高考数学总复习 第二章 第10课时 函数模型及其应用 随堂检测(含解析) 新人教版

2013年高考数学总复习 第二章 第9课时 函数的图象随堂检测
（含解析） 新人教版
1．(2011·高考湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M ()t ＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的
含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率．．．
是－10ln 2()太贝克/年，则M ()60＝( ) A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克
C ．150ln 2太贝克
D ．150太贝克
解析：选D.∵M ′()t ＝－130
M 02－t 30·ln 2， ∴M ′()30＝－130×12
M 0ln 2＝－10ln 2， ∴M 0＝600.
∴M ()t ＝600×2－t
30，∴M ()60＝600×2－2＝150()太贝克. 2．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是
( )
A ．560万元
B ．420万元
C ．350万元
D ．320万元
解析：选D.设该公司的年收入为a 万元，
则280p %＋(a －280)(p ＋2)%＝a (p ＋0.25)%.
解之得a ＝280×22－0.25
＝320. 3．(2011·高考江苏卷)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2
)最大，试问x 应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.
由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2
＝2(30－x )，0<x <30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800，
所以当x ＝15时，S 取得最大值．
(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．
由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.
当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0，
所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．
此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.。