论文用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组

用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组
摘要:利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组,这种方法在许多情况下应用起来比较方便.本文给出了一个命题，对于任意的矩阵C，对其做初等列变换，变成一个两部分的分块矩阵，左边是列满秩的子块，右边是零矩阵，对于一个单位矩阵做同样的初等列变换，右边将是其次线性方程组CX=0的基础解系.在此命题的基础上，可以用初等列变换来求解线性代数的许多计算题，也可以证明一些线性代数的定理.本文还将揭示，在求解非齐次线性方程组的时候，矩阵的列变换方法更加容易学习，更容易理解.
关键词: 矩阵; 初等列变换; 线性方程组
To solve linear equation using matrix elementary columu vary Abstract :To solve linear equation using mat rix elementary column vary, this method is very convenient under different circumstances. This paper gives and proofs a theorem,for any matrix C, do elementary column operations, chang it to a matrix which is partitioned to two submatrices which left one is column full rank and right one is zero matrix. Then do same elementary column operations to a unit matrix with same column number as C, and do some partition to the result, then right submatrix of it, is just basic solution set of homogeneous linear equation CX=0. On the basic of the theorem, lots of problems of linear algebra can be resolved and lots of theorems can be proofed by elementary column operations. The paper will reveal that them will not easy to learn and to program and to proof something as techniques giving by the paper.
Key words : mat rix ; elementary column vary ;linear equation.
0 引言
非齐次线性方程组的求解是线性代数这门学科中不容忽视的内容，但教材中给出的方法多是用矩阵的初等行变换法求解，这种方法在很多时候显得费力.有没有想过在求解非齐次线性方程组的时候对增广矩阵（A ，b ）做一系列的初等列变换来得到方程组的解.本文将完全用初等列变换求解线性代数中许多计算问题，从理论上看，我们可以在完全不用行变换技术的前提下求解，这种方法是可行的，而且效果更好.
1 用矩阵的列变换求解非齐次线性方程组的理论基础
定义1 对于一个矩阵A ，我们在它的行和列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块，用这种方法分成若干小块的矩阵A 叫做一个分块矩阵. 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.
定义3 设A 是n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B 使得AB =n I 成立，那么A 称为B 的可逆矩阵.
定义4 把n 阶单位矩阵进行初等行（列）变换后得到的矩阵称为初等方阵. 定义5 设1a ，2a ，…，r a 是F 上向量空间V 的r 个向量，只有当
1k =2k =……=r k =0时，1k 1a +2k 2a +……+r k r a =0成立，那么就
称向量1a ，2a ，……，r a 线性无关. 定理：
设给出了一个一般非齐次线性方程组：
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221
12222212111212111 (1) 为了方便,将(1) 式写成矩阵的形式:
11
m n mn B X
A = (2)
设分块矩阵C =⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+11n m mn E B A ，若系数矩阵mn A 的秩R(A) = r ,则分块矩阵C 经
过列的初等变换,要求把系数矩阵
mn A 右边的元素尽可能多的化为零，那么矩
阵C 等价于如下形式的分块矩阵:
C =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---10001121121 r n r n nr m r n mr O H a a a W F O O O D (3) 其中r 为系数矩阵
mn A 的秩，1+n E 为n + 1 阶单位矩阵,i O (i = 1 ,2, ……,
n - r) 均为零向量,i a (i = 1 ,2 , ……,n - r) 为n 维列向量,并且存在n + 1 阶可逆矩阵1+n P ,使得以下两式成立:
)()(11111m r n mr n m mn F O O O D P B A -+= (4)
=++1
1)(n n P I ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W (5)
证明：事实上, 由于对矩阵C 做一次初等列变换,相当于对矩阵)(1m mn B A 及
1+n I 右乘同一个初等方阵,经过有限次的对矩阵C 做列的初等变换,相当于对矩
阵C 右乘一系列初等方阵,矩阵1+n P 就是这些初等方阵的乘积,所以(3) 、(4) 、(5) 式成立是必然的,证毕. 由定理易推出:
结论一:线性方程组(1) 有解的充要条件是(4) 式中的1m F 为零矩阵. 证明：这和非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即R(A) = R(A :b) 是一致的.
结论二:若(1) 有解,则(3) 式中的1n H 就是(1) 的一个特解,而1a ,2a , ⋯⋯
r n a -就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.
