高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图像与性质教学案 理 北师大版-北师

第三节 三角函数的图像与性质
[最新考纲] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x
轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内的单调性．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，0，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图像
定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋π
2，k ∈Z
值域
[－1,1] [－1,1]
R
单调性
递增区间：
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，
k ∈Z ，
递减区间：
⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， k ∈Z
递增区间： [2k π－π，2k π]，
k ∈Z ，
递减区间：
[2k π，2k π＋π]，
k ∈Z
递增区间
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π－π2，k π＋π2，
k ∈Z
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性
对称中心 (k π，0)，k ∈Z
对称中心
对称中心
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称轴
x ＝k π＋π
2
(k ∈Z )
对称轴
x ＝k π(k ∈Z )
周期性 2π
2π
π
[常用结论]
1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1
4
个周期．
2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
3．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．
一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)
(1)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，那么y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin |x |与y ＝|sin x |都是周期函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 二、教材改编
1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π
4，k ∈Z
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π2＋π8，k ∈Z
C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π＋π
8，k ∈Z
D.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
D [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
4
，k ∈Z ，
∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
.] 2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________．
π [T ＝2π
2
＝π.]
3．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) [由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得3π8＋k π≤x ≤
7π
8
＋k π，k ∈Z .] 4．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，
即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3.]
考点1 三角函数的定义域和值域
1.三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
2．求三角函数最值或值域的常用方法
(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．
1.函数f (x )＝－2tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )
A.⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
x ≠π6 B.⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
x ≠－π12
C.⎩⎨⎧ x ⎪
⎪⎪⎭
⎬⎫x ≠k π＋π
6k ∈Z D.⎩
⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭
⎬
⎫
x ≠
k π2＋π
6
k ∈Z
D [由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π
2，k ∈Z ，
即x ≠
k π2
＋π
6
(k ∈Z )，应选D.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． －4 [f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2
x －3cos x ＋1，
令cos x ＝t ，那么t ∈[－1,1]．
f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝
⎛⎭
⎪⎫
t ＋34
2＋178
，
易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12
－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4.]
3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，假设f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1，那么实
数a 的取值X 围是________．
⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π [∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，a ，
∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
6
，a ＋π6，
∵当x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
∴由函数的图像(图略)知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π
3≤a ≤π.]
4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12－2，1[设t ＝sin x －cos x ，那么t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos
x ＝1－t 2
2
，且－2≤t ≤ 2.
∴y ＝－t 2
2＋t ＋12＝－12(t －1)2
＋1，t ∈[－2，2]．
当t ＝1时，y max ＝1；
当t ＝－2时，y min ＝－1
2
－ 2.
∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12－2，1.] 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y ＝a sin 2
x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y ＝a sin 3
x ＋b sin 2
x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．
考点2 三角函数的单调性
(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个
整体，再结合图像利用y ＝sin x 的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
求三角函数的单调性
(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )
A.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝
⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )
(2)(2019·某某模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．
(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 [(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，
得
k π2－π
12＜x ＜k π2＋5π
12
(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，应选B.
(2)∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，
由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π
6
(k ∈Z )．
∴函数的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，
又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.]
本例(2) 在整体求得函数y ＝12sin x ＋3
2
cos x 的增区间后，采用对k 赋值
的方式求得x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的区间．
根据函数的单调性求参数
(1)ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减，那么ω的取值
X 围是( )
A.(0,2]
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54 (2)(2018·全国卷Ⅱ)假设f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ] 是减函数，那么a 的最大值是( )
A.π4
B.π2
C.3π
4
D.π (1)D (2)C [(1)由2k π＋
π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω
，k ∈Z ，
因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
2k πω＋π4ω≤π
2，2k πω＋5π
4ω≥π，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
ω≥4k ＋1
2，ω≤2k ＋5
4
.因为k ∈Z ，ω＞0，所以k ＝0，
所以12≤ω≤54，即ω的取值X 围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，54.应选D.
(2)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4，
当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，3π4时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减，
∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，3π4，
∴a ≤3π4，即a max ＝3π
4
，应选C.]
