箱问题的近似算法Best Fit Decreasing（习题9-19) 361算法实现题9-11 装箱问题的近似算法Next Fit361第10章算法优化策略365 习题10-1 算法obst的正确性365习题10-2 矩阵连乘问题的 O(n 2) 时间算法365习题10-6 货物储运问题的费用371习题10-7 Garsia算法371算法实现题10-1 货物储运问题（习题10-3) 374算法实现题10-2 石子合并问题（习题10-4) 374算法实现题10-3 最大运输费用货物储运问题（习题10-5) 375算法实现题10-4 五边形问题377算法实现题10-5 区间图最短路问题（习题10-8) 381算法实现题10-6 圆弧区间最短路问题（习题10-9) 381算法实现题10-7 双机调度问题（习题10-10) 382算法实现题10-8 离线最小值问题（习题10-11) 390算法实现题10-9 最近公共祖先问题（习题10-12) 393算法实现题10-10 达尔文芯片问题395算法实现题10-11 多柱Hanoi塔问题397算法实现题10-12 线性时间Huffman算法400算法实现题10-13 单机调度问题402算法实现题10-14 最大费用单机调度问题405算法实现题10-15 飞机加油问题408第11章在线算法设计410习题11-1 在线算法LFU的竞争性410习题11-4 多读写头磁盘问题的在线算法410习题11-6 带权页调度问题410算法实现题11-1 最优页调度问题（习题11-2) 411算法实现题11-2 在线LRU页调度（习题11-3) 414算法实现题11-3 k 服务问题（习题11-5) 416参考文献422。
查找第K小的数
数的查找【问题描述】对于给定的含n个元素的数组a[1..n]，要求从中找出第k小的元素。
输入：第一行是总数n和k，第二行是n个待比较的元素。
输出：第k小的数在数组中的位置。
【样例输入】5 323 8 91 56 4【样例输出】1【问题分析】对于一组混乱无序的数来说，要找到第k小的元素通常要经过两个步骤才能实现：第一步：将所有的数进行排序；第二步：确定第k个位置上的数。
传统的排序算法（插入排序、选择排序、冒泡排序等）大家都已经很熟悉了，但已学过的排序方法无论从速度上，还是从稳定性方面，都不是最佳的。
事实上，用归并排序或堆排序的方法来实现排序相对而言是较快较稳的，或者通过避免排序的方法，同样也可以有效地提高查找的效率。
下面是一列由10个元素组成的数组：[ 7 2 6 8 10 1 6 22 9 4 ]假设要找出k=3的元素，我们不妨这样来处理：将7作为一个参照数，将这个数组中比7大的数放在7的左边，比7大的数放在7的右边，这样，我们就可以得到第一次数组的调整：[ 4 2 6 6 1 ] 7 [ 10 22 9 8 ]观察一下，比7小的数有5个，那么，7应该是该数组中第6小的元素。
题目要求k=3，那么，我们就应该将搜索范围缩小到7的左边，以4为参照数，确定4的实际位置为：[ 1 2 ] 4 [ 6 6 ]通看一遍，4应该是第3个小的元素，正是题目中所要找的那个数。
选数过程用select(left, right, k)表示，其中left表示数列最左边第一个数，right表示数列最右边第一个数的位置，k表示要找的元素排名。
函数template实现确定数列中第一个数的位置，其参数有：right：数列的右边界；left：数列的左边界。
返回值为：左边界数值的实际位置。
【程序描述】procedure select(left, right, k: integer);begin根据left和right的值，求出数列中元素的总个数n;排除掉k不允许出现的情况：(k>n) or (k<1);temp := template(right, left);{函数template是用于找出数列中left元素的实际排名位置}if k = temp then begin 输出相应的数; 返回; end;if k>temp then select(temp+left,right,k-temp) {从数列的右半边找} else select(right,temp+left-2,k); {从数列的左半边找} end;function template(right, left: integer): integer;var temp, i, j: integer;begini := left;j := right;while (j > i) dobeginwhile (a[i]<=a[j]) and (J >i)do j := j – 1;temp := a[i];a[i] := a[j];a[j] := temp;i：=i+ 1；while (a[j]>=a[i]) and (j > i) do i := i + 1;temp := a[i];a[i] := a[j];a[j] := temp;j := j – 1;end;template := j;end;。
