届新课标高中数学理第一轮总复习第讲曲线与方程共39页文档
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届新课标高中数学理第一轮总复习第 讲曲线与方程
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
【 变 式 练 习 2】 已知动点P到定点F(1，0)和直线 x=3 的距离之和等于4，求点P的轨迹方程.
【解析】设点P的坐标为(x , y)， 则 (x1 )2y2x34.
当x≤3时, 方程可化为 (x1)2y23x,4
化简得 y2=4x； 当x>3时, 方程可化为 (x1)2y2x34,
化简得 y2= -12(x -4).
3r
， 消 去 r，
PC2 13 r
得 PC1 PC2 16，
即
P点
到
两
定
点
C1，
C
的
2
距
离
之
和
为
定
值1
6.
又16 C1C2 8， 所 以P点 的 轨 迹 是 椭 圆 ．
易 求 得 其 方 程 为 x2 y 2 1. 64 48
直接法求轨迹方程
【 例 2】求 到 点 P (1， 3)和 到 直 线 y5
故点P的轨迹方程为
y2
4x 12(x4)
(0 (3
x x
3) 4)
相关点法求轨迹方程
【 例 3】如 图 所 示 ， 已
知P(4 , 0)是圆x2+y2=36 内的一点，A、B是圆 上两动点，且满足 ∠ APB=90° ， 求 矩 形 APBQ 的 顶 点 Q 的 轨 迹 方程.
【 例 1】已知⊙F1:(x+3)2+y2=1，⊙F2:(x -3)2 +y2=9, 动圆P与⊙F1，⊙F2均外切，求圆心P 的轨迹方程.
解析：设⊙P的半径为r.
则由题意有
PF1
r1
，
PF2 r 3
所以|PF2| - |PF1|= 2 < |F1F2|.
由双曲线的定义知，点 P 的轨迹是以
且5AC2，故点M的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，
则a5，c1，b2 a2 c2 21.故点M的轨迹方程为
2
4
4x2
4y2
1.
25 21
4.过 圆 x2y24上 任 意 一 点 P 向 x轴 作 垂 线 段 P Q ，
则 线 段 P Q 的 中 点 M 的 轨 迹 方 程 是 x2 y2 1 . 4
解析：设M (x，y)，则P(x1，y1)、Q x1, 0 ．
由中点坐标公式得
x y
x1 y1 2
，即
x1 y1
x 2
y
.
又点P(x1，y1)在圆x2 y2 4上，
则x12 y12 4，即x2 4 y2 4.
所以M的轨迹方程是 x2 y2 1. 4
5.设A1、A2是椭圆x92
F1 , F2 为焦点，实轴长为2的双曲线的左 支.
设双曲线的方程为x2
a2
y2 b2
1
，
则
2a 2
c
3
a
2
b2
c2
，所以Leabharlann a1b 8
.
故点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x≤-1).
8
在求动点 P 的轨迹方程时，有时可 以先根据题中的几何条件，判断出轨迹的 形状及位置，再运用待定系数法求方程的 特征量，从而求出轨迹方程，这种方法称 为定义法.本题在得出 |PF2|-|PF1| =2 < |F1F2|后，要注意它只表示双曲线的一支.
28
8
距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 C .
【解析】
设 N ( x， y )为 C 上 的 点 ，
则 NP (x 1 )2 ( y 3)2，
2
8
N到直线y 5的距离为 | y 5 |.
8
8
由 题 设 得 (x 1 )2 ( y 3)2 | y 5 | .
2
8
8
化 简 得 曲 线 C的 方 程 为 y 1 x 2 x ． 2
【 变 式 练 习 1】已 知 两 圆 C 1： x42y29， C2： x42y2169， 动 圆 P与 C 1外 切 ， 与
C2内 切 ， 求 圆 心 P的 轨 迹 ．
【解析】 由 条 件 ， 两 圆 半 径 分 别 是3和13. 设 P( x， y)， 动 圆 半 径 为 r，
则
有
PC1
y
2 0
1，即
y
2 0
4.
