湖北省宜昌市第二中学2020届高三数学上学期期中试题文

湖北省宜昌市第二中学2020届高三数学上学期期中试题 文
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1.已知集合A={x|﹣3＜x ＜6}，B={x|2＜x ＜7}，则A ∩（∁R B ）=（ ） A ．（2，6） B ．（2，7） C ．（﹣3，2] D ．（﹣3，2）
2．如果复数（b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．2
3．已知α满足cos2α=，则cos （+α）cos （
﹣α）=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
4．已知命题p ：“a ＞b ”是“22a
b
”的充要条件；q ：∃x ∈R ，e x ＜lnx ，则（ ）
A ．￢p ∨q 为真命题
B ．p ∧￢q 为假命题
C ．p ∧q 为真命题
D ．p ∨q 为真命题 5．向量=（2，﹣1），=（﹣1，2），则（2+）•=（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．﹣6 D ．6
6．设x ，y 满足约束条件
，则目标函数z=2x+y 的最小值是（ ）
A ．﹣15
B ．﹣9
C ．1
D ．9 7．已知x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数f （x ）=﹣lnx 的两个零点，若a ∈（x 1，1），b ∈（1，
x 2），则（ ）
A ．f （a ）＜0，f （b ）＜0
B ．f （a ）＜0，f （b ）＞0
C ．f （a ）＞0，f （b ）＞0
D ．f （a ）＞0，f （b ）＜0 8．执行如图所示的程序，若输入的x=3，则输出的所有x 的值的和为（ ）
A ．243
B ．363
C ．729
D ．1092
9．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=2处有极值，则ab的最大值等于（）A．72 B．144 C．60 D．98
10．在数列{a n}中，a2=8，a5=2，且2a n+1﹣a n+2=a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210 B．10 C．50 D．90
11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且焦点与椭圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）
A．B．1 C．2 D．4
12．已知函数f（x）=，且有f（x）≤a﹣2恒成立，则实数a的取值范
围为（）
A．[0，2e2] B．[0，2e3] C．（0，2e2] D．（0，2e3]
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是__________________.
14. 已知
1
tan
3
α=，则
2
sin2sin
1cos2
αα
α
-
+
的值为 .
15.若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．
16．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．
三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）已知函数f （x ）=|1﹣x ﹣a|+|2a ﹣x| （1）若f （1）＜3，求实数a 的取值范围；
（2）若a ≥，x ∈R ，判断f （x ）与1的大小关系并证明．
18.（12分）在各项均不相等的等差数列{a n }中，已知a 4=5，且3
a ，
5
a ，
8
a 成等比数列
（1）求a n ；
（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，记b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．
19．（12分）已知函数，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
（1）当x ∈[0，
]时，求函数f （x ）的取值范围；
（2）若对任意的x ∈R 都有f （x ）≤f （A ），c=2b=4，点D 是边BC 的中点，求的值．
20.(12分)已知点M （x ，y ）与定点F 2（1，0）的距离和它到直线x=4的距离的比是常数.
（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）若点F 1的坐标为（﹣1，0），过F 2的直线l 与点M 的轨迹交于不同的两点A ，B ，求△F 1AB 面积的最大值．
21.（12分） 已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂
每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入为2
1()5004
R x x x =-
+（元）
，()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）. 销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价（a b c <<），λ为该产品畅销系数.据市场调查，λ由当b a -是,c b c a --的比例中项时来确定.
（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求出()P x 的最大值； （2）求畅销系数λ的值；
（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.
