银州区第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

银州区第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． lgx ，lgy ，lgz 成等差数列是由y 2=zx 成立的（ ） A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2． 若cos （﹣α）=，则cos （
+α）的值是（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
3． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =
--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4． 若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（ ）
A ．0
B ．10
C ．﹣10
D ．10或﹣10
5． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6． 下列命题中的假命题是（ ）
A ．∀x ∈R ，2x ﹣1＞0
B ．∃x ∈R ，lgx ＜1
C ．∀x ∈N +，（x ﹣1）2＞0
D ．∃x ∈R ，tanx=2
7． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中
正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-o
o
，则2
cos α的值为（ ）
A ．
132+ B ．132- C. 34
D ．0 9． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）
A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0
B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0
C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0
D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞0
10．函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．R
B ．[1，+∞）
C ．（﹣∞，1]
D ．[2，+∞）
11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．
12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342
y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
二、填空题
13．已知（x 2﹣
）n ）的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是 ．
14．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ．
15．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
16．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，
3BC =， E 在AC 上，若BE AC ⊥，
则ED 的长=____________ 17．不等式的解集为R ，则实数m 的范围是
．
18．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围
是 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=2cos 2ωx+2sin ωxcos ωx ﹣1，且f （x ）的周期为2．
（Ⅰ）当时，求f （x ）的最值； （Ⅱ）若，求
的值．
20．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；
（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足20152
2>++n
n T n 的
最小正整数n ．
【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n 项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.
21．已知矩阵M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的
坐标．
22．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +（n ∈N *）．证明：对一切n ∈N *，有
（Ⅰ）
＜
；
（Ⅱ）0＜a n ＜1．
23．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
24．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两
人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
银州区第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，
因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：∵cos（﹣α）=，
∴cos（+α）=﹣cos=﹣cos（﹣α）=﹣．
故选：B．
3．【答案】A
【解析】
考点：二元一次不等式所表示的平面区域.
4．【答案】D
【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，
当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10
当x≥0，时x=10，解得：x=10
故选：D．
5．【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
6．【答案】C
【解析】解：A．∀x∈R，2x﹣1=0正确；
B．当0＜x＜10时，lgx＜1正确；
C．当x=1，（x﹣1）2=0，因此不正确；
D．存在x∈R，tanx=2成立，正确．
综上可知：只有C错误．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．
考点：几何体的结构特征．
8．【答案】B
【解析】
考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.
9．【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0，
故选：C ．
【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础．
10．【答案】C
【解析】解：由于f （x ）=x 2﹣2ax 的对称轴是直线x=a ，图象开口向上，
故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a ，+∞）上为增函数， 又由函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则a ≤1． 故答案为：C
11．【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在C 社区抽取户数为249
2
108180270360180108=⨯=++⨯．
12．【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
二、填空题
13．【答案】 45 ．
【解析】解：第三项的系数为C n 2，第五项的系数为C n 4， 由第三项与第五项的系数之比为
可得n=10，则T i+1=C 10i （x 2）10﹣i （﹣
）i =（﹣1）i C 10i
=，
令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C 108=45， 故答案为：45．
14．【答案】 （3，1） ．
【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0，得 即（2x+y ﹣7）m+（x+y ﹣4）=0， ∴2x+y ﹣7=0，① 且x+y ﹣4=0，②
∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0的图象就和m 无关，恒过一定点． 由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）； 故答案为：（3，1）
15．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体中，BC 中点为E ，CD 中点为F ，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
16．【答案】21
2
【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.
因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝3
2
，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝21
2.
17．【答案】 ．
【解析】解：不等式，
x 2﹣8x+20＞0恒成立
可得知：mx 2+2（m+1）x+9x+4＜0在x ∈R 上恒成立．
显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，
解得：m＜﹣或m＞
所以m＜﹣
故答案为：
18．【答案】[4，16]．
【解析】解：直线l：（t为参数），
化为普通方程是=，
即y=tanα•x+1；
圆C的参数方程（θ为参数），
化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4，16]．
故答案为：[4，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵=，… ∵T=2，∴
，… ∴
，… ∵
， ∴， ∴
，… ∴
，… 当
时，f （x ）有最小值，当时，f （x ）有最大值2．… （Ⅱ）由
， 所以
， 所以
，… 而
，… 所以
，… 即
．…
20．【答案】
【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =.
（1分） 当2n ≥时，2n n S n a +=， ①
11(1)2n n S n a --+-=， ②
①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+，
（3分） 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=.
所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列. 即12n n a +=故21n n a =-（*n N ∈）. （5分）
21．【答案】
【解析】解：依题意，由M=得|M|=1，故M﹣1=
从而由=得═=
故A（2，﹣3）为所求．
【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*），
∴a n＞0，a n+1=a n+＞0（n∈N*），a n+1﹣a n=＞0，
∴，
∴对一切n∈N*，＜．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N*，＜，
∴，
∴当n≥2时，
=
＞3﹣[1+]
=3﹣[1+]
=3﹣（1+1﹣）
=，
∴a n＜1，又，
∴对一切n∈N*，0＜a n＜1．
【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．
23．【答案】
【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1；
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10；
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；
应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．
（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；
在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）；
共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．
24．【答案】
【解析】解：（1）．
（2）ξ可取0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；
P（ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；
P（ξ=2）
=++=
；
P（ξ=3）==；
P（ξ=4）==．
∴ξ的分布列为：
ξ0 1 2 3 4
P
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．
【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。