寻找最小（最大）的k个数
寻找最⼩（最⼤）的k个数题⽬描述：输⼊n个整数，输出其中最⼩的k个元素。
例如：输⼊1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，则最⼩的4个数字为1，2，3，4。
思路1：最容易想到的⽅法：先对这个序列从⼩到⼤排序，然后输出前⾯的最⼩的k个数即可。
如果选择快速排序法来进⾏排序，则时间复杂度：O（n*logn）思路2：在思路1的基础上更进⼀步想想，题⽬并没有要求要查找的k个数，甚⾄后n-k个数是有序的，既然如此，咱们⼜何必对所有的n个数都进⾏排序列?如此，我们能想打的⼀个⽅法是：遍历n个数，先把最先遍历到得k个数存⼊⼤⼩为k的数组之中，对这k个数，利⽤选择或交换排序，找到k个数中的最⼤数kmax（kmax设为k个元素的数组中最⼤元素），⽤时O（k）（你应该知道，插⼊或选择排序查找操作需要O（k）的时间），后再继续遍历后n-k个数，x与kmax⽐较：如果x<kmax，则x代替kmax，并再次重新找出k个元素的数组中最⼤元素kmax ‘；如果x>kmax，则不更新数组。
这样，每次更新或不更新数组的所⽤的时间为O（k）或O（0），整趟下来，总的时间复杂度平均下来为：n*O（k）=O（n*k）思路3：与思路2⽅法类似，只是⽤容量为k的最⼤堆取代思路2中数组的作⽤（从数组中找最⼤数需要O(k)次查找，⽽从更新⼀个堆使之成为最⼤堆只需要O(logk)次操作）。
具体做法如下：⽤容量为k的最⼤堆存储最先遍历到的k个数，并假设它们即是最⼩的k个数，建堆费时O（k）后，有k1<k2<…<kmax（kmax设为⼤顶堆中最⼤元素）。
继续遍历数列，每次遍历⼀个元素x，与堆顶元素⽐较，x<kmax，更新堆（⽤时logk），否则不更新堆。
这样下来，总费时O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）。
思路4：按编程之美中给出的描述，类似快速排序的划分⽅法，N个数存储在数组S中，再从数组中随机选取⼀个数X（随机选取枢纽元，可做到线性期望时间O（N）的复杂度），把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素⼩于Sa的元素个数，则返回Sa 中较⼩的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中⼩的k-|Sa|个元素。
前端 加一算法题
前端加一算法题一、题目描述给定一个数组，数组中的每个元素都是正整数。
现在请你设计一个算法，使得每次输入一个正整数k，算法可以输出数组中第k小的元素。
如果这样的元素不存在，则返回-1。
二、算法思路1.排序：将数组进行排序，这样就可以直接找到第k小的元素。
2.快慢指针：使用快慢指针的思想，每次将慢指针移动k个位置，快指针移动一个位置，直到快指针到达数组末尾。
此时慢指针指向的就是第k小的元素。
三、实现代码下面是一个使用JavaScript实现的算法，分别使用排序和快慢指针两种方法。
方法一：排序```javascriptfunctionfrontK(nums,k){//将数组排序nums.sort((a,b)=>a-b);//判断数组中是否有第k小的元素if(k>nums.length){return-1;//如果没有第k小的元素，返回-1}else{returnnums[k-1];//返回第k小的元素}}```方法二：快慢指针```javascriptfunctionfrontK(nums,k){//使用快慢指针找到第k小的元素letslow=nums[0];//慢指针初始位置为数组的第一个元素letfast=nums[0];//快指针初始位置也为数组的第一个元素letindex=0;//记录当前位置的下标while(k>0&&index<nums.length-1){//当k大于0且还有位置可取时，移动慢指针和快指针if(nums[index+1]-nums[index]<=k){slow=nums[index+1];//将慢指针移动到下一个位置k-=nums[index+1]-nums[index];//k值减去移动的距离，继续寻找下一个位置的下标}else{k=Math.min(k,slow-nums[index]);//将k值与慢指针和当前元素的差值进行比较，找到下一个位置的下标}index++;//下一个位置的下标加一，继续寻找下一个位置的元素}//如果k大于0，说明还有位置可取，返回当前位置的元素；否则返回-1returnk>0?nums[index]:-1;}```四、测试样例测试样例一：输入数组[3,7,9,1,2]，要求找到第3小的元素。