单调区间求参数X 围的3种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子
由所给区间求出整体角的X 围，由该X 围是某相应正、余弦函数
集法 的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期 性法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过1
4周期列
不等式(组)求解
1.假设函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，那么ω＝________.
32 [由得T 4＝π3，∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝3
2
.] 2．函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．
⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [由，得函数为y ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区
间，只需求y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z .
故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．]
考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
求解三角函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其
实质都是根据y ＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．
三角函数的周期性
(1)(2019·全国卷Ⅱ)以下函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2单调递增的
是( )
A ．f (x )＝|cos 2x |
B ．f (x )＝|sin 2x |
C ．f (x )＝cos|x |
D ．f (x )＝sin|x |
(2)假设函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，那么自然数k 的值为
________．
(1)A (2)2或3 [(1)对于选项A ，作出y ＝|cos 2x |的部分图像，如图1所示，那么f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2上单调递增，且最小正周期T ＝π2
，故A 正确．
对于选项B ，作出f (x )＝|sin 2x |的部分图像，如图2所示，那么f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2上单调递减，且最小正周期T ＝π
2，故B 不正确．对于选项C ，∵f (x )＝cos|x |＝cos x ，∴最
小正周期T ＝2π，故C 不正确．
对于选项D ，作出f (x )＝sin|x |的部分图像，如图3所示．显然f (x )不是周期函数，故D 不正确．应选A.
]
图1 图2图3
(2)由题意得，1＜πk ＜2，∴k ＜π＜2k ，即π
2＜k ＜π，
又k ∈Z ，∴k ＝2或3.]
公式莫忘绝对值，对称抓住“心〞与“轴〞
(1)公式法求周期
①正弦型函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝2π
|ω|；
②余弦型函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝2π
|ω|；
③正切型函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π
|ω|
. (2)对称性求周期
①两对称轴距离的最小值等于T
2；
②两对称中心距离的最小值等于T
2；
③对称中心到对称轴距离的最小值等于T
4.
(3)特征点法求周期
①两个最大值点之差的最小值等于T ； ②两个最小值点之差的最小值等于T ； ③最大值点与最小值点之差的最小值等于T
2
.
特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应．(说明：此处的T 均为最小正周期)
三角函数的奇偶性
函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)． (1)假设f (x )为偶函数，那么φ＝________； (2)假设f (x )为奇函数，那么φ＝________.
(1)56π (2)π3 [(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为偶函数，
所以－π3＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z ，
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π
6.
(2)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， 所以－π
3＋φ＝k π，k ∈Z ，
又φ∈(0，π)，所以φ＝
π3
.] 假设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，那么①f (x )为偶函数的充
要条件是φ＝π
2
＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．
三角函数的对称性
(1)函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，那么该函数的图像( )
A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称
B ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3，0对称
C ．关于直线x ＝π3对称
D ．关于直线x ＝5π
3
对称
(2)函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2＜φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，那么φ的值为
________．
(1)B (2)－π6 [(1)因为函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而
T ＝
2πω＝4π，所以ω＝1
2
， 即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6.
令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝2π
3
＋2k π(k ∈Z )， 故f (x )的对称轴为x ＝2π
3
＋2k π(k ∈Z )，
令x 2＋π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π
3
＋2k π(k ∈Z )． 故f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z )，对比选项可知B 正确．
(2)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ＝±1， ∴
2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π
6
(k ∈Z )． ∵φ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.]
三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法
假设求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，那么只需令ωx ＋φ＝π
2＋k π(k
∈Z )，求x ；假设求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，那么只需令
ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .
1.设函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么以下结论错误的选项是( )
A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减 D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，
A 项正确；
B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π
3
对称，B 项正确；
C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1
时，x ＝π
6
，
word
11 / 11 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6
，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．] 2．(2019·某某模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3成立，那么f (x )图像的一个对称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3，0 A [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12
. 因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3恒成立， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3， 即12×π3＋φ＝π2
＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3
， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3
(k ∈Z )， 故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )， 当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0.]。