22．（12分）已知函数f （x ）=
（1）求函数f （x ）的单调区间和极值点； （2）当x ≥1时，f （x ）≤a （1﹣
）恒成立，求实数a 的取值范围．
文科数学试卷答案
一、选择题：（每题5分）
1-6 CCADDA 7-12 BDACDB 二、填空题：（每题5分）
13.442 14. 5
18 15.4 16. （，
）
15.解：由题 O 1（0，0）与O 2：（﹣m ，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和， 可得
＜|m|＜
．
再根据题意可得O 1A
⊥AO 2， ∴m 2
=5+20=25， ∴m=±5， ∴利用，
解得：AB=4． 故答案为：4．
16.解：方程f （x ）=mx ﹣恰有四个不相等的实数根可化为
函数f （x ）=与函数y=mx ﹣有四个不同的交点，
作函数f （x ）=与函数y=mx ﹣的图象如下，
由题意，C （0，﹣），B （1，0）；
故k BC =，
当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；
设切点A的坐标为（x1，lnx1），
则=；
解得，x1=；
故k AC =；
结合图象可得，
实数m的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
三、解答题
17.（10分）解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3，
①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得：a＞﹣，所以﹣＜a≤0；
②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；
③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得：a＜，
所以≤a＜；
综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．…（5分）
（2）f（x）≥1，因为a≥，
所以f（x）=|1﹣x﹣a|+|2a﹣x|≥|（1﹣x﹣a）﹣（2a﹣x）|=|1﹣3a|=3a﹣1≥1…（10分）18.（12分）解：（1）∵{a n}为等差数列，设公差为d，
由题意得
解得d=1或d=0（舍），a1=2，
∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1．（5分）
（2）由（1）知S n=，
∴b n==﹣，（8分）
∴=故Tn=．（12分）
19.（12分）解：（1）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
所以函数的取值范围是[0，3]；（5分）
（2）由对任意的x∈R，都有f（x）≤f（A），得
2A﹣=2kπ+，k∈Z，解得A=kπ+，k∈Z，
又∵A∈（0，π）∴，（8分）
∵
=（c2+b2+2bccosA）=（c2+b2+bc）=×（16+4+8）=7，
所以．（12分）
20.（12分）解：（1）由题意可有=，
化简可得点M的轨迹方程为+=1．（4分）
其轨迹是焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆．（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴△F1AB面积S=|F1F2|•|y1﹣y2|，（6分）
由题意知，直线l的方程为x=my+1，
由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
则y1+y2=，y1y2=，（8分）
又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，
即（6m）2+36（3m2+4）＞0，
则S=|y 1﹣y 2|==
令，（10分）
令，
上是单调递增函数，
即当t ≥1时，f （t ）在[1，+∞）上单调递增， 因此有
， ，（12分）
故当t=1，即m=0，三角形的面积最大，最大值为3． 21. （12分）
解：（1）由题意得，总利润为2211
500100400004004000044
x x x x x -
+--=-+-. 于是21
40040000
1400004()4004x x P x x x x
-+-=
=--+（2分） 1400002400200400200
4x x ≤-⋅=-+=
当且仅当
140000
4x x
=即400x =时等号成立． 故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元．（4分） （2）由()b a c a λ=+-可得b a
c a
λ-=
-， 由b a -是,c b c a --的比例中项可知2
()()()b a c b c a -=--， 即2()()1(1)()c b c a c a a b c a c a c a
b a b a b a b a b a
---+----=
=⋅=-⋅-----
化简得11
1(
1)λλ
=-⋅
，解得51
λ-=
．（8分） （3）厂家平均利润最大，生产量为400x =件．
()11
50040050040044
R x a x x =
=-+=-⨯+=． （或者4000040000
100()100200400400a P x x =++=++=） 代入()b a c a λ=+-可得100(53)b =+． 于是400a =，100(53)b =+．（12分） 22.（12分）解：（1）因为f （x ）=，求导得f ′（x ）=，
令f'（x ）=0，解得x=e ，…（2分）
又函数的定义域为（0，+∞），当x ∈（0，e ）时，f'（x ）＞0；当x ∈（e ，+∞）时，f'（x ）＜0，
所以函数f （x ）在（0，e ）单调递增；在（e ，+∞）单调递减， 有极大值点x=e ；无极小值点． …（4分） （2）由f （x ）≤a （1﹣
）恒成立，得≤a （1﹣），（x ≥1）恒成立，
即xlnx ≤a （x 2
﹣1）（x ≥1）恒成立．令g （x ）=xlnx ﹣a （x 2
﹣1）（x ≥1） g ′（x ）=lnx+1﹣2ax ，令F （x ）=lnx+1﹣2ax ，则F ′（x ）=
，…（5分）
①若a ≤0，F ′（x ）＞0，g ′（x ）在[1，+∞）递增，g ′（x ）≥g ′（1）=1﹣2a ＞0， 故有g （x ）≥g （1）=0不符合题意．…（7分） ②若，∴
，
从而在
上，g ′（x ）＞g ′（1）=1﹣2a ＞0，同（1），不合题意…（9分）
③若a ≥，F ′（x ）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴g ′（x ）在[1，+∞）递减，g ′（x ）≤g ′（1）=1﹣2a ≤0，
从而g （x ）在[1，+∞）递减，故g （x ）≤g （1）=0 …（11分） 综上所述，a 的取值范围是[，+∞）．…（12分）。