实验四寻找第K小元素
实验四寻找第K小元素一．实验目的1. 进一步理解分治算法的思想2. 根据程序分析算法的思想二．实验任务用分治思想实现寻找第K小元素问题三．实验思路把n个元素划分为n/5个元素，即每组5个元素，如果n不是5的倍数，则排除剩余的元素，这应当不会影响算法的执行，每组进行排序并取出它的中项即第三个元素T0。
以T0为中心，把数组分为3部分：小于T0，等于T0，大于T0。
然后检察K在哪个范围，是小于T0，还是等于T0，还是大于T0，如果小于或者是大于T0，则继续重复1，2，3，4，5步，如果是等于T0，则T0即为所求。
四．实验核心代码void MergeSort(int r[],int r1[],int s,int t){int m=(s+t)/2;if(s==t) r1[s]=r[s];else{MergeSort(r,r1,s,m);MergeSort(r,r1,m+1,t);Merge(r1,r,s,m,t);}for(int n=s;n<=t;n++){r[n]=r1[n];}}void Merge(int r1[],int r[],int s,int m,int t){int i=s;int j=m+1;int k=s;while(i<=m&&j<=t){if(r[i]<r[j]){r1[k++]=r[i++];}else{r1[k++]=r[j++];}}while(i<=m){r1[k++]=r[i++];}while (j<=t){r1[k++]=r[j++];}}//寻找第K小元素，可以先将要找的元素进行排序，再返回排序后数组中的第K个元素就是第K小元素，（这里相同元素按排序先后分成不同大小）int searchK(int r[],int n,int k){int *a=new int[n];int r1[100];MergeSort(r,r1,0,n-1);return (k-1);}六．实验结果五．实验总结1.算法的关键是找到把整个数组分为三部分的支点，searchK方法的主要部分就是采用将元素分组后，每组取中项，最后再取中项的中项作为支点。
数据结构 互易定理
数据结构互易定理数据结构是计算机科学最基础的领域之一，它可以帮助我们更加有效地组织和处理数据。
互易定理是数据结构中的一个重要思想，它是指在一些特定情况下，我们可以通过互相交换两个数据结构的某些属性，来获得一种新的数据结构。
在本文中，我们将介绍互易定理的概念、应用以及相关参考内容。
互易定理的概念在数学中，互易定理是指对于某些特定的运算，我们可以通过交换运算的两个操作数，来得到相同的结果。
例如，在加法中，a + b = b + a。
在数据结构中，互易定理也类似地指出，对于某些特定的数据结构，我们可以通过交换它们的某些属性，来得到一种相同的数据结构。
这种交换必须是可逆的，并且不影响数据结构内部元素的顺序。
互易定理的应用互易定理在数据结构中有许多应用，其中一些最常见的应用如下：1. 堆排序堆排序是一种基于堆的排序算法。
在堆排序中，我们需要将输入序列建成一个堆，然后反复将堆顶元素与最后一个元素交换，然后重新构建堆，直到所有元素都被排序。
由于构建堆是一个重要的操作，因此通常使用互易定理将堆的构建过程转换为堆的维护过程。
具体来说，在堆排序中，我们利用互易定理将堆的左右子树中的最大元素交换，以保证堆的性质。
2. 快速选择快速选择是一种基于快速排序的选择算法。
在快速选择中，我们只需要找到输入序列中第k小的元素，而不需要将整个序列排序。
与快速排序类似，我们需要将输入序列划分为两个部分，然后只考虑包含第k小元素的那个部分。
在实现中，我们可以利用互易定理交换元素的顺序，使得第k小元素的位置处于左侧部分。
3. 双端队列双端队列是一种特殊的队列，它允许在队列的两端进行插入和删除操作。
由于双端队列允许在队首和队尾同时进行操作，因此通常使用互易定理将队列的实现转换为栈的实现。
我们只需要在栈的实现基础上，添加队首和队尾指针即可。
相关参考内容在学习互易定理的过程中，有一些相关的参考内容可以帮助我们更好地理解和应用互易定理。
