湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期第二次模块检测数学试题 答案和解析
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A．2B．奇数C．偶数D．至少是2
6．如图所示，在平行四边形 中， 等于( )
A． B．
C． D．
7．方程 的根的个数是( )
A．7B．8C．9D．10
8．已知 的三个顶点 、 、 及平面内一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A． 在 边上B． 在 边上或其延长线上
C． 在 外部D． 在 内部
【详解】
由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2．D
【解析】
因为 = ，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分，
所以 = ．
即 与 是相等的向量．选D．
3．C
【分析】
本题也可用直接法，因为 ，所以 ，当 时， ，知A错，因为 是增函数，所以 ，故B错；因为幂函数 是增函数， ，所以 ，知C正确；取 ，满足 ， ，知D错．
则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，
在（b，c）上至少有一个零点，而f（b）≠0，
所以y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为至少2个．
故选：D．
【点睛】
本题考查零点的存在性定理，正确理解零点的存在性定理的条件和结论是解决本题的关键．
（1）若函数 是“ 型函数”，且 ，求出满足条件的实数对 ；
（2）已知函数 ．函数 是“ 型函数”，对应的实数对 为 ，当 时， ．若对任意 时，都存在 ，使得 ，试求 的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
9．下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为（）
A． B． C． D．
10．下列关于函数y＝tan( 的说法正确的是( )
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点 成中心对称
D．图象关于直线x＝ 成轴对称
11．已知函数 的定义域为 , 为偶函数，且对 ，满足 .若 ，则不等式 的解集为
A．若 对任意 ，则
B． 的图象关于点 中心对称
C．函数 的单调减区间为
D．函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离是
二、填空题
16．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则 __________.
17． __________.
18．如图， ， 为 内的两点，且 ， ，则 与 的面积之比为_______.
湖南省长沙市长郡中学【最新】高一上学期第二次模块检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 =
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，若 ，则图中相等的向量是( )
A． 与 B． 与
A． B．
C． D．
12．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么 ＝（）
A．0B．1C． D．2
13．关于函数 有下述四个结论：
19．已知定义在 上的单调减函数 使得 对一切实数 都成立，则 的取值范围为__________.
20．已知函数 ，若关于 的方程 恰好有6个不相等的实数解，则实数 的取值范围为__________.
三、解答题
21．（1）已知非零向量 ， 不共线.若 和 共线，求实数 的值；
（2）已知 ，求 的值.
【详解】
∵α是第二象限角，∴
又
，
故选：C.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.
5．D
【分析】
由零点的存在性定理：f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，同理在（b，c）上至少有一个零点，结果可得．
【详解】
由根的存在性定理，f（a）f（b）＜0，f（c）f（b）＜0，
（1）写出服药后 关于 的函数关系式；
（2）据测定，每毫升血液中的含药量不少于 微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药为早上 ，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后 小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克？（精确到 微克）
25．对于函数 ，若存在实数对 ，使得等式 对定义域中的任意 都成立，则称函数 是“ 型函数”．
22．已知 ， ，其中 .
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）求 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
23．已知函数 的图象过点 ，图象上与 点最近的一个最高点坐标为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 在区间 上单调递增，求实数 的最大值.
24．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升血液中的含药量 （微克）与服药的时间 （小时）之间近似满足如图所示的曲线，其中 是线段，曲线 是函数 （ ， ，且 ， 是常数）的图象.
【详解】
取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所以 ，故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．C
【分析】
由α是第二象限角可得 ，再由同角三角函数的基本关系 ，即可得答案；
C． 与 D． 与
3．若a>b，则
A．ln(a−b)>0B．3a<3b
C．a3−b3>0D．│a│>│b│
4．已知α是第二象限角， ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．实数a，b，c是图象连续不断的函数y=f（x）定义域中的三个数，）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为（）.
