2011年高考总复习数学(大纲版)提能拔高限时训练单元检测(.

2
B • 12
种 C • 24 种
D • 48 种
单元检测（十） 排列、组合和二项式定理
（满分：150分时间：120分钟）
一、选择题（本大题共 12小题,每小题5分，共60分）
1 •甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修 方案共有（ ）
A • 36 种
B • 48 种
C • 96 种
D • 192 种
解析：由题意，知不同的选修方案共有 C ：= 96种. 答案：C
2 .在（1 + x ） n （n € N *）的二项展开式中 若只有x 5的系数最大，则n 等于（ ）
A • 8
B • 9
C • 10
D • 11
解析：已知只有x 5的系数最大，则展开式共有11项，故n = 10.
答案：C
3 •用0, 1, 2,…，9这十个数字组成无重复数字的三位数的个数是（ ） A • 9埒
B • A 。

C • A 1o -A f
D • A
解析：百位上有9种排法；其他数位上有 A 2种排法，共有gA!2个三位数，故选 A •如用去杂 法，应为A 30 -A 2. 答案：A
4•把1 +（1 + x ） + （ 1 + x ） 2+…+（ 1 + x ） n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为 a n ， 则2an
~1等于（
）
a n 1
D
• 2-23比
答案：D
5 •由数字1,2,3，…，9组成的三位数中，各位数字按严格递增 （如“156）”或严格递减（如“ 421）” 顺序排列的数的个数是（ ” A • 120
B • 168
C • 204
D • 216
符合条件的数有84 + 84= 168个故选B • 答案：B
6 •将1,2,3填入3 X 3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填 写方法共有（
”
B • 2n — 1
解析：令x = 1,得 a n = 1 + 2+ 22
+…+ 2n
= 1 -2
n 1
1-2
-2
2a
n
a n 1
2・
2
n ・
-3
-2
n -1
解析：由题意分析，知严格递增的三位数有 C ； = 84个,同理严格递减的三位数也有
84个，所
解析：本题主要考查了排列组合及分析问题的能力 •只需填第一行和第一列的即可确定
•••不同的填写方法共有 A ；A ； = 12种. 答案：B
7. （1 +彗X ）6（1 +丄）10展开式中的常数项为（ ）
A . 1
B . 46
C . 4 245
D . 4 246
解析：常数项为c 6 心 -C 3C 4 - C 6C 80 = 4 246.
答案：D
8 •用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中 ，是9的倍数的共有（
）
A . 360 个
B . 180 个
c . 120 个
D . 24 个
解析：由题意，知组成的四位数的四个数字之和能被 9整除，则这个四位数能被 9整除.
••• 3 + 4+ 5+ 6= 18,能被 9 整除， •••所求的四位数有 A 44= 24 （个）. 答案：D
9.某企业要从其下属 6个工厂中调8名工程技术人员组成课题攻关小组 ，每厂至少调1人，则
这8个名额的分配方案共有（ ）
A . 15 种
B . 21 种
c . 30 种
D . 36 种
解析：从6个工厂中调8人，每厂至少调1人，可以看成是8人中有6人平均到每个工厂，还剩 余2人可以自由去6个工厂中的任一个，若2人去不同工厂则有 C ；种方法，若2人同去同一工 厂则有C ；种方法，故共有C ： + C ： = 21种.故选B . 答案：B
10 .设m v n ,集合R = {1 , 2,…，m}，集合S ={1,2,…，n},则集合R 到集合S 的映射个数 是（ ） 八 m n A . n B . m 解析：由映射的概念，知选 A .
答案：A
=0，得 r = 9.
9c 9
r 3
12 汇 11汇10
•••常数项 T 10=（— 1） 9
C
12
=
-C 12
= - 12
10
=— 220.