1. 《算法导论》（Introduction to Algorithms）《算法导论》是计算机科学中最经典的教材之一，该书介绍了许多常用的数据结构和算法，包括互易定理。
形态学运算中结构元素选取方法研究
现 代
A莓B=（AΘ（D茌C））茌（D茌C）
计
＝（AΘDΘC）茌D茌C
（8）
算
当时，可以得出：
机
A莓B=（AΘSΘS）茌S茌S
（9）
（总
若将上式 2 次腐蚀膨胀扩展为 K 次，则：
第
A莓B=（AΘB）茌B=（AΘSΘS…S ）茌S茌S…S （10）
茌 茌
茌 茌
茌
茌
三
k
k
一 一
因此开运算就转换成不断使用小结构元素 S 腐
R=（r-1）×k+1
显然，知道小结构元素尺寸和腐蚀的次数就可以
ÁÁ研究与开发
计算出大结构元素尺寸。 同理，根据膨胀和腐蚀的对 偶性，结构元素尺寸的计算也可以由小结构元素尺寸 和膨胀的次数由上式进行计算。
（a） 原始图像
请简述选择排序的基本步骤
请简述选择排序的基本步骤
选择排序是一种简单的排序算法，其基本步骤包括以下几个部分：
1. 遍历整个数组，找到最小的元素，并将其放在数组的第一位。
2. 继续遍历数组，但这次从第二个元素开始，找到整个数组中
第二小的元素，并将其放在数组的第二位。
3. 以此类推，继续遍历数组，每次找到整个数组中第k小的元素，并将其放在数组的第k位。
4. 最终，当遍历完整个数组时，数组中的元素已经按照从小到
大的顺序排好了序。
需要注意的是，选择排序的实现过程中需要使用嵌套循环，在每次内层循环中找到当前最小的元素，并将其与外层循环中的元素进行交换。
此外，选择排序算法的时间复杂度为O(n)，因此在处理大规
模数据时可能不太适用。
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层次分析法案例
层次分析法的应用层次分析法由美国著名运筹学家萨蒂于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、 实用的左性分析与左疑分析相结合的系统分析与评价的方法。
目前，该方法在国内已得到广泛 的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入 产出分析、资源分配、方案选择及评比等方而。
它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、 简洁的、实用的决策方法。
层次分析法的基本原理人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。
这时， 一般是利用两两比较的方法来达到目的。
假设有“个物品，其真实重量用性八卩”…叫 表示。
要想知道匕，心，…叫的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但亦果没 有秤，可以将儿个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵IVj / vvsw 2 / w 2由上式可知，n 是A 的特征值，W 是A 的特征向量。
根据矩阵理论，n 是矩阵A 的 唯一非零解，也是最大的特征值。
这就提示我们，可以利用求物品重量比判断矩阵 的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W 。
从而确定最重的物品。
将上述n 个物品代表n 个指标（要素）,物品的重量向量就表示各指标（要素） 的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求 出其特征向量就可确定哪个因素最重要。
依此类推，如果n 个物品代表n 个方案，按 照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。
应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：（1） 将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型（LI 标层、判断层、方案层）。
（2） 标度及描述。
同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的重要性之 比W] / W] W] / W? …嗎/叫AW =w 2 / l Vj・■・w 2 / WS•・・ ...w 2 /• • ••・•■w 2——mv 2w n / W]叫/吧W W …r f r __叫__叫_nW则有：■% / W]如果用物品巫量向量W 二[w ],做出判断，给予量化。