【配套K12】高三数学一轮复习 直线与圆锥曲线的交点随堂检测 理 北师大版

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 直线与圆锥曲线的交点随堂
检测 理 北师大版
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．AB 为过椭圆x 2
a 2＋y
2
b 2＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面积为( )
A ．b 2
B ．ab
C ．ac
D ．bc
【解析】 设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)， 则S △FAB ＝1
2|OF||2y 1|＝c|y 1|≤bc .
【答案】 D
2．(2009年全国卷Ⅰ)设双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与拋物线y ＝x 2
＋1相切，
则该双曲线的离心率等于( )
A. 3 B ．2 C. 5 D. 6
【解析】 双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2
＋1与渐进线相切，
故x 2
＋1±b a
x ＝0只有一个实根，
∴b 2
a 2－4＝0，∴c 2
－a 2
a 2＝4，∴c
2
a 2＝5，∴e＝ 5. 【答案】 C
3．在拋物线y 2
＝4x 上有点M ，它到直线y ＝x 的距离为42，如果点M 的坐标为(m ，n)，且m 、n 为正数，则m
n
的值为( )
A.1
2 B ．1 C. 2 D ．2
【解析】 由题意知，|m －n|
2＝42，
∴|m－n|＝8，
∵4m＝n 2
，且m 、n 为正数，∴m＝16，n ＝8. ∴m
n ＝2. 【答案】 D
4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点(m, n)的直线与椭圆x 2
9＋y
2
4
＝
1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
【解析】 由直线mx ＋ny ＝4和⊙O：x 2
＋y 2
＝4没有交点得
4m 2
＋n
2
>2，m 2＋n 2
<4，点(m ，
n)表示的区域在椭圆x 2
9＋y 2
4＝1的内部，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y
2
4＝1的交点个数为
2个，故选B.
【答案】 B
5．如图过拋物线y 2
＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为( )
A ．y 2＝32x
B ．y 2
＝9x
C ．y 2＝92
x D ．y 2
＝3x
【解析】 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF|=a ，则由已知得：|BC|=2a ，由定义得：|BD|=a ，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE 中，|AE|=3，|AC|=3+3a ，故有2|AE|=|AC|⇒3+3a=6，从而得a=1，再由BD ∥FG ，则有=⇒p=，因此拋物线
方程为y2=3x.
【答案】 D
6．(4,2)是直线l 被椭圆x 2
36＋y
2
9＝1截得的线段的中点，则l 的方程是( )
A ．x －2y ＝0
B ．x ＋2y －4＝0
C ．2x ＋3y ＋4＝0
D ．x ＋2y －8＝0
【解析】 设线段两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则有x 12
36＋y 1
2
9＝1，①
x 22
36＋y 2
29
＝1，② ①－②，得136(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋1
9(y 1＋y 2)(x 1－y 2)＝0.③
又(4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4，y 1＋y 2
2＝2.
即x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.
代入③式，得136×8(x 1－x 2)＋1
9
×4×(y 1－y 2)＝0，
整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，则l 的方程为：y －2＝－1
2(x －4)．
∴x＋2y －8＝0. 【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知F 1、F 2为椭圆x 2
25＋y
2
9＝1的两焦点，A 、B 为过F 1的直线与椭圆的两个交点，则
△AF 1F 2的周长为________；△ABF 2的周长为________．
【解析】 由x 2
25＋y 2
9＝1得a ＝5，b ＝3，则c ＝a 2－b 2
＝4.
∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝18， △ABF 2的周长为4a ＝20. 【答案】 18 20
8．如果直线y ＝kx －1与双曲线x 2
－y 2
＝1没有公共点，则k 的取值范围是________．
【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1
x 2－y 2
＝1
联立得
(1－k 2
)x 2
＋2kx －2＝0 Δ＝(2k)2
＋8(1－k 2
)＜0 k ＞2或k ＜－ 2.
【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
9．(2008年全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，A 、B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．
【解析】 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
y 12
＝4x 1y 22＝4x 2
⇒(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)
⇒y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝42y 0
＝1. ∴线段AB 所在直线为y －2＝x －2，即y ＝x.
⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝4x y ＝x
⇒x 2
－4x ＝0⇒x ＝0，x ＝4.
∴A(0,0)，B(4,4)． ∴|AB|＝42
＋42
＝4 2. F(1,0)，F 到线段AB 的距离d ＝22
. ∴S △ABF ＝1
2|AB|d ＝2.
【答案】 2 三、解答题(共46分)
10．(15分)已知椭圆的焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)．过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B|＋|F 2B|＝10，椭圆上不同的两点A(x 1，y 1)、C(x 2，y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列．
(1)求该椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；
【解析】 (1)由椭圆的定义及题中条件知：2a ＝|F 1B|＋|F 2B|＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2
－c 2
＝3，故所求的椭圆方程为x 2
25＋y
2
9
＝1.
(2)由点B(4，y B )在椭圆上，得|F 2B|＝|y B |＝95，因为椭圆的离心率为4
5，根据椭圆的焦
半径公式，有|F 2A|＝5－45x 1，|F 2C|＝5－4
5
x 2，由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列，
得5－45x 1＋5－45x 2＝2×95，由此得x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P(x 0，y 0)，则x 0＝
x 1＋x 2
2＝4.
11．(15分)(2009年北京卷)已知双曲线C ：x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且
a 2
c ＝33
. (1)求双曲线C 的方程；
(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2
＋y 2
＝5上，求m 的值．
【解析】 (1)由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
c ＝3
3
，c a ＝
3，
解得⎩⎨
⎧
a ＝1，
c ＝ 3.
所以b 2
＝c 2
－a 2
＝2.
所以双曲线C 的方程为x 2
－y
2
2
＝1.
(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)． 由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋m ＝0x 2－y 2
2＝1，得x 2
－2mx －m 2
－2＝0(判别式Δ＞0)．
所以x 0＝x 1＋x 2
2＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m.
因为点M(x 0，y 0)在圆x 2
＋y 2
＝5上， 所以m 2
＋(2m)2
＝5，故m ＝±1.
12．(16分)(2009年山东卷)设椭圆E ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a ，b ＞0)过M(2，2)，N(6，1)两
点，O 为坐标原点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →
？若存在，求出该圆的方程．
【解析】 (1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得
⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2
＋2b 2
＝1，6a 2
＋1b 2
＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝8，
b 2
＝4.
所以椭圆E 的方程为x 28＋y
2
4＝1.
(2)假设满足题意的圆存在，其方程为 x 2
＋y 2
＝R 2
，其中0＜R ＜2.
设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，①
将其代入椭圆E 的方程并整理得 (2k 2
＋1)x 2
＋4kmx ＋2m 2
－8＝0.
由韦达定理得x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2
－8
2k 2＋1.②
因为OA →⊥OB →
，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.③ 将①代入③并整理得
(1＋k 2
)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2
＝0. 联立②得m 2＝83(1＋k 2
)．④
因为直线AB 和圆相切，因此R ＝|m|1＋k
2
.
由④得R ＝26
3
，
所以存在圆x 2＋y 2
＝83
满足题意．
当切线AB 的斜率不存在时，易得x 12＝x 22
＝83，
由椭圆E 的方程得y 12＝y 22
＝83，
显然OA →⊥OB →.
综上所述，存在圆x 2＋y 2
＝83满足题意．。