北京海淀区2022高三第二学期期中练习试卷-数学(文)word版

北京海淀区2022高三第二学期期中练习试卷-数学
（文）word 版
数 学（文科）
2020.04
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. （1）已知集合2
{|1}A x x ，{|(2)
0}B
x x x ，那么A B =
（A ）
（B ） {1} （C ）{1} （D ）{1,1}
（2）在等比数列{}n
a 中，26a
，318a ，则1
2
3
4a a a a =
（A ）26
（B ）40 （C ）54
（D ）80
（3）已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =
（A ）1 （B
（C ）2 （D ）4 （4）过双曲线2
2
1916
x y -=的右焦点，且平行于通过一、三象限的渐近线的直线方程是 （A ）34150x y （B ）34150x y （C ）4320
0x
y
（D ）4320
0x
y
（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （6）若满足条件
20x y x y y a -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、
纵坐标差不多上整数的点，则整数a 的值为
（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）0
（7）已知函数
2,1,()1,
1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨
->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12
()()f x f x =成立，则实
数a 的取值范畴是
（A ）2a （B ）2a （C ）2
2a
（D ）2a
或2a
（8）在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 中，若点P 是棱上一点，则满足
'2
PA PC 的点P 的个数为 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
（9）复数2i 1i
在复平面内所对应的点的坐标为 .
（10）若tan 2α
，则sin2α= .
（11）以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程
是 .
（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .
（13）设某商品的需求函数为1005Q P ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，假如商品
需求弹性EQ EP
大于1（其中'EQ
Q P EP
Q
，'Q 是Q 的导数）
，则商品价格P 的取值范畴是 . （14）已知函数
1,,()
0,.
x f x x
R
Q Q 则
()______
f f x ；
下面三个命题中，所有真命题的序号是 .
A'B'
C'
D'
A
B
C
D
俯视图
① 函数
f x
是偶函数；
② 任取一个不为零的有理数T ，()
()f x
T f x 对x ∈R 恒成立；
③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
已知函数
()sin sin()3
f x x x
π.
（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c . 已知
3()
2
f A ，3a b ，试
判定ABC ∆的形状.
（16）（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时刻（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时刻的范畴是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，
[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].
（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）假如上学所需时刻许多于1小时的学生可申请在学校住宿，请估量学校600名新生中有多少名学生能够申请住宿.
(17)（本小题满分14分）
已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1
C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点．
（Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1
AC BD ⊥；
（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．
(18)（本小题满分13分）
已知函数
211
()ln (0)
22
f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)
1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的
取值范畴；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分13分）
已知椭圆:C 2
2
22
1 (0)x y a b a b +=>>的右顶点(2,0)A ，
，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段
AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP
的取值范畴.
（20）（本小题满分14分）
关于集合M ，定义函数
1,,
()1,.
M x M f x x M -∈⎧=⎨
∉⎩关于两个集合M ，N
，定义集合
A
B
C
D
图1
M F
E
A
B
C 1
D
图2
{()()1}
M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.
（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；
（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.
（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时， 2X ；
（ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值.
参考答案及评分标准 2020．04
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 C
B
B
D
A
C
A
B
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）(1,1) （10）45
（11）2
2
(4)(4)25x
y
（12
）
3
2
（13）(10,20) （14）1 ①②③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
()sin sin()3
f x x x π 1
3
sin sin cos 2
2
x x x ………………………………………2分
33
sin cos 2
2
x x
3
1
3
sin cos
2
2
x x
3sin()6x
π. ………………………………………4分 由
22,262k x
k k ππππ
π
Z
，
得：
222,3
3k x
k k ππππZ
.
因此 ()f x 的单调递增区间为
2(2,2)3
3
k k π
ππ
π，k Z .
