江苏省淮安市高三数学第一次调研测试试题

淮安市2013届高三第一次调研测试数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案填写在答题卷对应的位置上）
1.集合{}1,0,1A =-，{}
2
|1,B x x m m R ==+∈，则A B =I ．
2.若复数z
满足1iz =-，其中i 是虚数单位，则z = ．
3.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品的种数是 ．
4.已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，a ，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是 ．
5.如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．
6.已知点P 在圆2
2
1x y +=上运动，则P 到直线34150x y ++=的距离的最小值是 ．
7过点()1,0-.与函数()x
f x e =（e 是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 ．
8.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是 ．
9.如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长18AA =，若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高度为 ．
10.已知5,,36ππαβ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，若455
sin ,cos 65613
ππαβ⎛⎫⎛
⎫+=-= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ-的值 为 ．
11.若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则当n b =时，数列{}n b 也是等比数列；类比上述性质，若数列{}n c 是等差数列，则当n d = 时，数列{}n d 也是等差数列．
12.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，1,B B 分别是双曲线虚轴的上、下端点，,A F 分别
是双曲线左顶点和坐焦点，若双曲线的离心率为2，则AB u u u r 与1B F u u u u r
夹角的余弦值为 ．
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4514,23,a a ≤≤≤≤6S 取值范围是 ． 14.已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是 ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分14分）
已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若向量
()()2,cos ,,cos ,b c C n a A =-=r m u r ∥n r
，
（1）求角A 的大小；
（2）求函数sin 6y B C π⎛
⎫=
+- ⎪⎝
⎭的值域
16.（本题满分14分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 1,,AC BC BC BB ⊥=D 为AB 的中点. （1）求证：1BC ⊥平面1AB C ； （2）求证：1BC ∥平面1A CD .
17.（本题满分14分）
小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元，小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入
为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？
（利润=累计收入+销售收入-总支出）
18.（本题满分16分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率3e =，一条准线方程为2x =
⑴求椭圆C 的方程；
⑵设,G H 为椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且OG OH ⊥． ①当直线OG 的倾斜角为60o
时，求GOH ∆的面积；
②是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该
定圆方程；若不存在，请说明理由．
19.（本题满分16分）
已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ，数列{}2
n
a 的前n 项的和为n
T ，且
()
2
*234,n n S T n N -+=∈．
⑴证明数列{}n a 是等比数列，并写出通项公式；
⑵若20n n S T λ-<对*
n N ∈恒成立，求λ的最小值；
⑶若12,2,2x y
n n n a a a ++成等差数列，求正整数,x y 的值．
20.（本题满分16分） 已知函数
()ln ()ln ,x f x x x h x x =-=
．
（1）求()h x 的最大值；
（2）若关于x 的不等式2
()212xf x x ax ≥-+-对一切()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值
范围；
（3）若关于x 的方程()3220f x x ex bx -+-=恰有一解，其中e 为自然对数的底数，求实数b 的值．
淮安市2012—2013学年度高三年级第一次调查测试
数学试题参考答案与评分标准
数学Ⅰ部分
一、填空题：
1．{}1 2．2 3． 6 4．4 5．5 6．2 7． 1+=x y 8．6
1
9．6 10． 65
16 11． n c c c n +++Λ21 12
13． ]30,0[ 14． ()0,3-
二、解答题：
15．(1) 因为向量)cos ,2(C c b -=，)cos ,(A a =，且∥n ，
所以
2cos =cos b c A a C -（）, …………………………………………………………2分 由正弦定理，得C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=)sin(C A +=, …………4分 即B A B sin cos sin 2=，所以1
cos 2
A =， ………………………………………6分 因为()π,0∈A ，所以3
π
=A ； …………………………………………………………8分
(2) 因为 )632sin(
sin 3ππ--+=B B y )6
sin(2cos sin 3π
+=+=B B B ,…12分 而
656
6
ππ
π
<
+
<B ，所以函数)6
sin(2π
+=B y 的值域为(]2,1, ……………………14分 16．（1）因为在直三棱柱111C B A ABC -中，所以⊥1CC 平面ABC , 因为AC ⊂平面ABC ，所以AC CC ⊥1，
又BC AC ⊥，C BC CC =I 1,所以⊥AC 平面CB C B 11,
B A
C
D
A 1
G
因为111BC B C CB ⊂平面，所以AC BC ⊥1 ……………4分 又因为1BC BB =，所以C C BB 11是正方形，所以C B BC 11⊥，