94
x
2 0
9
9
直 线 A1 P1的 方 程 为 y
y0 x0
x
3
3． ①
直 线 A2 P2的 方 程 为 y
y0 x
x0 3
3． ②
①
②得y2
y
2 0
x
2 0
9
x2 9
4 9
x2 9 ，
整 理 得 x2 y2 1 x 3．
94
定义法求轨迹方程
y2
4
1的长轴两个端点，P1、P2
是椭圆的垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2
x2 y2 的交点M的轨迹方程为 94
1x3 .
解 析 ： 如 图 ， 设 点 M 、 P1、 P2的 坐 标 分 别 为 ( x， y )、
(
x
，
0
y
0
)、( x
0，
y0 )
x0 3 ，
则
x
2 0
的 定 义 可 知 化 简 结 果 为x2 y21 100 64
2 .与 y 轴 相 切 ， 且 与 圆 x 2 y 2 4 x 0 相 外 切 的 动 圆
圆 心 M 的 轨 迹 方 程 是 y 2 8x .
解 析 ： 圆 方 程 为 x22y24， 则 动 圆 圆 心 M 到 2,0的 距 离 等 于 它 到 定 直 线 x 2的 距 离 ， 故 所 求
轨 迹 方 程 是 y28x.
3.设 圆 x12y225的 圆 心 为 C ， A1,0是 圆 内 一 定
点 ， Q 为 圆 周 上 一 动 点 ， 线 段 AQ 的 垂 直 平 分 线 与 CQ
交 于 M ， 则 点 M 的 轨 迹 方 程 为 4x2 4y2 1 . 25 21
解析：依题意得CQMCMQMCMA5，
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
1.方 程x62y2x62y220化 简 的
结 果 是 x2 y2 1 . 100 64
解 析 ： 该 方 程 表 示 的 几 何 意 义 是 到 定 点 6,0， 6,0的 距 离 之 和 为 20的 点 的 轨 迹 ． 结 合 椭 圆
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
【 变 式 练 习 2】 已知动点P到定点F(1，0)和直线 x=3 的距离之和等于4，求点P的轨迹方程.
【解析】设点P的坐标为(x , y)， 则 (x1 )2y2x34.
当x≤3时, 方程可化为 (x1)2y23x,4
化简得 y2=4x； 当x>3时, 方程可化为 (x1)2y2x34,
化简得 y2= -12(x -4).
3r
， 消 去 r，
PC2 13 r
得 PC1 PC2 16，
即
P点
到
两
定
点
C1，
C
的
2
距
离
之
和
为
定
值1
6.
又16 C1C2 8， 所 以P点 的 轨 迹 是 椭 圆 ．
易 求 得 其 方 程 为 x2 y 2 1. 64 48
直接法求轨迹方程
【 例 2】求 到 点 P (1， 3)和 到 直 线 y5
故点P的轨迹方程为
y2
4x 12(x4)
(0 (3
x x
3) 4)
相关点法求轨迹方程
【 例 3】如 图 所 示 ， 已
知P(4 , 0)是圆x2+y2=36 内的一点，A、B是圆 上两动点，且满足 ∠ APB=90° ， 求 矩 形 APBQ 的 顶 点 Q 的 轨 迹 方程.
【 例 1】已知⊙F1:(x+3)2+y2=1，⊙F2:(x -3)2 +y2=9, 动圆P与⊙F1，⊙F2均外切，求圆心P 的轨迹方程.
解析：设⊙P的半径为r.
则由题意有
PF1
r1
，
PF2 r 3
所以|PF2| - |PF1|= 2 < |F1F2|.
由双曲线的定义知，点 P 的轨迹是以
且5AC2，故点M的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，
则a5，c1，b2 a2 c2 21.故点M的轨迹方程为
2
4
4x2
4y2
1.