1汉2汉3
答案：C
11 . (x -
12
展开式中的常数项为（
A . — 1 320
B . 1 320
C . — 220 220
解析：由通项公式T r d (T)C ；x
Y ，令12』
3
r
r
(-1)七；2严"
12 .有A、B、C、D、E、F 6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个.若卡车甲不能运A箱,卡车乙不能运B箱,此外无其他任何限制.要把这6个集装箱分配给这
3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）
A. 168
B. 84
C. 56 D . 42
解析：分两类：
（1）甲运B箱，有C •丄c：*C 2种；
2
（2）甲不运B箱，有C：种.
1
•••不同的分配方案共有c4 c：+ c：= 42 （种），选D .
2
答案：D
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）
13. _______________________________________________________________ 若（X—2）5= a5x5 + a4x4+ a3x'+ a?x2+ a i x+ a o则a i + a?+ a3 + a4 + a5= _______________________ .（用数字作答）
解析：令x= 1,得a5 + 印 + a3 + a?+ a i + a°=—1，
令x = 0，得a o=（—2）5=—32，
所以a§+ 印 + 83+ a? + a1 = —1 —a o = 31.
答案：31
2 1 c . . *
14. ___________________________________________________________________________ 已知（1 + x+ x ）（x+ 有）的展开式中没有常数项，n€ N 且2< n< 8,则n = _____________ .
x
1
解析：依题意（x + 4 ）n的展开式中不含x0，x —1，x —2项即可，由通项
x
r n r 1 r r n _4 r *
F r 1二C n X （3） C n X 对n€ N，2w n< 8中只有n= 5时，其展开式既不出现常数项，
x
也不会出现与X、x2乘积为常数的项•
答案：5
15 （2009湖北第二次联考，13 ）某车队有7辆车,现在要调出4辆,再按一定顺序出去执行任务• 要求甲、乙两车必须参加而且甲车在乙车前开出，那么不同的调度方案有___ 种•（用数字作答）解析：当甲车排第①个时，乙车可排2、3、4号，有3种选择；当甲车排第②个时，乙车可排3、4 号，有2种选择；当甲车排第③个时，乙车只可排4 号,只有1种选择滁甲、乙两车外，在其余5
辆车中任意选取2辆按顺序排列，有A种选法；因此共有：（3+ 2+ 1）A = 120种不同的调度
答案：120
16 .乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、
三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共
有____种.（用数字作答）
解析：三名主力队员排在第一、三、五位置有A3种排法，其余7名队员选2名排在第二、
四位置有A种排法，故共有A -A = 252种出场方案.
答案：252
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （本小题满分10分）在一块10垄并排的田地中，选2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？
解法一：（图示法）如图（1）,用并排一行的10个小矩形表示10垄田地，小矩形内加“O ” 表示选中，具体画出来有6种选取方法.再对每种选取方式分别种植 A 、B 两种作物，有 A 种 种植方法•
故共有6 A 2 = 12种选垄方法•
解法二：（图象法）设并排 10垄田地依次编号为 1, 2, 3,…，10,所选的垄田地为 a 、b,
a -
b K 7,
根据题设条件，得《1兰aE10,a^ N ,.
1 <^10,^ N
问题的解化为不等式组的整数解的个数 •如图（2）所示，满足不等式组的解为坐标平面
aOb
内标有“号的整点，数整点个数有
12个，故符合题意的选垄方法有
12种•
18. （本小题满分12分）求9192除以100的余数是多少？ 解法一：
9192
=（100_9）92 =10092
_C ；2 ・100
91
・9 + C 92 *10090
・92—…-C
92 ・
100・991
+992
,前面
各项均能被100整除,只有末项992不能被100整除于是求992除以100的余数•
•- 992
=（10_1）92
=1092
_c 12 ・1091
+c 92 ・1090
—…+c ；2 ・102
_c 92 *10+（T ）92
=1092
-c ；2 *1091
C 92 讥
90 ■ c92
*10^920 1
2
2
2
5
16 2
解：由（上
x 2 '
1
)1得 ，x
= (10 —C ；2 «1091
C 92 ・10 -
C 秽 *102
-1000) 81,
•••被100除的余数为81,即 9192除以100的余数为81. 解法二：•/ 9192 =(90+1)92 =c 92
・9092 +C ；2 ・9091
+ …+C ；0 ・902
+C ；2 .90+1 ,由于
前面各项均能被100整除,只有末尾两项不能被 100整除，且C 92 90 + 1 = 8 281 = 8 200 + 81,
• 9192 被 100 除余 81.