又C AC C B =I 1，所以⊥1BC 平面C AB 1， ……………………………………………8分 (2)在正方形CA C A 11中，设G C A AC =11I ，则G 为1AC 中点,D 为AB 的中点，结DG ,在1ABC ∆中，1BC ∥DG ， ………………………………………………………………12分 因为DG ⊂平面CD A 1，1BC ⊄平面CD A 1，所以1BC ∥平面CD A 1，………………14分 17．（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则25[6(1)]50,(0<10)y x x x x x x =-+--∈≤，N ，
即22050,(0<10)y x x x x =-+-∈≤，N ，…………………………………………………4分 由220500x x -+->，解得25102510+<<-x ，…………………………………6分 而325102<-<，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． ……………………8分 （2）因为利润=累计收入+销售收入-总支出，所以销售二手车后，小张的年平均．．
利润为 211
[(25)]=(1925)y y x x x x x =+--+-)25(19x
x +
-=，…………………………………12分
而2519()199x x -+
-=≤，当且仅当5x =时等号成立． 答：小张应当在第5年将大货车出售，才能使年平均．．
利润最大，………………………14分 18．（ 1）因为36=a c ，2
632=c a ，2
22c b a +=， …………………………………2分
解得3,3==b a ，所以椭圆方程为1392
2=+y x ． ……………………………………4分 （2）①由⎪⎩⎪⎨⎧=+
=13932
2y x x y ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==102710
922y x ，………………………………………………6分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=1
39
3322y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2329
22y x ， …………………………………………………………8分
所以6,5103==
OH OG ，所以5
15
3=∆GOH S ． …………………………………10分 ②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R ，则GH R OH OG ⋅=⋅ 因为2
2
2
GH OH OG =+，故
2
221
11R OH OG =
+， 当OG 与OH 的斜率均存在时，不妨设直线OG 方程为：kx y =，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+
=13922y x kx y ，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=22
222
319319k k y k x G G ，所以222
3199k k OG ++=， ………………………12分 同理可得2
22
399k k OH ++= （将2
OG 中的k 换成k
1-可得）……………………………14分 2
2219411R OH
OG ==+，23
=R ， 当OG 与OH 的斜率有一个不存在时，可得2
221
9411R OH
OG ==+，………………15分 故满足条件的定圆方程为：4
9
2
2
=
+y x ．………………………………………………16分 19．（1）因为2(2)34n n S T -+=，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和，n T 是数列}{2
n a 的前n 项和，且0>n a ，
当1=n 时，由2211(2)34a a -+=，解得11a =，……………………………………………2分 当2n =时，由2222(12)3(1)4a a +-++=，解得21
2
a =
； ………………………………4分 由43)2(2=+-n n T S ，知43)2(12
1=+-++n n T S ，两式相减得
03)4)((2
111=+-+-+++n n n n n a S S S S ，即03)4(11=+-+++n n n a S S ，………………5分
亦即221=-+n n S S ，从而122,(2)n n S S n --=≥，再次相减得
11
,(2)2n n a a n +=≥，又122
1a a =，所以11,(1)2n n a n a +=≥
所以数列}{n a 是首项为1，公比为1
2
的等比数列， ………………………………………7分 其通项公式为1
2
1-=
n n a *n ∈N ．……………………………………………………………8分
（2）由（1）可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
n n
n S 21122
11211，11414113414n
n
n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，……10分 若02<-n n T S λ对*
N n ∈恒成立，
只需126321121132
+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=>n n n
n
n
T S
λ对*
N n ∈恒成立，
因为31
26
3<+-
n
对*N n ∈恒成立，所以3λ≥,即λ的最小值为3；………………12分 （3）若212,2,++n y
n x
n a a a 成等差数列，其中y x ,为正整数，则112
2,22,21
+-n y
n x n 成等差数列，
整理得2212-+=y x ，………………………………………………………………………14分 当2>y 时，等式右边为大于2的奇数，等式左边是偶数或1，等式不能成立，
所以满足条件的y x ,值为2,1==y x ．……………………………………………………16分 20．（1）因为()()ln ,0x h x x x =
>，所以()2
1ln x
h x x
-'=，…………………………………2分 由()0h x '>，且0>x ，得0x e <<，由()0h x '<，且0>x ，x e >，…………………4分 所以函数()h x 的单调增区间是(0,]e ，单调减区间是[,)e +∞，
所以当x e =时，()h x 取得最大值1
e
；………………………………………………………6分 （2）因为2()212xf x x ax -+-≥对一切),0(+∞∈x 恒成立， 即22ln 212x x x x ax --+-≥对一切),0(+∞∈x 恒成立， 亦即12
ln a x x x
++
≤对一切),0(+∞∈x 恒成立，…………………………………………8分 设x
x x x 12
ln )(++=ϕ，因为2
22)4)(3(12)(x x x x x x x +-=-+='ϕ， 故)(x ϕ在]3,0(上递减，在),3[+∞上递增， 3ln 7)3()(min +==ϕϕx ，
所以7ln3a +≤． …………………………………………………………………………10分
（3）因为方程02)(2
3
=-+-bx ex x x f 恰有一解，即02ln 2
3=-+--bx ex x x x 恰有一
解，即
12ln 2++-=b ex x x
x
恰有一解， 由（1）知，)(x h 在e x =时，e
x h 1
)(max =， …………………………………………12分
而函数()122
++-=b ex x x k 在],0(e 上单调递减，在),[+∞e 上单调递增，
故e x =时，()2
min 1e b x k -+=，…………………………………………………………14分
故方程12ln 2++-=b ex x x x 恰有一解当且仅当e e b 1
12=-+， 即112
-+=e
e b ． …………………………………………………………………………16分。