证明：将(5) 式代入(4) 式得:
)(1m mn B A *⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W =)(111m r n mr O O O O D - (6)
(6) 式两端对照得:
i mn a A = i O (i = 1 ,2 ,……n - r) (7)
由(7) 式可以看出r n a a a - ,,21均为(1) 对应的齐次线性方程组的解向量,由(5) 式又知r n a a a - 21是线性无关,所以r n a a a - 21是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.
由(6) 式又得:)(1m mn B A 111m n O H =⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛- (8)
由(8) 式进一步得:111m m n mn O B H A =-,即11m n mn B H A = (9) 所以1
n H 为(1) 的一个特解. 从而线性方程组(1) 的通解为:
(1221
1n r n r n H a k a k a k ++++-- ，i k 为任意给定的常数,i = 1 ,2 , ……,n
- r).
2 具体求解步骤
利用此方法求解非齐次线性方程组的通解可以分三步进行:
第一步:设出矩阵C =⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+11n m mn E B A 第二步:将矩阵C 通过列的初等变换化为(3) 式的形式,并且判断是否有解,若
1m F 为零矩阵时(1) 有解,否则无解.
第三步:若线性方程组(1) 有解,则(3) 式中的r n a a a - 21就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系,1n H 就是(1) 的一个特解,则(1) 的通解为:1221
1n r n r n H a k a k a k ++++-- ,其中i k (i = 1 ,2 ,……,n - r) 为任
意常数.
3 一些计算例子
例1 :求解方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-+-=+-=+-1
521
212321321321x x x x x x x x x
解:第一步:设矩阵C =⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----10
00
01000
0100001
152********
1 第二步：对矩阵作列初等变换C −→−
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------10
00010000101211031113120001
−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---10
010*********
001110120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--100
010003101111001110120001
此矩阵已是(3)的形式，但矩阵31F =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010≠⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛000
所以，此方程组无解.
例2 :求解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+-=-+28
753
42622321
321321x x x x x x x x x
解:第一步:设矩阵C =
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--10
010*********
2817534216122
第二步：对矩阵作列初等变换
C −→−
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--10000200001001112872539316002−→−⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---10
0200001031111372509310002−→−⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----10
2200331012110132500310002 此矩阵已是(3)的形式,因为31F 为零矩阵，所以根据结论二知上述方程组有解。

第三步：非齐次线形方程组的一个特解是31H =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23
1
由于该非齐次线形方程组的系数矩阵的秩为3， 所以对应的齐次线形方程组只有唯一零解.
则线形方程组的通解为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231 例3:求解方程组
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-
=+--=-+-=+--21
321
30432143214321x x x x x x x x x x x x
解：第一步:设矩阵C =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-
------1000
010000010000010000012132111311101
1
11
第二步：对矩阵作列初等变换
C −→−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛--
--100
010000010000010011112121011420100001−→−
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---1
001000212021000100
2111211000211
0001100001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--1
00100021202100010021112110002110001100001 此矩阵已是(3)的形式,因为41F 为零矩阵，所以根据结论二知上述方程组有解.
第三步：非齐次线形方程组的一个特解是41H =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛0210
21，记做
β
由于该非齐次线形方程组的系数矩阵的秩为2， 所以对应的齐次线形方程组的一个基础解系为：
1α=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛00
11 2
α=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1201 则线形方程组的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛432
1x x
x x =⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛021021+1k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011+2k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1201 (其中，1k ，2k 为任意常数)
4 结语
利用矩阵的初等列变换在求解一些非齐次线性方程组的时候常常能达到事半功倍的效果，关键在于列变换比行变换更容易化为我们想要的阶梯型最简矩阵.当然这种列变换方法同样适用于齐次线性方程组的求解，只不过把矩阵1m B 写成
0矩阵即可.因此，对于一般线性方程组的求解，应该首先判断系数矩阵（增广矩
阵）的列变换更容易还是行变换更容易化简为阶梯型矩阵，要灵活选择使用那种变换法解题.
参考文献：
[1] 刘仲奎.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2] 同济大学数学专业.线形代数[M].北京:高等教育出版社,1987.
[3] 武汉大学数学系数学专业.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1982.
[4] 徐仲.高等代数[M].西安:西北工业大学出版社,2006.
[5] 丘维声.高等代数[M].北京:清华大学出版社,2005.
[6] 胡金德.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,2006.
[7] 胡显佑.高等代数[M].北京:中国商业出版社,2006.
[8] 徐一超.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2008.
[9] 毛刚源.线性代数解题技巧[M].武汉:华中科技大学出版社,2009.。