19. （本小题满分12分）球台上有4个黄球,6个红球，击黄球入袋记2分,击红球入袋记1分, 欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分,则击球方法有几种？ 解：设击入黄球x 个，红球y 个符合要求，
—'x +y =4 ,
则有丿
（x,y € N ）,
2x + y 启 5 由题意，得1 < x W 4,
相应每组解（x,y ），击球方法数分别为C 4C f 3,C4C f ?,C 3C 6,C 44
C 0.•共有不同击球方法数为
20 (本小题满分12分)(1)求证：n n ，1 W 2 (n € N *)； (2) 求证：(1+ x ) n +( 1-x ) n v 2n ,其中 |x|v 1,n > 2,n € N *. 证明：(1)要证n .n • 1 W 2 (n € N *),只需证n + 1 W 2n 即可.
••• 2n =(1 +1)n =C0 +c n + …+C ： ZC ： +C ： =1 + n , •- n . n 1 W 2 ( n € N *),当 n = 1 时等号成立.
(2) (1 + x )
n +( 1-x ) n
= 2 (1 + C 2x 2
C 4x 4
+…+ c 2k
x
2k
+•••).
1,
2k
• • 0 v x v 1.
•••( 1 + x ) n +( 1-x ) n v 2 (1+ c 2 + C ： +…+ c 2k +•••)= 2 2n -
1 = 2n ,成立.
16 1
12分）已知（a 2+ 1） n 展开式中的各项系数之和等于
（一x 2
爲「一）5
的展
5
Jx
（a 2+ 1） n 的展开式的系数最大的项等于 54,求a 的值.
x = 1, x = 2,
y =3, y x = 3,
一，
‘X =4,
7=0.
= 195.
21 .（本
小题满
开式的常数项，而
4R A d ft 3 亠
T r, =C5 (--x2)5-(1 )^(16)5- *C；4X 2，令T r+1 为常数项，则20- 5r = 0,
5 Jx 5
所以r= 4,常数项T5= C5416= 16.
5
又(a2+ 1) n展开式中的各项系数之和等于2n,由此得到2n= 16,n= 4.
所以(a2+ 1) 4展开式中系数最大项是中间项T3= C：a4= 54.所以a= ±3.
22.(本小题满分12分)
4个男同学和3个女同学站成一排.
(1 )若3个女同学必须排在一起，则有多少种不同的排法？
(2 )若任何两个女同学彼此不相邻，则有多少种不同的排法？
(3)若其中甲、乙两同学之间必须恰有3 人,则有多少种不同的排法？
(4)若甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若女同学从左到右按高矮顺序排，则有多少种不同的排法？( 3个女生身高互不相等)
解：(1) 3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有A；种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A f种排法•由乘法原理，有A3A5 = 720种不同排法.
(2)先将男生排好，共有A4种排法；再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女
‘ 3 4 3
生，有A种方法•故符合条件的排法共有A4A5 = 1 440种.
(3)甲、乙2人先排好，有A种排法；再从余下的5人中选3人排在甲、乙2人中间，有A种排法；这时把已排好的5人视为一个整体，与最后剩下的2人再排，又有A3种排法；这样,总共有A lY A = 720种不同排法.
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A：种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排
2 2 好，有A2种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原来排好的4人的空当中，有A5
种排法；这样,总共有£点皑=960种不同排法.
(5 )从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A4种排法；然后再在余下的3个位置中排女生，由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法•这样共有A；= 840种不同排法.。