25 21
4.过 圆 x2y24上 任 意 一 点 P 向 x轴 作 垂 线 段 P Q ，
则 线 段 P Q 的 中 点 M 的 轨 迹 方 程 是 x2 y2 1 . 4
解析：设M (x，y)，则P(x1，y1)、Q x1, 0 ．
由中点坐标公式得
x y
x1 y1 2
，即
x1 y1
x 2
y
.
又点P(x1，y1)在圆x2 y2 4上，
则x12 y12 4，即x2 4 y2 4.
所以M的轨迹方程是 x2 y2 1. 4
5.设A1、A2是椭圆x92
F1 , F2 为焦点，实轴长为2的双曲线的左 支.
设双曲线的方程为x2
a2
y2 b2
1
，
则
2a 2
c
3
a
2
b2
c2
，所以Leabharlann a1b 8
.
故点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x≤-1).
8
在求动点 P 的轨迹方程时，有时可 以先根据题中的几何条件，判断出轨迹的 形状及位置，再运用待定系数法求方程的 特征量，从而求出轨迹方程，这种方法称 为定义法.本题在得出 |PF2|-|PF1| =2 < |F1F2|后，要注意它只表示双曲线的一支.
28
8
距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 C .
【解析】
设 N ( x， y )为 C 上 的 点 ，
则 NP (x 1 )2 ( y 3)2，
2
8
N到直线y 5的距离为 | y 5 |.
8
8
由 题 设 得 (x 1 )2 ( y 3)2 | y 5 | .
2
8
8
化 简 得 曲 线 C的 方 程 为 y 1 x 2 x ． 2
【 变 式 练 习 1】已 知 两 圆 C 1： x42y29， C2： x42y2169， 动 圆 P与 C 1外 切 ， 与
C2内 切 ， 求 圆 心 P的 轨 迹 ．
【解析】 由 条 件 ， 两 圆 半 径 分 别 是3和13. 设 P( x， y)， 动 圆 半 径 为 r，
则
有
PC1
y
2 0
1，即
y
2 0
4.
94
x
2 0
9
9
直 线 A1 P1的 方 程 为 y
y0 x0
x
3
3． ①
直 线 A2 P2的 方 程 为 y
y0 x
x0 3
3． ②
①
②得y2
y
2 0
x
2 0
9
x2 9
4 9
x2 9 ，
整 理 得 x2 y2 1 x 3．
94
定义法求轨迹方程
y2
4
1的长轴两个端点，P1、P2
是椭圆的垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2
x2 y2 的交点M的轨迹方程为 94
1x3 .
解 析 ： 如 图 ， 设 点 M 、 P1、 P2的 坐 标 分 别 为 ( x， y )、
(
x
，
0
y
0
)、( x
0，
y0 )
x0 3 ，
则
x
2 0
的 定 义 可 知 化 简 结 果 为x2 y21 100 64
2 .与 y 轴 相 切 ， 且 与 圆 x 2 y 2 4 x 0 相 外 切 的 动 圆
圆 心 M 的 轨 迹 方 程 是 y 2 8x .
解 析 ： 圆 方 程 为 x22y24， 则 动 圆 圆 心 M 到 2,0的 距 离 等 于 它 到 定 直 线 x 2的 距 离 ， 故 所 求
轨 迹 方 程 是 y28x.
3.设 圆 x12y225的 圆 心 为 C ， A1,0是 圆 内 一 定
点 ， Q 为 圆 周 上 一 动 点 ， 线 段 AQ 的 垂 直 平 分 线 与 CQ
交 于 M ， 则 点 M 的 轨 迹 方 程 为 4x2 4y2 1 . 25 21
解析：依题意得CQMCMQMCMA5，
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
1.方 程x62y2x62y220化 简 的
结 果 是 x2 y2 1 . 100 64
解 析 ： 该 方 程 表 示 的 几 何 意 义 是 到 定 点 6,0， 6,0的 距 离 之 和 为 20的 点 的 轨 迹 ． 结 合 椭 圆