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
14．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
15．设函数 ， （其中 ， ， ），在 上既无最大值，也无最小值，且 ，则下列结论成立的是（）
6．如图所示，在平行四边形 中， 等于( )
A． B．
C． D．
7．方程 的根的个数是( )
A．7B．8C．9D．10
8．已知 的三个顶点 、 、 及平面内一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A． 在 边上B． 在 边上或其延长线上
C． 在 外部D． 在 内部
【详解】
由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2．D
【解析】
因为 = ，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分，
所以 = ．
即 与 是相等的向量．选D．
3．C
【分析】
本题也可用直接法，因为 ，所以 ，当 时， ，知A错，因为 是增函数，所以 ，故B错；因为幂函数 是增函数， ，所以 ，知C正确；取 ，满足 ， ，知D错．
则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，
在（b，c）上至少有一个零点，而f（b）≠0，
所以y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为至少2个．
故选：D．
【点睛】
本题考查零点的存在性定理，正确理解零点的存在性定理的条件和结论是解决本题的关键．
（1）若函数 是“ 型函数”，且 ，求出满足条件的实数对 ；
（2）已知函数 ．函数 是“ 型函数”，对应的实数对 为 ，当 时， ．若对任意 时，都存在 ，使得 ，试求 的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
9．下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为（）
A． B． C． D．
10．下列关于函数y＝tan( 的说法正确的是( )
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点 成中心对称
D．图象关于直线x＝ 成轴对称
11．已知函数 的定义域为 , 为偶函数，且对 ，满足 .若 ，则不等式 的解集为
A．若 对任意 ，则
B． 的图象关于点 中心对称
C．函数 的单调减区间为
D．函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离是
二、填空题
16．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则 __________.
17． __________.
18．如图， ， 为 内的两点，且 ， ，则 与 的面积之比为_______.
湖南省长沙市长郡中学【最新】高一上学期第二次模块检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则 =
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，若 ，则图中相等的向量是( )
A． 与 B． 与
A． B．
C． D．
12．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么 ＝（）
A．0B．1C． D．2
13．关于函数 有下述四个结论：
19．已知定义在 上的单调减函数 使得 对一切实数 都成立，则 的取值范围为__________.
20．已知函数 ，若关于 的方程 恰好有6个不相等的实数解，则实数 的取值范围为__________.
三、解答题
21．（1）已知非零向量 ， 不共线.若 和 共线，求实数 的值；
（2）已知 ，求 的值.
【详解】
∵α是第二象限角，∴
又
，
故选：C.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.
5．D
【分析】
由零点的存在性定理：f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，同理在（b，c）上至少有一个零点，结果可得．
【详解】
由根的存在性定理，f（a）f（b）＜0，f（c）f（b）＜0，
（1）写出服药后 关于 的函数关系式；
（2）据测定，每毫升血液中的含药量不少于 微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药为早上 ，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后 小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克？（精确到 微克）
25．对于函数 ，若存在实数对 ，使得等式 对定义域中的任意 都成立，则称函数 是“ 型函数”．
22．已知 ， ，其中 .
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）求 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
23．已知函数 的图象过点 ，图象上与 点最近的一个最高点坐标为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 在区间 上单调递增，求实数 的最大值.
24．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升血液中的含药量 （微克）与服药的时间 （小时）之间近似满足如图所示的曲线，其中 是线段，曲线 是函数 （ ， ，且 ， 是常数）的图象.
【详解】
取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所以 ，故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
4．C
【分析】
由α是第二象限角可得 ，再由同角三角函数的基本关系 ，即可得答案；
C． 与 D． 与
3．若a>b，则
A．ln(a−b)>0B．3a<3b
C．a3−b3>0D．│a│>│b│
4．已知α是第二象限角， ，则 等于（）
A． B． C． D．
5．实数a，b，c是图象连续不断的函数y=f（x）定义域中的三个数，）f（b）＜0，则y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为（）.
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
14．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
15．设函数 ， （其中 ， ， ），在 上既无最大值，也无最小值，且 ，则下列结论成立的是（）