高三文科数学第二次模拟考试预测试卷

河南省商丘市高三第二次模拟考试试题
数 学（文科）
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答在答题卷（Ⅱ卷）上，答在试题卷上的答案无效。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚。

3．请把第I 卷中每小题你认为正确选项的代号填写在答题卷（Ⅱ卷）中选择题答案栏内。

4．答第Ⅱ卷时，用0．5毫米的黑色墨水笔书写在答卷（Ⅱ卷）上。

考试终了，只交答卷（Ⅱ卷）。

参考公式
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A ＋B )＝P (A )十P (B ) S ＝4πR 2
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )＝P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那 V ＝πR 3 么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 P n (k )＝
P k (1一P )n －
k （k ＝0，1，2，…，n ）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的） (1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜
1
2
x x ＋－>0}，B ＝{x ｜｜1<2x <8}，则(C u A )∩B 等于 (A )[－1，3) (B )(0，2] (C ) (1，2] (D )(2，3) (2)为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100 株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出 样本的频率分布直方图(如右图)，那么在这100株 树木中，底部周长小于110cm 的株数是 (A )30 (B )60 (C )70 (D )80
(3)点P 在曲线y ＝x 3－x ＋2上移动，在点P 处的切线
的倾斜角为α，则α的取值范围是 (A ) [0，2π] (B ) [0，2π)∪[34π，π) (C ) [34π，π) (D ) (2
π，34π
]
(4)一个质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1、2、3、4、5、6．连
续掷此骰子3次，正面朝上的点数之和为6的不同抛掷结果有
(A )3种 (B )l0种 (C )13种 (D )18种
(5)若(x 2－2x ＋3)n ＝2n a 2n x ＋21n a －21
n x -＋…＋a 1x ＋a 0，则a 2n ＋22n a －＋…＋a 2＋a 0等于
(A )2n (B )3n (C )
12(62n n －) (D )1
2
(62n n +) (6)已知直线a 与平面α所成的角为30°，P 为空间中一定点，过P 作与a 、α所成的角都是
45°的直线l ，则这样的直线l 可作
(A )2条 (B )3条 (C )4条 (D )无数条 (7)若直线ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b
的最小值为
(A )
14 (B 2 (C )322 (D )3
2
＋2 (8)为了得到函数y ＝sin(2x －6
π
)的图像，可将函数y ＝2＋sin2x 的图像按向量a 平移，则a
的坐标可能是 (A ) (－
12π，2) (B ) (12π，－2) (C ) (－6π，2) (D ) (6
π
，－2) (9)双曲线2221x a b
2
y －＝
的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分 别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆一定
(A )相交 (B )内切 (C )外切 (D )相离 (10)如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，
M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MD ·NC 的值是
(A )2 (B )5 (C )26 (D )29
(11)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈(0，
3
2
)时，f (x )＝2log (3)x ＋1，则f (8)＝
(A )4 (B )2 (C )－2 (D )2log 7
(12)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横
纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N ﹡)的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则2009a ＝ (A )501 (B )502 (C )503 (D )504
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
(13)若x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪
⎨⎪⎩
≤＋≤≥-,目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是_________________.
(14)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4a ，体积为16a 3，则这个球的表面积是 __________________． (15)已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于
印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_____________. (16)已知A (x 1，y 1)是抛物线
y 2＝4x
上的一个动点，B (x 2，y 2)是椭圆2143
x 2
y ＋＝
上的一个 动点，N (1，0)是一个定点．若AB ∥x 轴，且x 1<x 2，则NAB 的周长l 的取值范围是
___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） (17)(本小题满分10分)
已知函数f (x )＝sin (x －
6
π
)·cosx (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期; (Ⅱ)当x ∈(0，2
π
)时，求函数f (x )的值域.
盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球．
(Ⅰ)求第一次与第二次取到的球上的号码的和是4的概率；
(Ⅱ)求第一次与第二次取到的球的号码的积小于6的概率．
(19)(本小题满分12分)
已知四棱锥P－ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PC长为2，且PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点．
(Ⅰ)不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE?证明你的结论；
(Ⅱ)求点C到平面PDB的距离；
(Ⅲ)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．
(20)(本小题满分12分)
已知f(x)＝x3＋mx2－x＋2(m∈R)．
(Ⅰ)如果函数f(x)的单调递减区间为(－1
3
，1)，求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)的导函数为'f(x)，对任意x∈(0，＋∞)，不等式'f(x)≥2(1－m)恒成立，求实数m的取值范围．
已知数列{a n }的首项a 1＝1，a 2＝3，前n 项和为S n ,且1n S ＋、n S 、1n S - (n ≥2)分别是直 线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，AB ＝
21
n n
a a ＋BC ，设
b 1＝1，1n b ＋＝2log (1)n a ＋＋b n . (Ⅰ)判断数列{a n ＋1}是否为等比数列，并证明你的结论； (Ⅱ)设
c n ＝
111
1
4
n b n n n a a -＋＋＋，证明．c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <l.
(22)(本小题满分12分)
已知△ABC 一边的两个端点为B
，0)，C (
，0)，另两边所在直线的斜率之 积为
1
2
，动直线l 过定点(－3，0)，Q 点坐标为(2，0)． (Ⅰ)求顶点A 的轨迹E 的方程；
(Ⅱ)若直线l 交曲线E 在y 轴左侧两点M ，N ，，QM QN ⋅是否存在最小值?若存在，求 出最小值，若不存在，说明理由； (Ⅲ)设MQN 的面积为S ，对任意适合条件的直线l ，不等式S ≥λ·tan ∠MQN 恒成立， 求λ的最大值．。