………………………………………6分
（Ⅱ）因为
3()
2f A ， 因此
3
)6
2
A
π.因此
1sin()6
2
A
π. ………………………………………7分
因为 0
A
π，因此
56
6
6
A
πππ. 因此
3
A
π. ………………………………………9分 因为
sin sin a b A B
，3a b ，
因此
1sin 2B
. ………………………………………11分 因为 a b ，
3
A
π，因此
6
B
π.因此
2
C
π . 因此 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分
(16)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得
200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
因此0.0125x
. ………………………………………6分
（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时刻许多于1小时的频率为：0.003220=0.12.
………………………………………9分
因为 6000.1272⨯=.
因此 600名新生中有72名学生能够申请住宿.
………………………………………13分
(17)（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11
,C D C B 的中点，
因此//FM BD ． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EMF ，BD ⊄平面EMF ,
因此//BD 平面EMF ． ………………………………………4分
（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点,
则AC BD ⊥． ………………………………………5分 因此 在三棱锥1
C
ABD 中，
1,C O BD AO BD ⊥⊥.
又 1
,C O
AO O =
因此 BD ⊥平面1
AOC ． ………………………………………7分
又 1AC ⊂平面1
AOC ，
因此 BD ⊥1
AC ．
………………………………………9分 （Ⅲ）连结1
,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠=，
因此 ABD ∆是等边三角形.
因此 DA DB =． ………………………………………10分
因为 E 为AB 中点，因此 DE AB ⊥．
又 EF AB ⊥，EF DE E =．
M F
E
A
B
C 1
D
O M F
E
A
B
C 1
D
因此 AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1
DEC ．
………………………………………12分
又 1C E ⊂平面1
DEC ，
因此 AB ⊥1C E ．
因为 ,4AE
EB AB
，1
BC AB ，
因此 114AC BC ==． ………………………………………14分
(18)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.
2'()a x a f x x x x
-+=-=
. ………………………………………2分
当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.
因此 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当
0a >时，令'()0f x =得x =
x =.
函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：
因此
()f x 的单调递增区间是
，单调递减区间是)+∞.
………………………………………6分
综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；
当0a >时，
()f x 的单调递增区间是
，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.
因此()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有
()0f x ≤. ………………………………………7分
当0a >时，
①
1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.
因此()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有
()0f x ≤. ………………………………………10分
②
1>，即1a >时，()f x 在
上单调递增， 因此
(1)f f >.
又 (1)0f =， 因此
0f >，与关于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.
………………………………………12分
综上所述，存在实数a 满足题意，现在a 的取值范畴是(,0)(0,1]-∞.
………………………………………13分
（19）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，因此 2a =.
又
2
c a =，因此 c =
因此 222431b a c =-=-=. 因此 椭圆C 的方程为2
2
1
4
x y +=. ………………………………………3分
（Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =. 因此 ||
1||2
DE AP =. ………………………………………5分
当直线AP 的斜率不为0时，
设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00
(,)P x y ，
则直线DE 的方程为
1y x
k
=-. ………………………………………6分 由
22
(2),14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=.
即2222(14)161640k x k x k +-+-=.
因此
2
02162.
41k x k +=+
因此
20282.
41
k x k =+-
………………………………………8分
因此
||AP ==即
2||41
AP k =
+.
类似可求
||DE =
因此
2||||DE AP ==
………………………………………11分
设
t =
则224k t =-，2t >.
22||4(4)1415
(2).||DE t t t AP t t
-+-==>
令
2415()(2)t g t t t -=>，则22
415'()0t g t t
+=>. 因此 ()g t 是一个增函数. 因此
2||41544151||22
DE t AP t -⨯-=>=.
综上，||||
DE AP 的取值范畴是1
[,
)
2
. ………………………………………13分
（20）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B
f -，{1,6,10,16}A B ∆=. ………………………………………3分
（Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，X W . （ⅰ）证明：假设2W ，令{2}Y W =.
那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆
()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆.这与
题设矛盾.
因此 2W ，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X . ………………………………………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4W 且8W .
若存在a X 且a A B ，则令{}X
Z a =. 那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆
()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆.
因此 集合W 中的元素只能来自A B . 若a A B 且a A B ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，
()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变.
综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.
………………………………………14分。